?專題13.12 等邊三角形（專項練習(xí)）
一、 單選題
知識點一、等邊三角形的性質(zhì)
1．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，則∠BED為（　?。?br />
A．45° B．15° C．10° D．125°
2．如圖，是等邊的中線，點E在上，，則的度數(shù)為（　　?。?br />
A． B． C． D．
3．如圖所示，已知，等邊的頂點B在直線n上，，則∠2的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
4．如圖，是等邊三角形，兩個銳角都是的三角尺的一條直角邊在上，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
知識點二、等邊三角形的判定
5．如果一個三角形是軸對稱圖形，且有一個內(nèi)角是60°，那么這個三角形是（　?。?br /> A．等邊三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
6．如圖，在△ABC中，直線MN為BC的垂直平分線，交BC于點E，點D在直線MN上，且在△ABC的外面，連接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，則△BCD是（ ）

A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．在△ABC 中，①若 AB=BC=CA，則△ABC 為等邊三角形；②若∠A=∠B=∠C，則△ABC 為等邊三角形；③有兩個角都是 60°的三角形是等邊三角形；④一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形．上述結(jié)論中正確的有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
8．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（ ）．

A．等邊三角形 B．腰和底邊不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等邊三角形
知識點三、等邊三角形的判定和性質(zhì)
9．如圖一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛40海里到達C地，則A、C兩地相距（ ）

A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
10．如圖，已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠ACB＝90°，AD＝BD，∠BAD＝30°，E為AD延長線上的一點，且CE＝CA，若點M在DE上，且DC＝DM．則下列結(jié)論中：①∠ADB＝120°；②△ADC≌△BDC；③線段DC所在的直線垂直平分線AB；④ME＝BD；正確的有（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
11．△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi)．若求五邊形DECHF的周長，則只需知道（　?。?br />
A．△ABC的周長 B．△AFH的周長
C．四邊形FBGH的周長 D．四邊形ADEC的周長
12．如圖，∠AOB=60°，OA=OB，動點C從點O出發(fā)，沿射線OB方向移動，以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是（　?。?br />
A． 平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
知識點四、含30度的直角三角形
13．如圖，∠AOB=60°，以點O為圓心，以任意長為半徑作弧交OA，OB于C，D兩點；分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；以O(shè)為端點作射線OP，在射線OP上截取線段OM=6，則M點到OB的距離為（　　）

A．6 B．2 C．3 D．
14．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D．如果CE＝12，則ED的長為(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6
15．等腰三角形的頂角是一個底角的4倍，如果腰長為10cm，那么底邊上的高為( )
A．10cm B．5cm C．6cm D．8cm
16．如圖，為等邊三角形，，、相交于點，于點，且，，則的長為（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

二、 填空題
知識點一、等邊三角形的性質(zhì)
17．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　　度．

18．如圖，直線a，b過等邊三角形頂點A和C，且，，則的度數(shù)為________．

19．在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，若三角形ABC的邊長為1，AE=2，則CD的長為________．
20．如圖，等邊△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，則∠ABC的大小是_____．

知識點二、等邊三角形的判定
21．已知△ABC三邊a、b、c滿足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，則△ABC的形狀是_______．
22．已知一個三角形的三邊長a、b、c，滿足(a-b)2+|b-c|=0，則這個三角形是____?三角形.
23．如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直線AD折疊，點C落在C′處，連接BC′，那么BC′的長為　?。?br />
24．如圖，△ABC為等邊三角形，∠1＝∠2，BD＝CE，則△ADE是______三角形．

知識點三、等邊三角形的判定和性質(zhì)
25．如圖，在一個池塘兩旁有一條筆直小路（B，C為小路端點）和一棵小樹（A為小樹位置）測得的相關(guān)數(shù)據(jù)為：米，則________米．

