微信是即時(shí)聊天工具，通過微信，我們可以結(jié)交很多全國各地的新朋友，可以與遠(yuǎn)方的親朋好友面對面交流，省錢、快捷、方便，可以傳送文件，還可以通過聊天練習(xí)打字、學(xué)會(huì)上網(wǎng)等，通過微信，我們開心的時(shí)候可以找人分享，不開心的時(shí)候可以找人傾訴，所以說現(xiàn)在微信成了我們生活不可缺少的一部分．大部分同學(xué)都有微信號(hào)，這樣微信號(hào)與同學(xué)之間就有對應(yīng)關(guān)系，即微信號(hào)(可能不止一個(gè))對應(yīng)唯一一位同學(xué)．在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有類似的對應(yīng)問題，即實(shí)數(shù)x(可能不止一個(gè))對應(yīng)實(shí)數(shù)y(唯一一個(gè))．
[問題] 你知道這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)中叫什么嗎？



知識(shí)點(diǎn)一 生活中的變量關(guān)系
1．在現(xiàn)實(shí)生活中，凡是要確定兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系，就要判斷“對于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一確定的值和它對應(yīng)”．
2．函數(shù)關(guān)系可用表格、表達(dá)式、圖象及分段函數(shù)形式表達(dá)．
1.(多選)如圖是反映某市某一天的溫度隨時(shí)間變化情況的圖象．由圖象可知，下列說法中正確的有( )
A．這天15時(shí)的溫度最高
B．這天3時(shí)的溫度最低
C．這天的最高溫度與最低溫度相差13 ℃
D．這天21時(shí)的溫度是30 ℃
解析：選ABD 這天的最高溫度與最低溫度相差36－22＝14(℃)，故C錯(cuò)．A、B、D均正確．
2．如圖，將一個(gè)“瘦長”的圓柱鋼錠經(jīng)過多次鍛壓，使之成為一個(gè)“矮胖”的圓柱鋼錠(不計(jì)損耗)，則在鍛壓過程中，圓柱體積與高的關(guān)系可用圖象表示為( )

解析：選B 圓柱鋼錠的體積不隨高的變化而變化．
知識(shí)點(diǎn)二 函數(shù)的有關(guān)概念
eq \a\vs4\al()
對函數(shù)概念的再理解
(1)函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對于非空數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)數(shù)x，在非空數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的數(shù)y與之對應(yīng)．這三性只要有一個(gè)不滿足，便不能構(gòu)成函數(shù)；
(2)y＝f(x)僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“y等于f與x的乘積”，f(x)也不一定就是解析式；
(3)除f(x)外，有時(shí)還用g(x)，u(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等符號(hào)來表示函數(shù)．
f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？
提示：f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值，如一次函數(shù)f(x)＝3x＋4，當(dāng)x＝8時(shí)，f(8)＝3×8＋4＝28是一個(gè)常數(shù)．
1．下圖中能表示函數(shù)關(guān)系的是________(填序號(hào))．
解析：由于③中的2與1和3同時(shí)對應(yīng)，故③不是函數(shù)．
答案：①②④
2．函數(shù)f(x)＝eq \f(1,\r(4－x))的定義域是________．
解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x－1且x≠1，∴定義域?yàn)?－1，1)∪(1，＋∞)．
[例3] (鏈接教科書第53頁練習(xí)1題)(1)已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，則f(2)＝________，f(g(2))＝________．
(2)求下列函數(shù)的值域：
①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
③y＝eq \f(3x－1,x＋1)；④y＝2x－eq \r(x－1).
（1）[解析] ∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
[答案] eq \f(1,3) eq \f(1,7)
（2）[解] ①(觀察法)因?yàn)閤∈R，所以x＋1∈R，即函數(shù)值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇2，6)．
③(分離常數(shù)法)y＝eq \f(3x－1,x＋1)＝eq \f(3x＋3－4,x＋1)＝3－eq \f(4,x＋1).
∵eq \f(4,x＋1)≠0，∴y≠3，
∴y＝eq \f(3x－1,x＋1)的值域?yàn)?－∞，3)∪(3，＋∞)．
④(換元法)設(shè)t＝eq \r(x－1)，則t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(15,8)，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)閑q \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)，＋∞)).
[母題探究]
1．(變條件)在本例(1)條件下，若f(b)＝eq \f(1,2)，求b的值．
解：由f(b)＝eq \f(1,1＋b)＝eq \f(1,2)，得b＝1.
2．(變設(shè)問)在本例(1)條件下，判斷點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))是否在函數(shù)f(x)的圖象上？
解：由f(x)＝eq \f(1,1＋x)知f(3)＝eq \f(1,4)，故點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))在f(x)的圖象上．
eq \a\vs4\al()
1．函數(shù)求值的方法
(1)已知f(x)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值；
(2)求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．
2．求函數(shù)值域常用的4種方法
(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；
(2)配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時(shí)，可利用配方法求其值域；
(3)分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；
(4)換元法：即運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對于f(x)＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)(其中a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0)型的函數(shù)常用換元法．
[跟蹤訓(xùn)練]
1．設(shè)f(x)＝eq \f(x2－1,x2＋1)，則eq \f(f（2）,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝( )
A．1 B．－1
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
解析：選B eq \f(f（2）,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝eq \f(\f(22－1,22＋1),\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1))＝eq \f(\f(3,5),\f(－\f(3,4),\f(5,4)))＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝－1.
2．函數(shù)f(x)＝eq \f(1,1＋x2)(x∈R)的值域是( )
A．[0，1] B．[0，1)
C．(0，1] D．(0，1)
解析：選C 因?yàn)閤2≥0，所以x2＋1≥1，所以0

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.1 函數(shù)概念

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊

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