1.探索證明角平分線的性質(zhì)和判定.2.能運用角平分線性質(zhì)和其判定解決實際問題.3.經(jīng)歷“探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”的過程，進一步體會證明的必要性，增強證明意識和能力，發(fā)展推理能力.
不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角. 你有什么辦法？
再打開紙片 ，看看折痕與這個角有何關(guān)系？
要在一個三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個學(xué)校P，要求P到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請問學(xué)校P的位置應(yīng)建立在何處？你能在標(biāo)出來嗎？
你還記得角平分線上的點有什么性質(zhì)嗎?
還記得角平分線上的點有什么性質(zhì)嗎？你是怎樣得到的？請你嘗試證明這性質(zhì)，并與同伴交流.
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等
思考：角平分線的性質(zhì)定理和線段垂直平分線的性質(zhì)定理中都提到了“距離相等”，你認為這兩個“距離”含義相同嗎？
不相同.線段垂直平分線的性質(zhì)定理中“距離”是兩點之間的距離，而角平分線的性質(zhì)定理中的“距離”指的是點到線的距離，因此角平分線性質(zhì)定理中才要求過點作角的兩邊的垂線.
已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分別為D，E.求證：PD＝PE.
證明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分別為D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的對應(yīng)邊相等).
1.性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．2.書寫格式： 如圖，∵OP平分∠AOB， PD⊥ OA于點D，PE⊥OB于點E, ∴PD＝PE.
3.定理應(yīng)用所具備的條件：
(2)點在該平分線上；
4.定理的作用：證明線段相等.
例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.
證明： ∵AD是∠BAC的角平分線， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
想一想：你能寫出這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？
如果有一個點到角兩邊的距離相等，那么這個點必在這個角的平分線上.
如圖，點 P是平面內(nèi)一點，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，點P在∠AOB的角平分線上嗎？
上面逆命題的準確說法應(yīng)該怎樣說？
在一個角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.
已知：如圖，點P為∠AOB內(nèi)一點，PD丄OA，PE丄OB，垂足分別為D，E，且PD＝PE．求證：OP平分∠AOB.
證明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分別為D，E， ∴∠ODP＝∠OEP＝90°， ∵PD＝PE，OP＝OP， ∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ). ∴∠1＝∠2 (全等三角形的對應(yīng)角相等). ∴OP平分∠AOB.
1.判定方法：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．2.書寫格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴點P在∠AOB的平分線上(或∠AOC＝∠BOC)．
3.應(yīng)用所具備的條件：
（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.
4.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.
例2 如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.
1.如圖所示,在△ABC中,P為BC上一點,PR⊥AB,垂足為R,PS⊥AC,垂足為S,AQ=PQ,PR=PS.下面三個結(jié)論:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正確的是(　 　)A.①和②B.②和③　C.①和③D.全對
2. 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于點D,AB=10,S△ABD=15,則CD的長為(　 　)
A.3B.4 C.5D.6
3. 如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE,BF分別是∠BAC,∠ABC的平分線, ∠BAC=50°, ∠ABC=60°,則∠EAD+∠ACD= (　 　)A.75° B.80°C.85° D.90°
4、如圖,△ABC的兩條外角平分線AP,CP相交于點P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=60°,則下列結(jié)論:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正確的結(jié)論個數(shù)是 (　 　)A.1　B.2C.3　D.4
5.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=45°, AD是∠CAB的平分線,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,則AC的長為_______.?
6.如圖,BD是∠ABC的平分線,DE⊥AB于點E,△ABC的面積是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,則DE=______cm.
7. 如圖,在△ABC中,AD為其角平分線,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,△ABC的面積是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,求DE的長.
8. 已知:如圖,P是OC上一點,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E,F,G分別是OA,OB上的點,且PF=PG,DF=EG.求證:OC是∠AOB的平分線.
證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.∵P是OC上點,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分線.
9.如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4, AB=14.
(1)則點P到AB的距離為_______.
解：由角平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，
(2)求△APB的面積.
(3)求?PDB的周長.
一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等
過角平分線上一點向兩邊作垂線段
在一個角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上

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