相交線，垂線（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角概念，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1．鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．要點(diǎn)詮釋：(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°．(2)鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角．(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊；另一邊互為反向延長(zhǎng)線. 2. 對(duì)頂角及性質(zhì)： （1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角． （2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等．要點(diǎn)詮釋：(1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對(duì)頂角．(2)對(duì)頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線.3. 鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比：         角的名稱 特    征 性 質(zhì) 相 同 點(diǎn) 不 同 點(diǎn)對(duì)頂角 ①兩條直線相交形成的角； ②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③沒(méi)有公共邊.  對(duì)頂角相等. ①都是兩條直線相交而成的角；②都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③都是成對(duì)出現(xiàn)的.  ①有無(wú)公共邊；②兩直線相交時(shí)，對(duì)頂角只有2對(duì)；鄰補(bǔ)角有4對(duì).  鄰補(bǔ)角 ①兩條直線相交而成；②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③有一條公共邊.  鄰補(bǔ)角互補(bǔ).  知識(shí)點(diǎn)二、垂線1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．要點(diǎn)詮釋：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；         直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：AB⊥CD于點(diǎn)O.(2) 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫(huà)法：過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線，可通過(guò)直角三角板來(lái)畫(huà)，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫(huà)直線，則所畫(huà)直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．要點(diǎn)詮釋： (1)如果過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線上，也可能在線段的延長(zhǎng)線上．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．要點(diǎn)詮釋：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說(shuō)明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．要點(diǎn)詮釋：（1） 點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫(huà)出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度．【典型例題】類型一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1．如圖所示，AB和CD相交于點(diǎn)O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，試說(shuō)明OM和ON成一條直線。【答案與解析】解：∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分線定義）。∵∠AOC=∠BOD（對(duì)頂角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代換）。∵∠AON+∠BON=180°（鄰補(bǔ)角定義），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代換），∴ OM和ON共線。【總結(jié)升華】要得出OM和ON成一條直線，就要說(shuō)明∠MON是平角，從圖中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分，所以只要證明它們的非公共部分相等，即∠AOM和∠BON相等，本題得證。2.如圖所示，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求．【答案與解析】解：設(shè)∠1＝x，則∠2＝4x．∵  OE平分∠BOD，∴  ∠BOD＝2∠1＝2x．∵  ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴  x＝30°．∵  ∠DOE+∠COE＝180°，∴  ∠COE＝150°．又∵  OF平分∠COE，∴  ∠COF＝∠COE＝75°．∵  ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴  ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．【總結(jié)升華】涉及有比值的題設(shè)條件，如a:b＝m:n，在解題時(shí)設(shè)，，這是常用的用方程思想解題的方法．舉一反三：【變式】已知α的補(bǔ)角是一個(gè)銳角，有3人在計(jì)算時(shí)的答案分別是32°、87°、58°，其中只有一個(gè)答案是正確的，求的度數(shù)．【答案】解法1：∵  α的補(bǔ)角是一個(gè)銳角，∴  α是一個(gè)鈍角，即90°＜α＜180°，∴  ．由已知三人計(jì)算出的答案分別為32°、87°、58°，可知．∴  ．解法2：由題意可知是一個(gè)鈍角，即．如果，那么，不滿足；如果，那么，不滿足；如果，那么，滿足，所以此人計(jì)算的答案正確．所以．【總結(jié)升華】在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題中的誤選答案問(wèn)題時(shí)，常采用驗(yàn)算法，如本題的解法2：先利用假設(shè)求出相應(yīng)的α的度數(shù)，再驗(yàn)證是否正確．3.（1）如圖（1），已知直線a、b相交于點(diǎn) O，則（1）圖中共有幾對(duì)對(duì)頂角?幾對(duì)鄰補(bǔ)角？（2）如圖（2），已知直線a、b、c、d是經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的四條直線，則圖（2）中共有幾對(duì)對(duì)頂角（不含平角）?幾對(duì)鄰補(bǔ)角？     