初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊18.2.3 正方形課堂教學(xué)課件ppt

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊18.2.3 正方形課堂教學(xué)課件ppt，共41頁。PPT課件主要包含了學(xué)習(xí)目標，四個角都是直角，復(fù)習(xí)回顧，平行四邊形，四邊形，三個角是直角，四條邊相等，四個判定定理，對角線相等，對角線垂直等內(nèi)容，歡迎下載使用。
理解并掌握正方形的判定和推導(dǎo)過程.
能熟練運用正方形的判定進行計算和證明.
兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角.
軸對稱圖形，有四條對稱軸.
對邊平行，四條邊都相等
你是如何判斷是矩形、菱形？
思考:怎樣判定一個四邊形是正方形呢？
活動1：準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.
猜想：滿足怎樣條件的矩形是正方形？
已知：如圖,在矩形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線,AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四邊形ABCD是正方形.
命題：對角線互相垂直的矩形是正方形.
判定1： 對角線互相垂直的矩形是正方形.
數(shù)學(xué)語言： 在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD∴四邊形ABCD是正方形
活動2：矩形的邊有什么樣的性質(zhì)？正方形的邊有什么樣的性質(zhì)？
正方形：四邊相等且對邊平行
矩形添加鄰邊相等能否得到正方形？
已知在矩形ABCD中，AB=BC，求證：四邊形ABCD是正方形.
證明： ∵四邊形ABCD是矩形
∴∠B=90?，四邊形ABCD是平行四邊形
∴四邊形ABCD是正方形（根據(jù)正方形的定義“有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形”）
判定2 ： 有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
數(shù)學(xué)語言：在矩形ABCD中， ∵AB=BC∴四邊形ABCD是正方形
活動3：把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯牵^察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.
猜想：滿足怎樣條件的菱形是正方形？
已知：如圖,在菱形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線,AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四邊形ABCD是正方形.
命題：對角線相等的菱形是正方形.
判定3 ： 對角線相等的菱形是正方形.
數(shù)學(xué)語言： 在菱形ABCD中， ∵ AC=BD∴四邊形ABCD是正方形
活動4：菱形的角具有什么性質(zhì)？正方形的角具有什么性質(zhì)？
正方形：四個角相等，都為90°
菱形添加有一個角為直角能否得到正方形？
已知在菱形ABCD中，∠A=90?，求證：四邊形ABCD是正方形.
證明： ∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA四邊形ABCD是平行四邊形
∴四邊形ABCD是正方形（根據(jù)正方形的定義“有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形” ）
判定4： 有一個角是直角的菱形是正方形.
數(shù)學(xué)語言： 在菱形ABCD中， ∵ ∠A=90?∴四邊形ABCD是正方形
正方形判定的幾條途徑：
1.平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且AC⊥BD，請?zhí)砑右粋€條件： ，使得四邊形ABCD是正方形.
解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD
∴四邊形ABCD是菱形
∴AC=BD或∠BAD=90?或∠ABC=90?或∠BCD=90?或∠ADC=90?均滿足題意
2.滿足下列條件的四邊形是不是正方形？
（1）對角線互相垂直且相等的平行四邊形.
（2）對角線互相垂直的矩形.
（3）對角線相等的菱形.
（4）對角線互相垂直平分且相等的菱形.
4個都是正方形，滿足正方形的判定條件.
例1：在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形 .
證明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °，∴四邊形ADFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四邊形ADFC是正方形.
例2：如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.
例3：如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.
例4：如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當點E運動到AC中點時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．
（1）證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
（2）解：當點E運動到AC的中點時四邊形AFBE是正方形，理由：∵點E運動到AC的中點，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE= AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四邊形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．
思考：前面學(xué)菱形時我們探究了順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形各邊中點能得到菱形，那么順次連接正方形各邊中點能得到怎樣的特殊平行四邊形？
1.下列命題正確的是（ ）.
A.四個角都相等的四邊形是正方形
B.四條邊都相等的四邊形是正方形
C.對角線互相垂直的矩形是正方形
D.對角線相等的平行四邊形是正方形
2.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A.當AB=BC時，四邊形ABCD是菱形
B.當AC=BD時，四邊形ABCD是正方形
C.當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形
D.當∠ABC=90?時，四邊形ABCD是矩形
3.如圖，等邊三角形AEF的頂點為E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC、CD上，且∠CEF=45?. 求證：矩形ABCD是正方形.
解析：先證明△AEB≌△AFD得到AB=AD，再根據(jù)“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”得出結(jié)論.
∴∠B=∠D=∠C=90?
∵△AEF是等邊三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60?
∵∠CEF=45? ∴∠CFE=45?
∴∠AFB=∠AEB=180?-45?-60?= 75?
∴矩形ABCD是正方形
∴△AEB≌△AFD，AB=AD
3.如圖，在直角三角形中，∠C=90?，∠A、∠B的平分線交于點D，DE⊥AC，DF⊥CB. 求證：四邊形CEDF 為正方形.
證明：過點D作DG⊥AB，垂足為G.
∴∠DEC=∠DFC=90?
∴四邊形CEDF為矩形
∵DE⊥AC，DF⊥CB
∵AD是∠CAB的平分線， DE⊥AC，DG⊥AB
∴四邊形CEDF為正方形
4.如圖，在直角三角形中，∠C=90?，∠A、∠B的平分線交于點D，DE⊥AC，DF⊥CB. 求證：四邊形CEDF 為正方形.
5.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD、PN⊥CD，垂足分別為M、N.（1）求證：∠ADB=∠CDB.（2）若∠ADC=90?，求證：四邊形PMDN是正方形.
證明：（1）∵ AB=BC，對角線 BD 平分∠ABC
∴ ∠ABD=∠CBD
∵在△ABD和△CBD中， AB=BC， ∠ABD=∠CBD， BD=BD
∴ ∠ADB=∠CDB
（2）∵∠ADC=90?， PM⊥AD，PN⊥CD
∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90?
∴四邊形PMDN是矩形
∵ ∠ADB=∠CDB=45?
∴四邊形PMDN是正方形
∴∠MPD=∠NPD=45?
∴DM=PM，DN=PN
6.在正方形ABCD中，動點 E 在AC上，AF⊥AC，垂足為 A,AF=AE.（1）求證：BF=DE.（2）當點 E 運動到 AC 的中點時，說明四邊形AFBE是正方形.
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90?
∵AF⊥AC ∴∠BAF+∠BAE=90?
∵∠BAE+∠DAE=90?
∵在△ADE和△ABF中， AD=AB， ∠DAE=∠BAF， AE=AF
∴△ADE≌△ABF， BF=DE
（2）∵點E運動到AC的中點，AB=BC
∵AF=AE ∴ BE=AF=AE
又∵BE⊥AC ，∠FAE=∠BEC=90?
∴四邊形AFBE是平行四邊形
∵∠FAE=90?，AE=AF
∴四邊形AFBE是正方形
一個角是直角且一組鄰邊相等
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)