1.探索證明線段垂直平分線的性質(zhì)和判定.2.能運用線段垂直平分線性質(zhì)和其判定解決實際問題.3.經(jīng)歷“探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”的過程，進(jìn)一步體會證明的必要性，增強(qiáng)證明意識和能力，發(fā)展推理能力.
1 線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？
2 什么叫線段的垂直平分線？
3 線段的垂直平分線有什么性質(zhì)？
經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，這條線段的垂直平分線(中垂線).
垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．
某區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物中心，試問該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等？
垂直底邊，并且平分底邊．
AD所在的直線即線段BC的垂直平分線 ．
等腰三角形頂角平分線有哪些性質(zhì)？
垂直且平分一條線段的直線是這條線段的垂直平分線.
拿出準(zhǔn)備好的紙，按照下圖的樣子進(jìn)行對折，并比較對折之后的折痕EB和EB′ ， FB和FB′的關(guān)系.
折痕EB=EB′ ， FB=FB′
已知：如圖,直線MN⊥AB垂足為C，且AC＝BC，P是MN上的任意一點.求證：PA＝PB
證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°.∵ AC＝BC，PC＝PC,∴△PCA ≌△PCB ( SAS ). ∴PA＝PB (全等三角形的對應(yīng)邊相等）
1．性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；條件：點在線段的垂直平分線上；結(jié)論：這個點到線段兩端點的距離相等．表達(dá)方式：如圖，l⊥AB，AO＝BO，點P在l上，則AP＝BP.2．作用：可用來證明兩線段相等．
例1 如圖，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分線DE交AB，AC于點E，D.若△BCD的周長為8，求BC的長；
解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD.∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.∵△BCD的周長為8，∴BC＝△BCD的周長－(BD＋CD)＝8－5＝3.
你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?
定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等
一個點在線段的垂直平分線上
這個點到線段兩端的距離相等
一個點到線段兩端的距離相等
這個點在線段的垂直平分線上
想一想：如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？
（1）當(dāng)點P在線段AB上時，
∴點P為線段AB的中點，
顯然此時點P在線段AB的垂直平分線上；
（2）當(dāng)點P在線段AB外時，如右圖所示.
∴△PAB是等腰三角形.
過頂點P作PC⊥AB，垂足為點C，
∴底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直線PC是線段AB的垂直平分線，
此時點P也在線段AB的垂直平分線上.
1．判定：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．2．條件：點到線段兩端點距離相等；3．結(jié)論：點在線段垂直平分線上．4．表達(dá)方式：如圖，∵PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．5．作用：①作線段的垂直平分線的依據(jù)；②可用來證線段垂直、相等．
用尺規(guī)作線段的垂直平分線已知：線段AB．求作：線段AB的垂直平分線．
作法：1.分別以點A和B為圓心，以大于AB的一半長為半徑畫弧，兩弧相交于點C和D；2.連接直線CD．直線CD就是線段AB的垂直平分線．
例2：已知：如圖△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.
證明：∵AB=AC， ∴A在線段BC的垂直平分線（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點O在線段BC的垂直平分線.∴直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點確定一條直線）.
證明：延長AO交BC于點D，∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC ，OD＝OD ，∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.∴BD＝CD.∴直線AO垂直平分線段BC.
1. 如圖,在四邊形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足為E,下列結(jié)論不一定成立的是 (　 　)
A.AB=AD　 B.AC平分∠BCDC.AB=BD D.△BEC≌△DEC
2.如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AB于點D，DC平分∠ACB，若∠A=50°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A.25° B.30 °C.35 ° D.40 °
3. 如圖,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,邊AB的垂直平分線交AC于點D,則△BDC的周長是(　 　)A.8B.9C.10D.11
4. 如圖,在四邊形ABCD中,E為AB的中點,DE⊥AB于點E, ∠A=66°, ∠ABC=90°, BC=AD,則∠C的大小為______.?
5.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,將AB邊沿AD折疊,發(fā)現(xiàn)B點的對應(yīng)點E正好在AC的垂直平分線上,則∠C=_________.?
6. 如圖所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E, △BCE的周長等于18cm,則AC的長是 .
7.下列說法：①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；④若EA＝EB，則經(jīng)過點E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有 （填序號）.
8.兩組鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC與BD相交于點O,下列判斷正確的有　　　(填序號).①AC⊥BD;②AC,BD互相平分;③CA平分∠BCD.
9.已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA, ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴ OE是CD的垂直平分線.
在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE∴Rt△EDO≌Rt△ECO（HL）.∴OD＝OC∴O，E都在CD的垂直平分線上，
10..如圖,在△ABC中,BD是∠ABC的平分線,EF垂直平分BD.求證:AB∥DF.
證明:∵EF垂直平分BD,∴FB=FD,∴∠FBD=∠BDF,∵BD是∠ABC的平分線,∴∠ABD=∠FBD,∴∠ABD=∠BDF,∴AB∥DF.
11.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°,則∠B等于　　　　.
解：根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角,分為兩種情況:①當(dāng)∠A為銳角時,∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°,∴∠A=40°,∴∠B= =70°;
②當(dāng)∠A為鈍角時,∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°,∴∠1=40°,∴∠BAC=140°,∴∠B=∠C= =20°.綜上所述，∴∠B等于70°或20°.
線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定
到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上
線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等
見垂直平分線，得線段相等
判斷一個點是否在線段的垂直平分線上

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3 線段的垂直平分線

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