全稱量詞與存在量詞 (建議用時：40分鐘)一、選擇題1．下列命題中是存在量詞命題的是(　　)A．平行四邊形的對邊相等 B．同位角相等 C．任何實數(shù)都存在相反數(shù) D．存在實數(shù)沒有倒數(shù)[答案] 　D2．將命題“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱量詞命題為(　　)A．對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．對任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立A　[本題中的命題僅保留了結(jié)論，省略了條件“任意實數(shù)x，y”，改成全稱命題為：對任意實數(shù)x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．]3. 已知命題p：?n∈N,2n＞1000，則p的否定為(　　)A．?n∈N,2n≤1000 B．?n∈N,2n＞1000C．?n∈N,2n≤1000 D．?n∈N,2n＜1000A　[存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，“＞”的否定是“≤”，故選A.]4．設(shè)x∈Z，A是奇數(shù)集，B是偶數(shù)集，則“?x∈A,2x∈B”的否定是(　　)A．?x∈A,2x?B B．?x?A,2x?BC．?x?A,2x∈B D．?x∈A,2x?B[答案]　D5．下列命題中的假命題是(　　)A．?x∈R，x3≤0 B．?x∈R，3<0C．?x∈R，x2≥0 D．?x∈R，2>0D　[當x＝－1時，2＝0，故選D.]二、填空題6．將“方程x2＋1＝0無實根”改寫成含有一個量詞的命題的形式，可以寫成________．[答案]　?x∈R，x2＋1≠07．“對任意x∈R，若y>0，則x2＋y>0”的否定是________．[答案]　存在x∈R，若y>0，則x2＋y≤08．對于命題：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全稱量詞命題并且是真命題的是________．(填序號)②　[只有①②是全稱量詞命題，當x＝0時，x2＝0，所以①是假命題．]三、解答題9．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷真假．(1)所有的實數(shù)a、b，方程ax＋b＝0恰有惟一解．(2)存在實數(shù)x，使＝.[解]　 (1)該命題是全稱量詞命題．當a＝0，b＝0時方程有無數(shù)解，故該命題為假命題．(2) 該命題是存在量詞命題．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴≤<.故該命題是假命題．10．寫出下列命題的否定，并判斷真假：(1)正方形都是菱形；(2)?x∈R，使4x－3>x；(3)?x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．[解]　(1)命題的否定：正方形不都是菱形，是假命題．(2)命題的否定：?x∈R，有4x－3≤x.因為當x＝2時，4×2－3＝5>2，所以“?x∈R，有4x－3≤x”是假命題．(3)命題的否定：?x∈R.使x＋1≠2x.因為當x＝2時，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“?x∈R，使x＋1≠2x”是真命題．(4)命題的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命題．11．(多選)下列命題錯誤的是(　　)A．?x∈{－1,1},2x＋1>0B．?x∈Q，x2＝3C．?x∈R，x2－1>0D．?x∈N，|x|≤0ABC　[對于A，x＝－1時，不合題意；對于B，x＝±，B錯誤；對于C，比如x＝0時，－1<0，錯誤；D選項正確．]12．已知命題p：?x>0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則a的取值范圍是(　　)A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}B　[∵p為假命題，∴p的否定為真命題，即：?x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，則a≥1.∴a的取值范圍是a≥1，故選B.]13．某中學開展小組合作學習模式，某班某組小王同學給組內(nèi)小李同學出題如下：若命題“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命題，求m范圍．小李略加思索，反手給了小王一道題：若命題“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命題，求m范圍．你認為，兩位同學題中m范圍是否一致？________(填“是”“否”中的一種)是　[∵命題“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋m>0”．而命題“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命題，則其否定“?x∈R，x2＋2x＋m>0”為真命題．∴兩位同學題中m范圍是一致的．]14．若“?x∈R，x2＋3x＋m＝0”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．m≤　[由已知，得Δ＝32－4m≥0，解得，m≤，所以，實數(shù)m的取值范圍是m≤.]15．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；(2)若命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍．[解]　(1)由于命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，所以B?A，B≠?，所以解得2≤m≤3.(2)由于命題q為真命題，則A∩B≠?，因為B≠?，所以m＋1≤2m－1，所以m≥2.所以解得2≤m≤4.

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2.2 全稱量詞與存在量詞

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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