【新教材2019人教必修第二冊(cè)】暑假高一基礎(chǔ)鞏固 專(zhuān)題08  立體幾何初步模塊解析版學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________  一、單選題1．（2021·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是（    ）A．正方形的直觀圖是正方形B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)【答案】B【分析】選項(xiàng)，正方形的直觀圖是平行四邊形；選項(xiàng)，由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知平行性不變知②正確；選項(xiàng)，要注意棱柱的每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行；選項(xiàng)，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)．【詳解】解：選項(xiàng)，正方形的直觀圖是平行四邊形，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知平行性不變，即平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，故②正確；選項(xiàng)，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱，要注意棱柱的每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)，故錯(cuò)誤．故選：．2．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中高一期末（理））若水平放置的四邊形按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形的面積為（    ）A．12 B．6 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像，由“斜二測(cè)畫(huà)法”可得，四邊形水平放置的直觀圖為直角梯形，進(jìn)而利用相關(guān)的面積公式求解即可【詳解】根據(jù)圖像可得，四邊形水平放置的直觀圖為直角梯形，作，則，由，得，，，，且，，所以，原四邊形的面積為.故選：C3．（2020·浙江杭州市·高一期末）用一個(gè)平面去截正方體，則截面不可能是A．直角三角形 B．等邊三角形 C．正方形 D．正六邊形【答案】A【詳解】畫(huà)出截面圖形如圖顯然A正三角形C正方形：D正六邊形可以畫(huà)出三角形但不是直角三角形；故選A． 用一個(gè)平面去截正方體，則截面的情況為：①截面為三角形時(shí)，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形；②截面為四邊形時(shí)，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面為五邊形時(shí)，不可能是正五邊形；④截面為六邊形時(shí)，可以是正六邊形．故可選A．4．（2020·江北區(qū)·重慶十八中高二期中）攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式．宋代稱(chēng)為撮尖，清代稱(chēng)攢尖．依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑．如圖所示，某園林建筑為六角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正六棱錐，若此正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為，則側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正六棱錐的底面為正六邊形計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】正六棱錐的底面為正六邊形，設(shè)其外接圓半徑為，則底面正邊形的邊長(zhǎng)為，因?yàn)檎忮F的側(cè)面等腰三角形的底角為，所以側(cè)棱長(zhǎng)為，所以側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握正六棱錐的結(jié)構(gòu)特征是解題關(guān)鍵.5．（2020·云南師大附中高三月考（理））如圖，在正方體中，E，F，G分別是棱AB，BC，的中點(diǎn)，過(guò)E，F，G三點(diǎn)的平面與正方體各個(gè)面所得交線圍成的圖形是（    ）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【分析】利用平面的性質(zhì)，直接畫(huà)出過(guò)E，F，G的平面，即可判斷其形狀.【詳解】如圖示，過(guò)E，F，G的平面α交AA1于H，交CC1于I,則形成一個(gè)五邊形EFIGH.故選：C.6．（2021·江蘇蘇州市·高三開(kāi)學(xué)考試）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí)，提出了一個(gè)原理（祖暅原理）：“冪勢(shì)既同，則積不容異”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高．這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等．利用祖暅原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差．圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以1為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形．模仿上述半球的體積計(jì)算方法，可以構(gòu)造一個(gè)與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2)，從而求得該帳篷的體積為（    ）
 A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得對(duì)應(yīng)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)和高，根據(jù)帳篷的體積等于棱柱的體積減去棱錐的體積，根據(jù)體積公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，底面正方形的邊長(zhǎng)為，高為1，根據(jù)題意，可知該帳篷的體積為，故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體體積的求解，解題方法如下：（1）認(rèn)真讀題，理解題意；（2）根據(jù)題意，求得相應(yīng)幾何體的棱長(zhǎng)；（3）利用體積公式求得結(jié)果.7．（2020·湖北武漢市·高二期中）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，是棱的中點(diǎn)，若是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：將翻折到同一平面內(nèi)，的最小值為為的長(zhǎng)，在中，由余弦定理可得考點(diǎn)：1．翻折問(wèn)題；2．空間距離8．（2020·山東德州市·高一期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著﹐它在幾何學(xué)中的研究比西方早多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬.如圖是陽(yáng)馬，平面，.則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接AC，BD，交于，取PC中點(diǎn)O，連接，則可證明平面ABCD，即O為該四棱錐的外接球的球心，在中，求得PC的值，進(jìn)而可求得外接球半徑R，代入公式，即可求得答案.【詳解】連接AC，BD，交于，取PC中點(diǎn)O，連接，如圖所示因?yàn)?/span>分別為PC，AC的中點(diǎn)，所以，又平面ABCD，所以平面ABCD，所以O到A,B,C,D的距離都相等，又，所以O為該四棱錐的外接球的球心，在中，，，所以，所以該四棱錐的外接球的半徑，所以該陽(yáng)馬的外接球的表面積.故選：B 二、多選題9．（2020·江蘇高一期中）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題是假命題的是（    ）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】ABC【分析】根據(jù)空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐個(gè)分析可得答案.