利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性 (建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝2x2－4x－3的零點(diǎn)有(　　)A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．不能確定C　[由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因?yàn)?/span>Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x2－4x－3＝0有兩個(gè)根，即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．]2．函數(shù)f(x)＝4x－2x－2的零點(diǎn)是(　　)A．(1,0) B．1C． D．－1B　[由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.]3．已知函數(shù)f(x)＝－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(　　)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)C　[由題意知，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0.由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上必存在零點(diǎn)．]4．函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　)A．0 B．1C．2 D．3C　[如圖，畫(huà)出y＝ln x與y＝的圖象，由圖知y＝ln x與y＝(x>0，且x≠1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．故函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)有2個(gè)．]5．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且圖象是連續(xù)不斷的，若f(a)·f(b)＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上(　　)A．至少有一實(shí)數(shù)根 B．至多有一實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．必有唯一的實(shí)數(shù)根D　[由題意知函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)．∵f(a)·f(b)＜0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)．又∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至多有一個(gè)零點(diǎn)．故函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)必有唯一的實(shí)數(shù)根．故選D.]二、填空題6．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一個(gè)零點(diǎn)為1，則它的另一個(gè)零點(diǎn)為_(kāi)_______．－3　[設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，根據(jù)函數(shù)解析式，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－＝－2.又因?yàn)?/span>x1＝1，所以x2＝－3.]7．函數(shù)f(x)＝x2－2x在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．3　[由題意可知，函數(shù)f(x)＝x2－2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)y＝2x，y＝x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．如圖，畫(huà)出函數(shù)y＝2x，y＝x2的大致圖象．由圖象可知有3個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝x2－2x有3個(gè)零點(diǎn)．]8．若函數(shù)f(x)＝mx－1在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．(1，＋∞)　[f(0)＝－1，要使函數(shù)f(x)＝mx－1在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，需f(1)＝m－1>0，即m>1.]三、解答題9．判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4.[解]　(1)令f(x)＝0即＝0，故x＝－3.所以函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)是－3.(2)令f(x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因?yàn)?/span>Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程無(wú)解，故函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋4無(wú)零點(diǎn)．10．已知函數(shù)f(x)＝2x－x2，問(wèn)方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)是否有解，為什么？[解]　有解．因?yàn)?/span>f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，f(0)＝20－02＝1>0，且函數(shù)f(x)＝2x－x2的圖象是連續(xù)曲線(xiàn)，所以f(x)在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有零點(diǎn)，即方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有解．11．函數(shù)y＝x2＋a存在零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　)A．a>0 B．a≤0C．a≥0 D．a<0B　[函數(shù)y＝x2＋a存在零點(diǎn)，則x2＝－a有解，所以a≤0.]12．(多選)下列說(shuō)法中正確的是(　　)A．f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零點(diǎn)為(－1,0)B．f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零點(diǎn)為－1C．函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，即y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)D．函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，即y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)BD　[根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，可知f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零點(diǎn)為－1；函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)即y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．因此，只有說(shuō)法BD正確，AC錯(cuò)誤．]13．已知函數(shù)f(x)＝3x＋x－5的零點(diǎn)x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，則a＝________，b＝________.1　2　[∵函數(shù)f(x)＝3x＋x－5，∴f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0，∴f(1)f(2)<0，且函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f(x)的零點(diǎn)x0在區(qū)間(1,2)內(nèi)．∴a＝1，b＝2.]14．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，－2是它的一個(gè)零點(diǎn)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則該函數(shù)有________個(gè)零點(diǎn)，這幾個(gè)零點(diǎn)的和等于________．3　0　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(0)＝0.又因?yàn)?/span>f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故該函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，這3個(gè)零點(diǎn)之和等于0.]15．已知函數(shù)f(x)＝x＋－.(1)用單調(diào)性的定義證明f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)；(2)證明：f(x)有零點(diǎn)；(3)設(shè)f(x)的零點(diǎn)x0落在區(qū)間內(nèi)，求正整數(shù)n的值．[解]　(1)證明：顯然，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨設(shè)x1<x2，則x2－x1>0，x1x2>0，則－＝>0，x1>x2，即x1－x2>0，所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋>0，所以f(x1)>f(x2)．故f(x)在定義域(0，＋∞)上是減函數(shù)．(2)證明：因?yàn)?/span>f(1)＝0＋－＝－8<0，f ＝4＋8－＝>0，所以f(1)·f <0，又因?yàn)?/span>f(x)在區(qū)間上是連續(xù)的，所以f(x)有零點(diǎn)．(3)f ＝＋－＝log211－3>log28－3＝0，f ＝＋5－＝log210－＝log25－＝log2－log2<0，所以f f <0，所以f(x)的零點(diǎn)x0落在區(qū)間內(nèi)．故n＝10. 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

1.1 利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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