26．如圖，為等邊內(nèi)一點，且，若，則__________度．

27．如圖，是等邊三角形，AB=6，AD是BC邊上的中線．點E在AC邊上，且，則ED的長為____________．

28．如圖，已知△ABC．∠ACB=30°，CP為∠ACB的平分線，且CP=6，點M、N分別是邊AC和BC上的動點，則△PMN周長的最小值為____．

知識點四、含30度的直角三角形
29．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若=14cm，則陰影部分的面積是___cm2

30．如圖所示，在中，，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N再分別以MN為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的有________．
①AD是的平分線；②；③點D在AB的中垂線上；④

31．如圖，在等邊△ABC中，F(xiàn)是AB的中點，F(xiàn)E⊥AC于E；如果△ABC的邊長是12，則AE=_____；

32．如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交于點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點．若，則_____．


三、 解答題
知識點一、等邊三角形的性質(zhì)
33．如圖，在等邊三角形ABC中，AD＝BE．求證：CD＝AE．




知識點二、等邊三角形的判定
34．如圖，點E在△ABC的外部，點D邊BC上，DE交AC于點F，若∠1=∠2，AE=AC，BC=DE，
（1）求證：AB=AD；
（2）若∠1=60°，判斷△ABD的形狀，并說明理由．


知識點三、等邊三角形的判定和性質(zhì)
35．如圖，和均為等邊三角形，，，在同一條直線上，連接，，點，分別為，的中點，順次連接，，．

知識點四、含30度的直角三角形
36． 如圖所示，已知，是中線，．
（1）求證：；
（2）當時，過的中點G，作，求證：．


參考答案
1．A
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，進而可得，又因為，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，易得的大小，進而可求出的度數(shù).
解：是等邊三角形，
，，
四邊形是正方形，
，，
，，
，
.
故選：.
【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)，難度適中.
2．D
【分析】由等邊三角形三線合一即可求出，．再由等腰三角形的性質(zhì)可求出，最后即可求出．
解：∵是等邊三角形，且AD為中線．
∴，，
∵，
∴，
∴．
故選：D．
【點撥】本題考查等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)．掌握等邊三角形三線合一是解答本題的關(guān)鍵．
3．B
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和∠1的度數(shù)求出∠2的度數(shù)即可．
解：過點C作

∵，
∴

∵
∴
∵是等邊三角形
∴
∴
∴
故選：B．
【點撥】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．D
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
解：∠1=∠3=180°-∠2-∠B=180°-45°-60°=75°，

故選：D．
【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
5．A
【解析】
∵這個三角形是軸對稱圖形 ，
∴一定有兩個角相等，
∴這是一個等腰三角形.
∵有一個內(nèi)角是60°，
∴這個三角形是等邊三角形.
故選A.
6．A
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=30°，由角平分線的定義得到∠BCD=2∠ACB=60°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD=CD，于是得到結(jié)論．
解：∵∠A=65°，∠ABC=85°，∴∠ACB=30°．
∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠ACB=60°．
∵直線MN為BC的垂直平分線，∴BD=CD，∴△BCD是等邊三角形．
故選A．
【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．D
解：試題分析：①根據(jù)等邊三角形的定義可得△ABC為等邊三角形，結(jié)論正確；
②根據(jù)判定定理1可得△ABC為等邊三角形，結(jié)論正確；
③一個三角形中有兩個角都是60°時，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得第三個角也是60°，那么這個三角形的三個角都相等，根據(jù)判定定理1可得△ABC為等邊三角形，結(jié)論正確；
④根據(jù)判定定理2可得△ABC為等邊三角形，結(jié)論正確．
故選D．
考點：等邊三角形的判定．
8．A
【分析】根據(jù)等邊△ABC中AD=BE=CF，證得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等邊三角形．
解：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等邊三角形，
故選A.
【點撥】考點：本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形判定；根據(jù)已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】由已知可得△ABC是等邊三角形，從而不難求得AC的距離．
解：由題意得∠ABC=60°，AB=BC=40
∴△ABC是等邊三角形
∴AC=AB=40海里．
故選B．
10．D
【解析】
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①，由“SSS”可證△ADC≌△BDC，可判斷②，由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可判斷③，由“AAS”可證△ACD≌△ECM，可判斷④．
解：∵AD=BD，∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠ABD=30°，
∴∠ADB=120°,
故①正確;
∵AC=BC，AD=BD，CD=CD,
∴△ADC≌△BDC（SSS）,
故②正確;
∵△ADC≌△BDC
∴∠ACD=∠BCD，且AC=BC
∴線段DC所在的直線垂直平分線AB,
故③正確;
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠CAB=∠CBA,
∴∠CAD=∠CBD=15°,
∵CA=CE,
∴∠E=∠CAD=15°,
∵∠EDC=∠DAC+∠DCA=60°，且CD=CM,
∴∠CDE=∠CMD=60°,
∴∠ADC=∠CME=120°，且∠E=∠CAD，AC=CE,
∴△ACD≌△ECM（AAS）,
∴AD=ME=BD,
故④正確,
故選：D．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
11．A
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，進而可根據(jù)AAS證明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根據(jù)等量代換和線段間的和差關(guān)系即可推出五邊形DECHF的周長＝AB+BC，從而可得結(jié)論．
解：∵△GFH為等邊三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，
∴BE＝FH，
∴五邊形DECHF的周長＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周長即可．
故選：A．

