必要條件與充分條件(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件A　[若x>0，則x≠0.若x≠0，則x＞0或x＜0，所以x>0是x≠0的充分不必要條件，故選A.]2．設(shè)集合M＝，N＝，則“a＝1”是“N?M”的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件A　[當(dāng)a＝1時，N＝{1} ?M，滿足充分性；而當(dāng)N＝{a2}?M時，可得a＝1或a＝－1或a＝或a＝－，不滿足必要性，故選A.]3. “＝”是“x＝y”的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件B　[若x＝－y＝1，則＝.但x≠y若x＝y，則＝，所以＝是x＝y的必要不充分條件，故選B.]4．下列條件中，是“x2<4”的必要不充分條件的是(　　)A．1<x<3 B．－2<x<0C．0<x≤2 D．－2≤x≤2D　[由x2<4，得－2<x<2.在所給的條件中，只有真包含于，故選D.]5．若a∈R，則“a<1”是“>1”成立的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B　[由>1，得0<a<1，因此，“a<1”是“>1”的必要不充分條件，故選B.]二、填空題6．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的________條件．[答案]　充分不必要7．若“1－x<0”是“x>a”的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．a≤1　[由題意得，?，故a≤1.]8．在下列四個結(jié)論中，正確的是________．(填上你認(rèn)為正確的所有序號)①“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分條件；②已知a，b∈R，則“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要條件是ab＞0；③“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0無實數(shù)根”的充要條件；④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要條件．①③　[對于①，當(dāng)x<0時，x＋＝0，且當(dāng)x＋|x|＞0時，x＞0，可推出x≠0，故①對；對于②，當(dāng)ab＝0時，＝＋，故②錯；對于④，當(dāng)x＝－1時，x2＝1，故④錯；只有①③正確．]三、解答題9．是否存在實數(shù)m，使2x＋m<0是x2>1的充分條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．[解]　由x2>1，得x>1或x<－1，要使2x＋m<0是x2>1的充分條件，只需?，即只需－≤－1，解得m≥2所以，存在實數(shù)m≥2，使2x＋m<0是x2>1的充分條件．10．求證：關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個負(fù)實根的充要條件是m≥2.[證明]　(1)充分性：因為m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有實根，設(shè)兩個實根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x2＝1>0，所以x1、x2同號；又因為x1＋x2＝－m≤－2，所以x1、x2同為負(fù)根．(2)必要性：因為x2＋mx＋1＝0的兩個實根x1、x2均為負(fù)，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝－＝－≥0，所以m≥2，綜合(1)，(2)知命題得證．11．(多選)給出四個條件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<<.其中能成為x>y的充分條件的有(　　)A．① B．②C．③ D．④AD　[①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2?x>y；②當(dāng)t>0時，x>y，當(dāng)t<0時，x<y，故xt>ytx>y；③由x2>y2，得|x|>|y|，故x2>y2x>y；④由0<<?x>y.故選AD.]12．(多選)設(shè)計如圖所示的四個電路圖，若p：開關(guān)S閉合，q：燈泡L亮，則p是q的充要條件的電路圖是(　　)　                A　　　　B　　　　C　　　 　DBD　[由題知，電路圖A中，開關(guān)S閉合，燈泡L亮，而燈泡L亮開關(guān)S不一定閉合，故A中p是q的充分不必要條件；電路圖B中，開關(guān)S閉合，燈泡L亮，且燈泡L亮，則開關(guān)S一定閉合，故B中p是q的充要條件；電路圖C中，開關(guān)S閉合，燈泡L不一定亮，燈泡L亮則開關(guān)S一定閉合，故C中p是q的必要不充分條件；電路圖D中，開關(guān)S閉合則燈泡L亮，燈泡L亮則一定有開關(guān)S閉合，故D中p是q的充要條件．故選BD.]13．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．a<5　[由題意得，A是B的真子集，故a<5.]14．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1；⑤x>－1.其中，可以作為x2<1的一個充分不必要條件的所有序號為________；可以作為x2<1的一個必要不充分條件的所有序號為________．②③　①⑤　[由x2<1，得－1<x<1，而{x|0<x<1}{x|－1<x<1}，{x|－1<x<0}{x|－1<x<1}，所以0<x<1和－1<x<0都可作為x2<1的一個充分不必要條件．因為{x|－1<x<1}{x|x<1}，{x|－1<x<1}{x|x>－1}，所以x<1和x>－1均可作為x2<1的一個必要不充分條件．]15．求證：方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的兩實根的平方和大于3的必要條件是|a|>，這個條件是其充分條件嗎？為什么？[證明]　∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有兩實根，則Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.設(shè)方程x2＋ax＋1＝0的兩實根分別為x1、x2，則，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.∴|a|≥>.∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的兩實根的平方和大于3的必要條件是|a|>；但a＝2時，x＋x＝2≤3.因此這個條件不是其充分條件．  

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.1 必要條件與充分條件

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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