1.利用角平分線的性質(zhì)和判定探索證明三角形 三條角平分線的特殊位置關(guān)系及性質(zhì).2.進(jìn)一步提升運(yùn)用角平分線性質(zhì)和其判定解決實(shí)際問題的能力.3.經(jīng)歷“探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”的過程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，增強(qiáng)證明意識(shí)和能力，發(fā)展推理能力.
在一個(gè)三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個(gè)學(xué)校P，P 到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請(qǐng)?jiān)谌切尉幼^(qū)內(nèi)標(biāo)出學(xué)校P的位置,P在何處？
思考：三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線會(huì)不會(huì)交于同一個(gè)點(diǎn)呢？
那三角形的三條角平分線又有什么特別的地方呢？接下來開啟我們的探索之旅！請(qǐng)同學(xué)們?nèi)我猱嬕粋€(gè)三角形，并作出它的三條角平分線.
那我們分成三個(gè)組，一、二、三組分別畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條角平分線.觀察分析并進(jìn)行交流討論，三條角平分線有什么特征？
由于三角形的角平分線始終在三角形內(nèi)部，所以不論什么形狀的三角形，三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)始終在三角形內(nèi).
通過剛才的作圖，我們發(fā)三角形三個(gè)角的平分線交于一點(diǎn).類比之前三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)，三角形角平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等嗎？它又有什么特殊性嗎？
到三個(gè)頂點(diǎn)距離不一定相等.
但是：到三邊距離相等.
如何證明：三角形的角平分線交于一點(diǎn)并且到三邊距離相等這一結(jié)論呢？
點(diǎn)撥：要證明三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上即可.思路可表示如下：
試試看，你會(huì)寫出證明過程嗎？
已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).
∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.
符號(hào)語言：∵如圖，在△ABC中，∠B 、∠C的平分線相交于點(diǎn)P， 過點(diǎn)P分別作AB、BC、AC的垂線，垂足分別為D、E、F∴ ∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P,且PD=PE=PF.
比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理
到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等
到三角形三邊的距離相等
例1：如圖，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.
總結(jié)：在一個(gè)三角形中，用r 表示內(nèi)心到三邊的距離，C表示周長，S表示面積，則：
例2.如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.（1）一直CD=4cm，求AC長；（2）求證：AB=AC+CD.
（1）解：∵AD是△ABC的角平分線， DC⊥AC，DE⊥AB，垂足為E， ∴DE=CD=4cm（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等） ∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC（等邊對(duì)等角） ∴∠B=×90°=45°. ∴∠BDE=90°-45°=45°. ∴BE=DE（等角對(duì)等邊）. 在等腰直角三角形BDE中，
（2）證明：由（1）的求解過程易知， Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）. ∵BE=DE=CD. ∴AB=AE+BE=AC+CD
1.三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線把原三角形分割成了三個(gè)小三角形,利用三個(gè)小三角形面積之和等于原三角形的面積,即等積法即可求出交點(diǎn)到三邊的距離.2.已知角平分線上的點(diǎn),要利用角平分線性質(zhì)定理尋找線段相等關(guān)系,有時(shí)可結(jié)合全等三角形、直角三角形來求解.
1.在一塊三角形的草坪上建一座涼亭,要使涼亭到草坪三邊的距離相等,涼亭的位置應(yīng)選在(　 　)A.三角形的三條中線的交點(diǎn)處B.三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處C.三角形的三條角平分線的交點(diǎn)處　　D.三角形的三條高所在直線的交點(diǎn)處
2.在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，若BD=3，則DE的長為（ ）
A.3 B.1.5C.2 D.6
3. 如圖,在Rt△ABC中,點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
4. △ABC是一個(gè)任意三角形,用直尺和圓規(guī)作出∠A,∠B的平分線相交于點(diǎn)O,那么下列說法不正確的是 (　 　)A.點(diǎn)O一定在△ABC的內(nèi)部B.∠C的平分線一定經(jīng)過點(diǎn)OC.點(diǎn)O到△ABC三邊的距離一定相等　D.點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離一定相等
5.如圖,已知△ABC，求作一點(diǎn)P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB．下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（ ）A.P為∠A，∠B兩角平分線的交點(diǎn)B.P為∠A的平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)C.P為AC，AB兩邊上的高的交點(diǎn)D.P為AC，AB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)
6.如圖,△ABC的三邊AB,BC,CA長分別是20,30,40,其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形,則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于 (　 　)A.1∶1∶1B.1∶2∶3C.2∶3∶4D.3∶4∶5
7、已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上,BD=DF.求證：CF=EB.
證明：∵AD平分∠CAB,　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴　CD＝DE (角平分線的性質(zhì)).在Rt△CDF和Rt△EDB中,　　 CD=ED（已證）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.
8. 如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分別平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,試求線段OD的長度.
解：連接OB,過O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,∴OE=OD=OF, 設(shè)OE=OF=OD=R,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,由勾股定理得:AC=6,
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF，∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2, ∴OD的長為2.
9.如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.（1）△ABC內(nèi)是否存在一點(diǎn)到各邊的距離相等？如果存在，請(qǐng)作出這一點(diǎn)，并說明理由；
解：如圖，作∠BAC、∠ACB的平分線，它們的交點(diǎn)P即為符合要求的點(diǎn).作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC，垂足分別為E、F、G.∵AP是∠BAC的平分線，∴PE＝PG.∵CP是∠ACB的平分線，∴PF＝PG.∴PE＝PF＝PG；
（2）求這點(diǎn)到各邊的距離.
解：連接BP.設(shè)PE＝PF＝PG＝x. ∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC＋S△APC， ∴0.5AB·BC＝0.5AB·x＋0.5BC·x＋0.5AC·x. ∴7×24＝（7＋24＋25）x. 解得x＝3. 即這點(diǎn)到各邊的距離為3.
三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)
性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等．
應(yīng)用：位置的選擇問題.

