指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較 (建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．下列函數(shù)中y隨x的增大而增大，且增長(zhǎng)速度最快的是(　　)A．y＝2 020ln x B．y＝exC．y＝2 020x D．y＝2 020·2xB　[由于指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)是爆炸式增長(zhǎng)，所以當(dāng)x越來越大時(shí)，函數(shù)y＝ex與y＝2 020·2x的增長(zhǎng)越來越快，由于e>2，當(dāng)x超過某一個(gè)值時(shí)，函數(shù)y＝ex的值會(huì)超過y＝2 020·2x的值，故選B.]2．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%，要增長(zhǎng)到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為(　　)　 　            A　　　　B　　　  C　 　　DD　[設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中圖象，故選D.]3．有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車，其跑車時(shí)間均為x小時(shí)，跑過的路程分別滿足關(guān)系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，則5個(gè)小時(shí)以后跑在最前面的為(　　)A．甲 B．乙C．丙 D．丁D　[法一：分別作出四個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，利用數(shù)形結(jié)合，知5個(gè)小時(shí)后丁車在最前面．法二：由于4個(gè)函數(shù)均為增函數(shù)，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5個(gè)小時(shí)后丁車在最前面，故選D.]4．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是(　　)A．y＝2x－2 B．y＝xC．y＝log2x D．y＝(x2－1)D　[法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.法二：比較四個(gè)函數(shù)值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)易知選D.]5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2<x<4時(shí)，有(　　)A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1B　[在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)內(nèi)，從上到下圖象依次對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]二、填空題6．現(xiàn)測(cè)得(x，y)的兩組對(duì)應(yīng)值分別為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個(gè)待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測(cè)得(x，y)的一組對(duì)應(yīng)值為(3,10.2)，則應(yīng)選用________作為函數(shù)模型．甲　[把x＝1,2,3分別代入甲、乙兩個(gè)函數(shù)模型，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)模型甲較好．]7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xln x在區(qū)間(1，＋∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是_______．y＝x2　[當(dāng)x變大時(shí)，x比ln x增長(zhǎng)要快，∴x2要比xln x增長(zhǎng)的要快．]8.某工廠8年來某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，給出下列四種說法：①前三年中產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來越快；②前三年中產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來越慢；③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變．其中說法正確的是________．②③　[由t∈[0,3]的圖象，聯(lián)想到冪函數(shù)y＝xa(0＜a＜1)，反映了C隨時(shí)間的變化而逐漸增長(zhǎng)但速度越來越慢，由t∈[3,8]的圖象可知，總產(chǎn)量C沒有變化，即第三年后停止生產(chǎn)．]三、解答題9．畫出函數(shù)f(x)＝與函數(shù)g(x)＝x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關(guān)系．[解]　函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示．根據(jù)圖象易得：當(dāng)0≤x<4時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x>4時(shí)，f(x)<g(x)．10．某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬元的利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制訂一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且資金y(單位：萬元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬元)的增加而增加，但資金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)資金不超過利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？[解]　作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(如圖)．觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5和y＝0.25x的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求．11．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得列變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是(　　)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD　[將x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排除A；將x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D.]12．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，則有(　　)A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx)C．f(bx)<f(cx) D．f(bx)，f(cx)大小不定B　[由f(1＋x)＝f(1－x)，知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以＝1，即b＝2.由f(0)＝3，知c＝3.此時(shí)f(x)＝x2－2x＋3.當(dāng)x<0時(shí)，3x<2x<1，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，1)上是減函數(shù)，所以f(bx)<f(cx)；當(dāng)x＝0時(shí)，f(bx)＝f(cx)；當(dāng)x>0時(shí)，3x>2x>1，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(bx)<f(cx)．綜上，f(bx)≤f(cx)．]13.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t(月)的近似函數(shù)關(guān)系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的圖象．有以下說法：①第4個(gè)月時(shí)，剩留量就會(huì)低于；②每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等；③當(dāng)剩留量為，，時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.其中所有正確說法的序號(hào)是________．①③　[由于函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，故函數(shù)的關(guān)系式為y＝t.當(dāng)t＝4時(shí)，y＝<，故①正確；當(dāng)t＝1時(shí)，y＝，減少，當(dāng)t＝2時(shí)，y＝，減少，故每月減少有害物質(zhì)質(zhì)量不相等，故②不正確；分別令y＝，，，解得t1＝，t2＝，t3＝，t1＋t2＝t3，故③正確．]14．甲、乙兩地相距500 km，一輛運(yùn)輸汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度v不能超過120 km/h.已知運(yùn)輸汽車每小時(shí)運(yùn)輸成本為元，則全程運(yùn)輸成本y與速度v的函數(shù)關(guān)系是y＝________，當(dāng)運(yùn)輸汽車的行駛速度為________km/h時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小．18(0＜v≤120)　100　[運(yùn)輸汽車從甲地到乙地所用的時(shí)間為(0＜v≤120)，則全程運(yùn)輸成本y＝·＝18(0＜v≤120)，而v＋≥2＝200，當(dāng)且僅當(dāng)v＝，即v＝100時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)運(yùn)輸汽車的行駛速度為100 km/h時(shí)，全程運(yùn)輸成本最?。甝15．某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)預(yù)測(cè)可知，進(jìn)入21世紀(jì)以來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng)．記2015年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬件)之間的關(guān)系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝x＋a.(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取2015年和2017年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)因遭受某國(guó)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行反傾銷的影響，2021年的年產(chǎn)量比預(yù)計(jì)減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2021年的年產(chǎn)量．[解]　(1)符合條件的是f(x)＝ax＋b，若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此時(shí)f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與已知相差太大，不符合．若模型為f(x)＝x＋a，則f(x)是減函數(shù)，與已知不符合．由已知得解得所以f(x)＝x＋，x∈N.故最適合的函數(shù)模型解析式為f(x)＝x＋，x∈N.(2)2021年預(yù)計(jì)年產(chǎn)量為f(7)＝×7＋＝13，2021年實(shí)際年產(chǎn)量為13×(1－30%)＝9.1.2021年的年產(chǎn)量為9.1萬件．  

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4 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較

版本： 北師大版 (2019)

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