【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及多邊形的周長問題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．A
【分析】先判斷出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分兩種情況判斷出△AOC≌△ABD，進而判斷出∠ABD=∠AOB=60°，即可得出結(jié)論．
【詳解】∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①當點C在線段OB上時，如圖1，
∵△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA；
②當點C在OB的延長線上時，如圖2，
∵△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故選A．

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求出∠ABD=60°是解本題的關(guān)鍵．
13．C
【分析】直接利用角平分線的作法得出OP是∠AOB的角平分線，再利用直角三角形的性質(zhì)得出答案．
【詳解】如圖，過點M作ME⊥OB于點E，
由題意可得：OP是∠AOB的角平分線，
則∠POB=×60°=30°，
∴ME=OM=3，
故選C．

【點睛】本題考查了基本作圖——作角平分線、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確得出OP是∠AOB的角平分線是解題關(guān)鍵．
14．D
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EC＝12，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)解答即可．
解：∵DE是BC的垂直平分線，
∴EB＝EC＝12，
∵∠B＝30°，∠EDB＝90°，
∴DE＝EB＝6，
故選D．
【點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
15．B
【分析】先設(shè)此三角形的底角是x，則頂角是4x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得2x+4x=180°，易求底角．在Rt△ABD中，由于AB=10，∠B=30°，易求AD．
解：設(shè)此三角形的底角是x，則頂角是4x，則：
2x+4x=180°
解得：x=30°．
當x=30°時，則頂角=4x=120°．
如圖，在Rt△ABD中，AB=10，∠B=30°，∴ADAB=5．
故選B．

【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含有30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出底角．
16．C
【分析】分析：由已知條件，先證明△ABE≌△CAD得∠BPQ＝60°，可得BP＝2PQ＝8，AD＝BE．則易求．
解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°；
又∵AE＝CD，
在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD（SAS）；
∴BE＝AD，∠CAD＝∠ABE；
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB＝90°，則∠PBQ＝90°?60°＝30°
∵PQ＝3，
∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝8；
又∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP＋PE＝9．
故選：C．
【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、含有30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△BAE≌△ACD．
17．：
【分析】根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)．
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案為15．
【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練運用等邊對等角是關(guān)鍵.
18．102°
【分析】根據(jù)題意可求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可得出答案．
解：三角形ABC為等邊三角形