相關(guān)課件

數(shù)學(xué)4 角平分線教學(xué)課件ppt：

這是一份數(shù)學(xué)4 角平分線教學(xué)課件ppt，共22頁。PPT課件主要包含了情景導(dǎo)入，探索新知，典例精練，課堂練習(xí)，課堂小結(jié)，布置作業(yè)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)4 角平分線教課ppt課件：

這是一份初中數(shù)學(xué)4 角平分線教課ppt課件，共20頁。PPT課件主要包含了教學(xué)目標(biāo)，重難點(diǎn)，做一做導(dǎo)入新課，導(dǎo)入新課，垂線段相等，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎，探究新知，學(xué)習(xí)新知，幾何語言，歸納新知等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第一章 三角形的證明4 角平分線教學(xué)演示課件ppt：

這是一份數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第一章 三角形的證明4 角平分線教學(xué)演示課件ppt，文件包含142角平分線的性質(zhì)與判定pptx、14角平分線第2課時(shí)三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線doc等2份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共19頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

北師大版八年級(jí)下冊(cè)4 角平分線備課課件ppt

北師大版八年級(jí)下冊(cè)4 角平分線備課課件ppt
八年級(jí)下冊(cè)4 角平分線一等獎(jiǎng)?wù)n件ppt

八年級(jí)下冊(cè)4 角平分線一等獎(jiǎng)?wù)n件ppt
北師大版八年級(jí)下冊(cè)4 角平分線教學(xué)演示課件ppt

北師大版八年級(jí)下冊(cè)4 角平分線教學(xué)演示課件ppt
北師大版八年級(jí)下冊(cè)4 角平分線獲獎(jiǎng)ppt課件

北師大版八年級(jí)下冊(cè)4 角平分線獲獎(jiǎng)ppt課件
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

4 角平分線

版本： 北師大版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部