必要條件與充分條件[A級　基礎(chǔ)鞏固]1．(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，q是p的必要條件的是(　　)A．若a是1的平方根，則a＝1B．若4x2－mx＋9是完全平方式，則m＝12C．若a是無理數(shù)，則a是無限小數(shù)D．若a與b互為相反數(shù)，則a與b的絕對值相等解析：選CD　A．1的平方根是±1，所以p q，所以q不是p的必要條件．B．因?yàn)?x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以m＝±12，所以p q，所以q不是p的必要條件．C．因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以p?q，所以q是p的必要條件．D．若a與b互為相反數(shù)，則a與b的絕對值相等，所以p?q，所以q是p的必要條件．2．若p：四邊形ABCD是菱形，q：四邊形ABCD是矩形，則p是q的(　　)A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件解析：選D　依題意，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，不一定是矩形．當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，不一定是菱形．∴p q，q p，∴p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件．3．“a＞b”是“a＞|b|”的(　　)A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件解析：選B　由a＞|b|?a＞b，而a＞b a＞|b|.4．設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么(　　)A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C．丙既是甲的充分條件，又是甲的必要條件D．丙既不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件解析：選A　因?yàn)榧资且业谋匾獥l件，所以乙?甲．又因?yàn)楸且业某浞謼l件，但不是乙的必要條件，所以丙?乙，但乙 丙，如圖．綜上，有丙?甲，但甲 丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件．5．設(shè)x，y是兩個(gè)實(shí)數(shù)，命題：“x，y中至少有一個(gè)數(shù)大于1”成立的充分條件但不是必要條件是(　　)A．x＋y＝2　　　　　　　 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2  D．xy＞1解析：選B　對于選項(xiàng)A，當(dāng)x＝1，y＝1時(shí)，滿足x＋y＝2，但命題不成立；對于選項(xiàng)C、D，當(dāng)x＝－2，y＝－3時(shí)，滿足x2＋y2＞2，xy＞1，但命題不成立，也不符合題意．6．設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的________條件．解析：若“四邊形ABCD”為菱形”，則“對角線AC⊥BD”成立；而若“對角線AC⊥BD”成立，則“四邊形ABCD不一定為菱形”，所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分條件但不是必要條件．答案：充分條件但不是必要7．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以作為|x|＜1的一個(gè)充分條件的所有序號為________．解析：由于|x|＜1即－1＜x＜1，①顯然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④滿足題意．答案：②③④8．已知p：a≤x≤a＋1，q：0＜x＜4，若p是q的充分條件但不是必要條件，則a的取值范圍是________．解析：設(shè)A＝{x|a≤x≤a＋1}，B＝{x|0＜x＜4}，∵p是q的充分條件但不是必要條件，∴AB.∴∴0＜a＜3.答案：(0，3)9．是否存在實(shí)數(shù)p，使4x＋p＜0是x＞2或x＜－1的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍；否則，說明理由．解：令A＝{x|x＞2或x＜－1}．由4x＋p＜0，得B＝.當(dāng)B?A時(shí)，即－≤－1，即p≥4，此時(shí)x＜－≤－1?x＞2或x＜－1，∴當(dāng)p≥4時(shí)，4x＋p＜0是x＞2或x＜－1的充分條件．10．已知p：－2≤x－8≤2，q：x＞1，r：a＜x＜2a.若r是p的必要條件但不是充分條件，且r是q的充分條件但不是必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：易得a＞0，p：6≤x≤10.記p，q，r中x的取值構(gòu)成的集合分別為A，B，C，則A＝{x|6≤x≤10}，B＝{x|x>1}，C＝{x|a<x<2a}．由于r是p的必要條件但不是充分條件，r是q的充分條件但不是必要條件，則AC，CB，結(jié)合數(shù)軸(圖略)應(yīng)有解得5＜a＜6，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(5，6)．[B級　綜合運(yùn)用]11．“x＞5”是“x＞10”的(　　)A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件解析：選B　因?yàn)?/span>x＞5推不出x＞10，故充分性不成立，x＞10推得出x＞5，所以必要性成立，所以“x＞5”是“x＞10”的必要條件但不是充分條件，故選B.12．某校高一年級為豐富學(xué)生的課外生活，提高學(xué)生的探究能力，特開設(shè)了一些社會活動小組，現(xiàn)有其中的甲、乙兩組同學(xué)在參加社團(tuán)活動中，設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)電路圖．并根據(jù)在數(shù)學(xué)課上所學(xué)的充分條件與必要條件知識，提出了下面兩個(gè)問題：(1)①中開關(guān)A閉合是燈泡B亮的什么條件？(2)②中開關(guān)A閉合是燈泡B亮的什么條件？你能根據(jù)本節(jié)課所學(xué)知識解答上述兩個(gè)問題嗎？解：(1)充分條件．(2)必要條件． 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.1 必要條件與充分條件

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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