相交線，垂線（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對頂角概念，掌握對頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡單的計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對頂角1．鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．要點(diǎn)詮釋：(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°．(2)鄰補(bǔ)角是成對出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角．(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長線. 2. 對頂角及性質(zhì)： （1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒有公共邊(相對)的兩個(gè)角，互為對頂角． （2）性質(zhì)：對頂角相等．要點(diǎn)詮釋：(1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對頂角．(2)對頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.3. 鄰補(bǔ)角與對頂角對比：         角的名稱 特    征 性 質(zhì) 相 同 點(diǎn) 不 同 點(diǎn)對頂角 ①兩條直線相交形成的角； ②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③沒有公共邊.  對頂角相等. ①都是兩條直線相交而成的角；②都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③都是成對出現(xiàn)的.  ①有無公共邊；②兩直線相交時(shí)，對頂角只有2對；鄰補(bǔ)角有4對.  鄰補(bǔ)角 ①兩條直線相交而成；②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③有一條公共邊.  鄰補(bǔ)角互補(bǔ).  【高清課堂：相交線   403101   兩條直線垂直】知識點(diǎn)二、垂線1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．要點(diǎn)詮釋：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；         直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：AB⊥CD于點(diǎn)O.(2) 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫法：過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．要點(diǎn)詮釋： (1)如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．(2)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．要點(diǎn)詮釋：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．要點(diǎn)詮釋：（1）    點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，不能說垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長度．【典型例題】類型一、鄰補(bǔ)角與對頂角1．如圖所示，M、N是直線AB上兩點(diǎn)，∠1＝∠2，問∠1與∠2，∠3與∠4是對頂角嗎? ∠1與∠5，∠3與∠6是鄰補(bǔ)角嗎？【答案與解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是對頂角．∠1與∠5，∠3與∠6也都不是鄰補(bǔ)角．【總結(jié)升華】牢記兩條直線相交，才能產(chǎn)生對頂角或鄰補(bǔ)角．舉一反三：【變式】判斷正誤：（1）如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對頂角. （     ）（2）如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角.（    ）(3)有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角. （     ）(4)如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互補(bǔ). （     ）(5)有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角.（     ）【答案】(1)×  （2）×   （3）×    （4）√    （5）×，反例：∠AOC為120°，射線OB為∠AOC的角平分線，∠AOB與∠AOC互補(bǔ)，且有邊公共為AO，公共頂點(diǎn)為O，但它們不是鄰補(bǔ)角. 2.如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度數(shù)【答案與解析】解：∵  ∠1是∠2的鄰補(bǔ)角，∠1＝65°，∴  ∠2＝180°－65°＝115°．又∵  ∠1和∠3是對頂角，∠2與∠4是對頂角∴  ∠3＝∠1＝65°， ∠4＝∠2＝115°．【總結(jié)升華】 (1)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，只要已知其中一個(gè)角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用 “對頂角相等”，求∠3和∠4．舉一反三：【變式】（2015?梧州）如圖，已知直線AB與CD交于點(diǎn)O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，則∠AON的度數(shù)為　　度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON為∠BOD平分線，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意畫兩條相交的直線，在形成的四個(gè)角中，兩兩相配共能組成幾對角?各對角存在怎樣的位置關(guān)系？根據(jù)這種位置關(guān)系將它們分類．【答案與解析】解：如圖，任意兩條相交直線，兩兩相配共組成6對角，在這6對角中，它們的位置關(guān)系有兩種：①有公共頂點(diǎn)，一邊重合，另一邊互為反向延長線；②有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長線．這6對角為∠1與∠2，∠1與∠3，∠1與∠4，∠2與∠3，∠2與∠4，∠3與∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1與∠3，∠2與∠4是對頂角，∠1與∠2，∠3與∠4，∠l與∠4，∠2與∠3是鄰補(bǔ)角．【總結(jié)升華】兩條相交的直線，兩兩相配共組成6對角，這6對角中有：4對鄰補(bǔ)角，2對對頂角類型二、垂線4．下列語句中，正確的有  (  )    ①一條直線的垂線只有一條；②在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直；    ③兩直線相交，則交點(diǎn)叫垂足；    ④互相垂直的兩條直線形成的四個(gè)角一定都是直角．    A．0個(gè)    B．1個(gè)    C．