一、選擇題
1．下列函數(shù)中y隨x的增大而增大，且增長速度最快的是( )
A．y＝2 020ln xB．y＝eq \f(1,2 020)ex
C．y＝2 020xD．y＝2 020·2x
B [由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，所以當(dāng)x越來越大時(shí)，函數(shù)y＝eq \f(1,2 020)ex與y＝2 020·2x的增長越來越快，由于e>2，當(dāng)x超過某一個(gè)值時(shí)，函數(shù)y＝eq \f(1,2 020)ex的值會(huì)超過y＝2 020·2x的值，故選B.]
2．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為( )
A B C D
D [設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中圖象，故選D.]
3．有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車，其跑車時(shí)間均為x小時(shí)，跑過的路程分別滿足關(guān)系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，則5個(gè)小時(shí)以后跑在最前面的為( )
A．甲B．乙
C．丙D．丁
D [法一：分別作出四個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，利用數(shù)形結(jié)合，知5個(gè)小時(shí)后丁車在最前面．
法二：由于4個(gè)函數(shù)均為增函數(shù)，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝lg3(5＋1)＝1＋lg32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5個(gè)小時(shí)后丁車在最前面，故選D.]
4．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：
對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是( )
A．y＝2x－2B．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x
C．y＝lg2xD．y＝eq \f(1,2)(x2－1)
D [法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.
法二：比較四個(gè)函數(shù)值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)易知選D.]
5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x，當(dāng)2y3B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1
B [在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)內(nèi)，從上到下圖象依次對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y2＝x2，y1＝2x，y3＝lg2x，故y2>y1>y3.]
二、填空題
6．現(xiàn)測得(x，y)的兩組對(duì)應(yīng)值分別為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個(gè)待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對(duì)應(yīng)值為(3,10.2)，則應(yīng)選用________作為函數(shù)模型．
甲 [把x＝1,2,3分別代入甲、乙兩個(gè)函數(shù)模型，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)模型甲較好．]
7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xln x在區(qū)間(1，＋∞)上增長較快的一個(gè)是_______．
y＝x2 [當(dāng)x變大時(shí)，x比ln x增長要快，
∴x2要比xln x增長的要快．]
8.某工廠8年來某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，給出下列四種說法：
①前三年中產(chǎn)量增長的速度越來越快；
②前三年中產(chǎn)量增長的速度越來越慢；
③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；
④第三年后產(chǎn)量保持不變．其中說法正確的是________．
②③ [由t∈[0,3]的圖象，聯(lián)想到冪函數(shù)y＝xa(0＜a＜1)，反映了C隨時(shí)間的變化而逐漸增長但速度越來越慢，由t∈[3,8]的圖象可知，總產(chǎn)量C沒有變化，即第三年后停止生產(chǎn)．]
三、解答題
9．畫出函數(shù)f(x)＝eq \r(x)與函數(shù)g(x)＝eq \f(1,4)x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關(guān)系．
[解] 函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示．
根據(jù)圖象易得：
當(dāng)0≤xg(x)；
當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x>4時(shí)，f(x)

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3.3 對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga x的圖像和性質(zhì)

版本： 北師大版 (2019)

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