【答案與解析】解：（1）2對(duì)對(duì)頂角，4對(duì)鄰補(bǔ)角。（2）將圖（2）拆分為下圖：     通過(guò)觀察圖形．不難發(fā)現(xiàn)a、b、c、d四條直線兩兩相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，而由（1）知：每個(gè)交點(diǎn)處有兩對(duì)對(duì)頂角，有四對(duì)鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角的對(duì)數(shù)：（對(duì)）；鄰補(bǔ)角的對(duì)數(shù):(對(duì))答：圖中共有12對(duì)對(duì)頂角，24對(duì)鄰補(bǔ)角【總結(jié)升華】本例分析問(wèn)題的方法是通過(guò)直線的移動(dòng)，將直線相交于一點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線兩兩相交．這樣移動(dòng)，可將抽象的問(wèn)題直觀化．因?yàn)閚條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．每個(gè)交點(diǎn)處有兩組對(duì)頂角，故n條直線相交于一點(diǎn)共有n(n-1)對(duì)對(duì)頂角，2n(n-1)對(duì)鄰補(bǔ)角。舉一反三：【變式】（2015?青島模擬）如圖，直線AB與CD相交所成的四個(gè)角中，∠1的鄰補(bǔ)角是　    　，∠1的對(duì)頂角是　  　．【答案】∠ 2和∠ 4；∠ 3.由圖形可知，∠1的對(duì)頂角是∠3，∠1的鄰補(bǔ)角是∠2和∠4．類型二、垂線4．下列語(yǔ)句：①兩條直線相交，若其中一個(gè)交角是直角，那么這兩條直線垂直。②一條直線的垂線有無(wú)數(shù)條。③空間內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；④兩條直線相交成四個(gè)角，如果有兩個(gè)角相等，那么這兩條直線垂直。其中正確的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。【答案】①②【解析】解此題必須嚴(yán)格按照垂線的定義“兩條直線相交成直角”及垂線的性質(zhì)“過(guò)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，即過(guò)直線上或直線外任意一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直”來(lái)作判斷。①正確；②正確，過(guò)任意一點(diǎn)都可以作；對(duì)于③只有在“同一平面內(nèi)”才成立，因?yàn)榭臻g內(nèi)，當(dāng)這點(diǎn)在直線上時(shí)，過(guò)這點(diǎn)并非只有一條直線與已知直線垂直，故③錯(cuò)誤；④錯(cuò)誤，必須是兩個(gè)鄰角相等，如下圖：【總結(jié)升華】應(yīng)用垂線的定義及垂線的性質(zhì)時(shí)要把握其中的本質(zhì)要求：①關(guān)于垂線的定義：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直；②關(guān)于垂線的性質(zhì)：平面內(nèi)，過(guò)任意一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直，這條性質(zhì)說(shuō)明了已知直線的垂線的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性質(zhì)中的“任意一點(diǎn)”可能在這條已知直線上，也可能在這條已知直線外。舉一反三：【變式】在鐵路旁有一城鎮(zhèn)，現(xiàn)打算從城鎮(zhèn)修一條和鐵路垂直的道路，這種方案是唯一的，是因?yàn)?    )A．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線B．兩點(diǎn)之問(wèn)的所有連線中，線段最短C．在同一平面內(nèi)，兩直線同時(shí)垂直同一條直線，則這兩直線也互相垂直． D．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D   提示：注意區(qū)分直線性質(zhì)與垂線性質(zhì)  5.（2016春?達(dá)州校級(jí)期中）如圖所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD為∠BOC的平分線，∠BOE=20°，求∠DOE的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)垂直定義以及角平分線的定義得出∠BOD的度數(shù)，進(jìn)而得出∠DOE的度數(shù)．【答案與解析】解：∵OC⊥OE，∴∠COE=90°，∵∠BOE=20°，∴∠COB=90°+20°=110°，∵OD為∠BOC的平分線，∴∠BOD=55°，∴∠DOE=55°﹣20°=35°．【總結(jié)升華】此題主要考查了角平分線的定義以及垂直定義，正確求出∠COB的度數(shù)是解題關(guān)鍵． 舉一反三：【變式】如圖，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求證：ON平分∠BOC.【答案】解：如圖，∵OM平分∠AOB     ∴∠1=∠2又∵OM ⊥ON     ∴∠3=90°－∠2由圖可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2∴∠3=∠4∴ ON平分∠BOC6.如圖所示，一輛汽車(chē)在直線形公路AB上由A向B行駛，M、N分別是位于公路兩側(cè)的村莊．    (1)設(shè)汽車(chē)行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q位置時(shí)，距離村莊N最近，請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB上分別畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置(保留作圖痕跡)．    (2)當(dāng)汽車(chē)從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村莊都越來(lái)越近?在哪一段路上距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M越來(lái)越遠(yuǎn)?(分別用文字表述你的結(jié)論，不必說(shuō)明)【答案與解析】解：(1)過(guò)點(diǎn)M作MP⊥AB，垂足為P，過(guò)點(diǎn)N作NQ⊥AB，垂足為Q，點(diǎn)P、Q就是要畫(huà)的兩點(diǎn)，如圖所示．(2)當(dāng)汽車(chē)從A向B行駛時(shí)，在AP這段路上，離兩個(gè)村莊越來(lái)越近；在PQ這段路上，離村莊M越來(lái)越遠(yuǎn)，離村莊N越來(lái)越近．【總結(jié)升華】利用垂線段最短解決實(shí)際問(wèn)題是常用的一種方法．舉一反三：【變式1】如圖所示，過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC，垂足為D點(diǎn)．【答案】解：如圖所示       【變式2】點(diǎn)P為直線外一點(diǎn)：點(diǎn)A、B、C為直線上三點(diǎn)，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，則點(diǎn)P到直線的距離是  (    )A．2 cm    B．4 cm    C．5 cm    D．不超過(guò)2 cm【答案】D.

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