2個(gè)    D．3個(gè)【答案】C【解析】正確的是：②④【總結(jié)升華】充分理解垂直的定義與性質(zhì).舉一反三：【變式1】直線外有一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線的距離是(   ).A．點(diǎn)P到直線的垂線的長度.B．點(diǎn)P到直線的垂線段.C．點(diǎn)P到直線的垂線段的長度.D．點(diǎn)P到直線的垂線.【答案】C  5. （2015?河北模擬）如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1=145°，則∠3的度數(shù)為（　?。?/span>　 A．35° B． 45° C． 55° D． 65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【總結(jié)升華】本題考查了垂線和鄰補(bǔ)角的定義；弄清兩個(gè)角之間的互補(bǔ)和互余關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【高清課堂：相交線 403101   經(jīng)典例題3】舉一反三：【變式】如圖, 直線AB和CD交于O點(diǎn), OD平分∠BOF, OE ⊥CD于點(diǎn)O, ∠AOC=40?,則∠EOF=_______.【答案】130°．6. 如圖所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方開溝，才能使溝最短?畫出圖來，并說明原因．【答案與解析】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．所以在點(diǎn)D沿CD開溝，才能使溝最短，原因是從直線外一點(diǎn)到直線上所有各點(diǎn)的連線中，垂線段最短．【總結(jié)升華】 “如何開溝、使溝最短”，實(shí)質(zhì)上是如何過C點(diǎn)向AB引線段，使線段最短，這就是最熟悉的垂線的性質(zhì)的應(yīng)用．舉一反三：【變式】(1)用三角尺或量角器畫已知直線的垂線，這樣的垂線能畫出幾條?(2)經(jīng)過直線上一點(diǎn)A畫的垂線，這樣的垂線能畫出幾條?(3)經(jīng)過直線外一點(diǎn)B畫的垂線，這樣的垂線能畫出幾條?【答案】 解：(1)能畫無數(shù)條；(2)能畫一條；(3)能畫一條．【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．如圖所示，∠1和∠2是對頂角的圖形共有（    ）    A．0個(gè)    B．1個(gè)    C．2個(gè)    D．3個(gè)2．以下四個(gè)敘述中，正確的有(    )   ①相等的角是對頂角；②互補(bǔ)的角是鄰補(bǔ)角；③兩條直線相交，可構(gòu)成2對對頂角；④對頂角、鄰補(bǔ)角都有一個(gè)共同特點(diǎn)：兩個(gè)角有公共的頂點(diǎn)．A．4個(gè)    B．3個(gè)    C．2個(gè)    D．1個(gè)3．（2014春?瓊海期中）在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可能是（　?。?/span>　 A．相交或垂直 B． 垂直或平行　 C．平行或相交 D． 平行或相交或重合4．如圖所示，點(diǎn)A到BD的距離是指(    ) A．線段AB的長度   B．線段AD的長度    C．線段AE    D．線段AE的長度5．在平面上，過直線上一點(diǎn)可以畫這條直線的垂線的條數(shù)為 (    )A．1    B．2    C．3    D．46.如圖，AB⊥CD于點(diǎn)O，直線EF經(jīng)過點(diǎn)O，若∠1＝26°，則∠2的度數(shù)是（   ）A．26°    B．64°    C．54°    D．以上答案都不對        二、填空題7．（2014秋?新泰市月考）四條直線兩兩相交，至多會(huì)有　　個(gè)交點(diǎn)．8．如圖，直線a，b相交，∠1＝60°，則∠2＝________，∠3＝________，∠4＝________．    9．如圖所示，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，CD⊥AB，若∠COE＝30°，則∠AOE＝_____，∠AOF＝______．10．如圖，直線AB與CD的位置關(guān)系是________，記作________于點(diǎn)________，此時(shí)∠AOD＝______＝______＝______＝90°．11.如圖，∠AOB＝90°，則AB   BO；若OA＝3 cm，OB＝2 cm，則A點(diǎn)到OB的距離是________cm，點(diǎn)B到OA的距離是________cm；O點(diǎn)到AB上各點(diǎn)連接的所有線段中________最短．    12．如圖所示，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，則∠BOD的度數(shù)是             ．三、解答題13.（2015春?懷集縣期末）如圖，OC⊥AB于點(diǎn)O，OD平分∠BOC，求∠COD的度數(shù)．14．如圖，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延長線．  (1) ∠AOC等于∠BOD嗎？請說明理由；(2)若∠BOD＝32°，求∠AOE的度數(shù)．15．如圖所示，小明家在A處，他要去在同一條路上的小麗家或小紅家或小華家或小剛家問作業(yè)，則最少要走多少米可以問到作業(yè)? 【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】B 【解析】只有（3）中的∠1與∠2是對頂角．2．【答案】C 【解析】③④正確．3. 【答案】C．4. 【答案】D  5. 【答案】A 6. 【答案】B 【解析】∠BOE＝90°－∠1＝64°，又∠AOF＝∠BOE＝64°． 二、填空題7.【答案】6．【解析】如圖，可看出四條直線兩兩相交，至多有6個(gè)交點(diǎn)． 8. 【答案】120°，  60°，  120°．9. 【答案】60°， 120° 【解析】∠AOE＝90°－∠COE＝60°，∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°＋∠EOC＝90°+30°=120°．10.【答案】垂直，AB⊥CD， O，∠BOD， ∠BOC，∠AOC．【解析】垂直的定義．11.【答案】＞，  3，  2，   垂線段．【解析】點(diǎn)到直線的距離的定義12.【答案】50°【解析】由題意知：∠BOD＝∠AOC=∠EOC＝50°．三、解答題13.【解析】解：∵OC⊥AB于點(diǎn)O，∴∠BOC=90°，∵OD平分∠BOC，∴∠COD=45°．14.【解析】解： (1)∠AOC＝∠BOD．理由：∵  OA⊥OB，OC⊥OD(已知)．∴  ∠AOB＝90°，∠COD＝90°．即∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOD+∠BOC＝90°，∴  ∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)．   (2)∵  ∠AOB＝90°，∠BOD＝32°，      ∴  ∠AOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－90°－32°＝58°．15.【解析】解：小明到小紅家問作業(yè)最近，所以小明至少要走15米． 

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初中數(shù)學(xué)湘教版七年級下冊電子課本 舊教材

4.5 垂線

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