【詳解】若，，則或與相交，故為假命題；若，，則或與相交或與異面，故為假命題；若，，則或或或與相交且不垂直，故為假命題；若，，則，根據(jù)面面垂直的判定定理可知其為真命題.故選：A B C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵.10．（2021·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）(多選題)如圖，正方體中，若分別為棱的中點(diǎn)，分別是四邊形，的中心，則（ ）A．四點(diǎn)共面B．四點(diǎn)共面C．四點(diǎn)共面D．四點(diǎn)共面【答案】ACD【分析】對(duì)于A，易知共面，再判斷是否在這個(gè)平面即可；對(duì)于B，顯然在平面內(nèi)，D不在平面內(nèi)，可知四點(diǎn)不共面；對(duì)于C，由已知可知，可判斷四點(diǎn)共面；對(duì)于D，連接并延長(zhǎng)，交于H，連接，可知，可判斷四點(diǎn)共面.【詳解】對(duì)于A，由是四邊形的中心，知是的中點(diǎn)，所以在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)共面，故A正確；對(duì)于B，由分別為棱的中點(diǎn)，知在平面內(nèi)，D不在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由已知可知，所以四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，連接并延長(zhǎng)，交于H，則H為的中點(diǎn)，連接，則，所以四點(diǎn)共面，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)共面問(wèn)題的證明，證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．11．（2020·湖北高三月考）我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上、下兩個(gè)面為平行矩形的六面體成為芻童.如圖芻童有外接球，且，平面與平面的距離為1，則下列說(shuō)法中正確的有（    ）A．該芻童外接球的體積為 B．該芻童為棱臺(tái)C．該芻童中在一個(gè)平面內(nèi) D．該芻童中二面角的余弦值為【答案】AD【分析】作出圖形，設(shè)球心為O，上下底面的中心為，A.在中，，在中，，兩式求得半徑即可判斷；B.根據(jù)棱臺(tái)的幾何特征判斷；C.根據(jù)根據(jù)棱臺(tái)的幾何特征判斷；D.過(guò)點(diǎn)F作平面ABCD，，連接MN，由為二面角的平面角求解判斷.【詳解】如圖所示： 設(shè)球心為O，上下底面的中心為，在中，，即，在中，，即，兩式解得，所以，則，故A正確；若該芻童為棱臺(tái)，則滿足,而，故B錯(cuò)誤；若該芻童中在一個(gè)平面內(nèi)，則，則,而，故C錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)F作平面ABCD，，連接MN，則為二面角的平面角，易知FM=1，，所以 ，故D正確；故選：AD12．（2021·廣東梅州市·高三一模）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列命題正確的是（    ）A．三棱錐的體積不變 B．直線與平面所成角的大小不變C．直線與直線所成角的大小不變 D．二面角的大小不變【答案】ACD【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系分別判斷各選項(xiàng)對(duì)錯(cuò).【詳解】A：平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，所以體積不變，A選項(xiàng)正確；B：與平面相交，所以直線與平面所成角的大小在變，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C：直線平面，，直線與直線所成角的大小不變；C選項(xiàng)正確；D：二面角也就是二面角大小不變，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.  三、填空題13．（2021·浙江高三月考）用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑之比是1 : 4，截取的小圓錐的母線長(zhǎng)是cm，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)______cm．【答案】9.【解析】試題分析：設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為,截得圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得,解得.所以,圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm.考點(diǎn)：空間幾何體的結(jié)構(gòu).14．（2020·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高二月考）如圖所示，平面平面，，，，則__________．【答案】3【分析】利用平面平面，得到，從而得到線段長(zhǎng)的比例，即可得解.【詳解】平面，平面由平面平面，可得由平面幾何知識(shí)知，又，，，所以，解得故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理，在運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理時(shí)，一定要先找到與兩平行平面都相交的第三個(gè)平面，進(jìn)而得到兩交線平行，考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．（2020·山東省濟(jì)南第十一中學(xué)高二期中）在四面體中，，，兩兩垂直.設(shè)，則點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】【分析】利用等積法可求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)?/span>，，兩兩垂直，而，故平面，又，故.又中，，故，同理，故為等邊三角形，故，故，其中為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)?/span>，故，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）求點(diǎn)到平面的距離，利用線面垂直來(lái)考慮；（2）如果線面垂直構(gòu)造比較困難，則可以考慮利用等積法來(lái)求點(diǎn)到平面的距離.16．（2020·梅河口市第五中學(xué)高三月考（文））瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)任一凸多面體（即多面體內(nèi)任意兩點(diǎn)的連線都被完全包含在該多面體中，直觀上講是指沒(méi)有凹陷或孔洞的多面體）的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)及面數(shù)滿足等式，這個(gè)等式稱(chēng)為歐拉多面體公式，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最漂亮、簡(jiǎn)潔的公式之一，現(xiàn)實(shí)生活中存在很多奇妙的幾何體，現(xiàn)代足球的外觀即取自一種不完全正多面體，共有32個(gè)面，是由塊白色正六邊形面料和塊黑色正五邊形面料構(gòu)成的.則的值為______.【答案】20【分析】求出頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)，然后代入歐拉多面體公式可得值．【詳解】由題意該幾何體的頂點(diǎn)為，棱數(shù)為，又，由歐拉多面體公式得，解得．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化，考查歐拉多面體公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意求出頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)． 四、解答題17．