故答案為：．
【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
19．1或3
解：
當E在線段BA的延長線上，D在線段BC的延長線上時，如圖1所示，
過E作EF⊥BD,垂足為F點,可得∠EFB=90°，
∵EC=ED,
∴F為CD的中點,即CF=DF=CD，
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠ABC=60°，
∴∠BEF=30°，
∵BE=AB+AE=1+2=3，
∴FB=EB=，
∴CF=FB?BC=，
則CD=2CF=1；
當E在線段AB的延長線上，D在線段CB的延長線上時，如圖2所示，
過E作EF⊥BD,垂足為F點,可得∠EFC=90°，
∵EC=ED,
∴F為CD的中點,即CF=DF=CD，
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，
∵BE=AE?AB=2?1=1，
∴FB=BE=，
∴CF=BC+FB=，
則CD=2CF=3，
綜上，CD的值為1或3.
故答案為：1或3
20．130°．
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ACO＝60°﹣，由外角性質(zhì)可求∠BOC＝40°，即可求解．
解：∵△AOB是等邊三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝＝＝60°﹣，
∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO，
∴20°+60°＝∠COB+60°﹣，
∴∠BOC＝40°，
∵OC＝OA＝OB，
∴∠OBC＝70°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°，
故答案為：130°．
【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì).
21．等邊三角形
【解析】
試題解析：由題意可知：a-b=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC的形狀是等邊三角形
【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷．關(guān)鍵是利用非負數(shù)的性質(zhì)解題．屬于基礎(chǔ)題型．
22．等邊
【分析】根據(jù)任意一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)和偶次方具有非負性可得：，再根據(jù)三角形的判斷方法即可知道該三角形的形狀．
解：∵(a-b)2+|b-c|=0
∴(a-b)2=0，|b-c|=0
∴a=b，b=c
∴a=b=c
∴這個三角形是等邊三角形．
【點撥】本題考查了任意一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0、偶次方的非負性以及等邊三角形的判定．
23．3
【解析】
根據(jù)中點的性質(zhì)得BD=DC=3，再根據(jù)對稱的性質(zhì)得∠ADC′=60°，判定三角形為等邊三角形即可求．
解：根據(jù)題意：BC=6，D為BC的中點；
故BD=DC=3．
有軸對稱的性質(zhì)可得：∠ADC=∠ADC′=60°，
DC=DC′=3，∠BDC′=60°，
故△BDC′為等邊三角形，
故BC′=3．
故答案為3．
24．等邊
【解析】
【分析】由條件可證明△ABE≌△ACD，從而AE=AD，∠BAC=∠CAE=60°,所以可知△DAE是等邊三角形．
證明：∵三角形ABC為等邊三角形
∴AB=AC，
在△ABD和△ACE中,
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AE=AD，∠BAD=∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形．
【點撥】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)及等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是證△ABD≌△ACE．
25．48
【分析】先說明△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可解答．
解：∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等邊三角形
∴AC=BC=48米．
故答案為48．

【點撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，證得△ABC是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．
26．105°
【分析】由等邊三角形性質(zhì)和已知可證明△BPC≌△APC，可得∠BCP=∠ACP=30°，由可得∠PBC=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BPC的度數(shù).
解：在等邊三角形中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC，
又∵，，
∴，
∴∠PBC=∠PAC=45°，
∴△BPC≌△APC（SAS），
∴∠BCP=∠ACP=∠ACB=30°，
∴
故答案為：105°.
【點撥】本題主要考查等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．
27．3
【分析】根據(jù)題意易得，BD=DC，，從而得到，所以得到AE=ED，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得AE=EC，由三角形中位線得出答案．
解： 是等邊三角形，AD是BC邊上的中線
，，BD=DC


AE=ED


ED=EC
DE=AE=EC

故答案為3．
【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線及三角形中位線，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到角的度數(shù)，進而得到邊的等量關(guān)系，最后利用三角形中位線得到答案．
28．6
【分析】作點P關(guān)于AC的對稱點E，點P關(guān)于BC的對稱點F，連接EF交AC于M，交BC于N，連接CE、CF．此時△PMN的周長最?。?br /> 解：作點P關(guān)于AC的對稱點E，點P關(guān)于BC的對稱點F，連接EF交AC于M，交BC于N，連接CE、CF．此時△PMN的周長最小．

