1.推理論證“三角形三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等”這一性質.
2.利用三角形三邊的垂直平分線的性質解決問題.
角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.
某校園內有一塊由三條路圍成的三角形綠地，現準備在其中建一小亭給師生小憩，使小亭中心到三條路的距離相等，請你確定小亭中心的位置.
做一做：分別作出△ABC的三條角平分線
問題（1）觀察三個三角形的形狀？它們分別代表什么三角形？問題（2）觀察三條角平分線，你發(fā)現了什么？問題（3）通過觀察思考，你能得出什么結論？
發(fā)現：三角形的三條角平分線相交于一點.
該點在三角形的內部，這點是三角形的內心
過內心向三角形三邊作垂線，用刻度尺量一量每組垂線段，你發(fā)現了什么？
過內心作三角形三邊的垂線段都相等.
拿出任意剪的一個三角形紙片，通過折疊找出每個角的角平分線，觀察這三條角平分線，你是否發(fā)現同樣的結論？
猜想：三角形三個角的平分線相交于一點,并且這一點到三條邊的距離相等
已知：如圖 1-25，在 △ABC 中，角平分線 BM 與角平分線 CN 相交于點 P，過點 P 分別作 AB，BC，AC 的垂線，垂足分別是 D，E，F.求證：∠?A 的平分線經過點 P， 且 PD = PE = PF.
證明：∵ BM 是 △ABC 的角平分線，點 P 在 BM 上，∴ PD = PE（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF.∴ 點 P 在 ∠?A 的平分線上（在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上），即 ∠?A 的平分線經過點 P.
直角和鈍角的三條角平分線也具有同樣的性質
三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.
幾何語言：在△ABC 中，∵ BM，CN，AH分別是△ABC的三條角平分線， 且PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴BM，CN，AH相交于一點P，且PD=PE=PF.
三角形三條內角平分線的交點到三邊的距離相等是三角形的一個重要特征，該交點與三角形三個頂點的連線形成三個等高的小三角形，利用三個小三角形的面積之和等于原三角形的面積，求角平分線交點到三邊距離或者求三角形的面積，體現等面積法的運用.
例：如圖 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為 E.（1）已知CD=4 cm，求AC的長；
解析：求AC的長可轉化為求BC的長，而BC=CD+DB，CD=4 cm，求出DB的長即可。要證AB=AC+CD，轉化為證明AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE.
例：如圖 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為 E.（2）求證：AB=AC+CD.
（2）證明：由（1）的求解過程易知，Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.∴ AC = AE（全等三角形的對應邊相等）.∵ BE = DE = CD，∴ AB = AE + BE = AC + CD.
1.如圖，點P是△ABC內一點，且PD＝PE＝PF，則點P是(　　)A.△ABC三邊垂直平分線的交點B.△ABC三條角平分線的交點C.△ABC三條高所在直線的交點D.△ABC三條中線的交點
2.如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，下面結論正確的是(　　)A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能確定
3.如圖，∠AOC＝∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E.若OD＝8，OP＝10，則PE的長為(　　)A．5B．6C．7D．8
4. 如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB.若EC＝1，則EF＝________.
5.如圖，CP，BP分別是△ABC的外角∠BCM，∠CBN的平分線．求證：AP平分∠BAC.
證明：如圖，過P作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F∵BP平分∠CBN，PD⊥AB，PF⊥BC∴PD＝PF同理：PE＝PF，∴PD＝PE∵PD⊥AB，PE⊥AC ， ∴點P落在∠CAB的平分線上即AP平分∠BAC
8.如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD＝CD，BE＝CF.(1)求證：AD平分∠BAC；(2)寫出AB＋AC與AE之間的數量關系，并說明理由.
(2)解：AB＋AC＝2AE.理由如下：由(1)可知：△ADE≌△ADF∴AE＝AF∴AB＋AC＝(AE－BE)＋(AF＋FC) ＝AE－BE＋AE＋BE ＝2AE

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4 角平分線

版本： 北師大版

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