（2021·浙江麗水市·高二月考）如圖，在四棱錐中，是正方形，平面，為線段中點(diǎn)，， 分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）證明平面和平面，即得證；（2）連接，證明和，平面即得證.【詳解】（1）分別是線段的中點(diǎn)，所以，又為正方形，，所以，又平面，所以平面.因?yàn)?/span>分別是線段的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面.因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.（2）連接，由于，所以為平面四邊形，由平面，得，又，，所以平面，所以，又三角形為等腰直角三角形，為斜邊中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，平面.，所以平面.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明空間直線和平面的位置關(guān)系常用的方法：（1）轉(zhuǎn)化法：線線線面面面；（2）向量法. 解題時(shí)要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.18．（2021·浙江高一期末）如圖，正方體中，F為與的交點(diǎn)，E為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）聯(lián)結(jié)EF，易知，從而證得平面；（2）分別證得，，從而平面，從而異面直線與所成的角為90°.【詳解】（1）聯(lián)結(jié)EF，由E為的中點(diǎn)，F為的中點(diǎn)知，，又平面，平面，故平面（2）在正方形ABCD中，，又平面ABCD，平面ABCD，則，又，故平面，又平面，故，即異面直線與所成的角為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過(guò)在平面上找到一條直線與平面外一條線平行，來(lái)證明線面平行；異面直線的夾角可以通過(guò)平移到同一平面內(nèi)，用解三角形的辦法求得.19．（2020·湖北高二月考）有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是）六角螺母共重5.8kg.如圖，每一個(gè)螺母的底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，這堆螺母大約有多少個(gè)？（可用計(jì)算工具，π取3.14）【答案】248個(gè)【分析】首先計(jì)算一個(gè)螺母的體積，其體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，再由總重量除以一個(gè)螺母的重量，即可得解.【詳解】解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即：.所以螺帽的個(gè)數(shù)為（個(gè)）.答：這堆螺帽大約有248個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查組合體的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.20．（2020·橫峰中學(xué)高二月考）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，底面.（1）求證：平面；（2）若，直線與平面所成的角為，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）通過(guò)AC⊥BD與PD⊥AC可得平面；（2）由題先得出∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，則可先求出菱形ABCD的面積，進(jìn)而可得四棱錐P- ABCD的體積.【詳解】解：（1）因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因?yàn)?/span>PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，故AC⊥平面PBD；（2）因?yàn)?/span>PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°，因此BD=PD=2.又AB= AD=2，所以菱形ABCD的面積為，故四棱錐P- ABCD的體積.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線、面關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證能力以及運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.21．（2020·上海市七寶中學(xué)高二期末）已知正方體中的棱長(zhǎng)為，是中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)、、作一截面，求出截面面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）連接、交于點(diǎn)，連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，利用線面平行的判定定理可得出結(jié)論；（2）作出截面圖形，判斷出截面圖形的形狀，并求出各邊邊長(zhǎng)，由此可求得截面面積.【詳解】（1）記、的交點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，取的中點(diǎn)，連接、，在正方體中，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，同理可證四邊形為平行四邊形，則且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則截面圖形為平行四邊形，又，則四邊形為菱形，則，且，，則菱形的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了正方體截面面積的求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.22．（2020·陜西咸陽(yáng)市·高三二模（文））如圖，在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，沿將折起，使得點(diǎn)到點(diǎn)位置，且，為的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合）.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)三棱錐和四棱錐的體積分別為和，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)得出，再由面面垂直的判定定理證明平面平面；（2）求出三角形和正方形的面積比，由點(diǎn)，到平面的距離之比，結(jié)合棱錐的體積公式，即可得出的值.【詳解】（1）證明：∵，，，平面∴平面又平面，∴，平面，∴平面平面由，知又平面，平面又平面，∴平面平面（2）∵為中點(diǎn)∴，點(diǎn)，到平面的距離之比為∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明面面垂直以及棱錐體積的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題. 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這是一份專(zhuān)題19 統(tǒng)計(jì)（能力提升）-2021年暑假高一升高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固+能力提升專(zhuān)題（人教A版2019），文件包含專(zhuān)題19統(tǒng)計(jì)-2021年暑假高一升高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固+能力提升專(zhuān)題人教A版2019解析版doc、專(zhuān)題19統(tǒng)計(jì)-2021年暑假高一升高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固+能力提升專(zhuān)題人教A版2019原卷版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共32頁(yè)， 歡迎下載使用。

專(zhuān)題18 立體幾何初步（能力提升）-2021年暑假高一升高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固+能力提升專(zhuān)題（人教A版2019）：

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