由對稱的性質(zhì)可知，∠ACP=∠ACE，∠PCB=∠BCF，CP=CE=CF=6，
∵∠ACB=30°，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF=CE=6，
∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF=6，
故答案為：6．
【點撥】本題考查軸對稱-最短問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．
29．
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，=14cm，
∴AC=AB=7cm,
在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=7cm，
則陰影部分的面積是(cm)
故答案為：
30．①②③④
【分析】①根據(jù)題目中尺規(guī)作圖的步驟即可判斷出AD是的平分線；

②利用直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得出結(jié)論；

③通過角平分線的定義能夠得出，則然后根據(jù)垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理即可得出結(jié)論；

④根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)得出，則，又因為和高相同，則和面積之間的關(guān)系可求．
解：由題干可知，AD是的平分線，故①正確；
∵，
∴
∵AD平分∠BAC
∴
, 故②正確；


∴點D在AB的中垂線上，故③正確；


∵和高相同，
∴，故④正確；
故答案為：①②③④．
【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
31．3；
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及EF⊥AC，可推出AE=AF=AB=3．
解：∵等邊△ABC
∴∠A=60°
∵EF⊥AC
∴∠AFE=30°
∴AE=AF=AB=3，故答案為3.
【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)．
32．．
【分析】利用基本作圖得BD平分，再計算出，所以，利用得到，然后根據(jù)三角形面積公式可得到的值．
解：由作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴.
故答案為．
【點撥】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線．
33．見解析
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出∠B=∠DAC=60°、AC=AB，結(jié)合AD=BE即可證出△DAC≌△EBA（SAS），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出CD=AE．
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠DAC=60°，AC=AB．
在△DAC和△EBA中，

∴△DAC≌△EBA（SAS），
∴CD=AE．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS證出△DAC≌△EBC是解題的關(guān)鍵．
34．（1）見解析；（2）△ABD是等邊三角形．理由見解析.
解：分析：
（1）由∠1=∠2結(jié)合∠AFE=∠DFC可得∠E=∠C，這樣結(jié)合AE=AC，BC=DE即可證得△ABC≌△ADE，由此即可得到AB=AD；
（2）由∠1=∠2=60°可得∠BDE=120°，由△ABC≌△ADE可得∠B=∠ADE，AB=AD，進而可得∠B=∠ADB=∠ADE，由此即可得到∠ADB=∠BDE=60°，這樣結(jié)合AB=AD即可得到△ABD是等邊三角形.
詳解：
（1）∵∠1+∠AFE+∠E=180°，∠2+∠CFD+∠C=180°，∠1=∠2，∠AFE=∠CFD，
∴∠E=∠C，
∵AC=AE，∠C=∠E，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE，
∴AB=AD．
（2）△ABD是等邊三角形．理由如下：
∵∠1=∠2=60°，
∴∠BDE=180°﹣∠2=120°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE，AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∴∠ADB=∠ADE，
∴∠ADB=∠BDE=60°，
∴△ABD是等邊三角形．
點睛：（1）解第1小題的關(guān)鍵是：由∠1=∠2結(jié)合∠AFE=∠DFC得到∠E=∠C；（2）解第2小題的關(guān)鍵是：由第1小題所得的△ABC≌△ADE證得∠B=∠ADB=∠ADE.
35．（1）見解析；（2）是等邊三角形，理由見解析．
【分析】（1）由“SAS”可證，可得BD=CE；
（2）由“SAS”可證，可得AM=AN，∠BAM=∠CAN，可證是等邊三角形．
證明：（1）∵和均為等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
在和中，
，
∴（SAS），
∴BD=CE；
（2）是等邊三角形，
理由如下： ∵點M，N分別為BD，CE的中點，BD=CE，
∴BM=CN，
∵，
∴∠ABM=∠ACN，
在和中，
，
∴（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∴∠MAN=∠BAC-∠BAM+∠CAN=60°，
∴是等邊三角形．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵．
36．（1）見詳解；（2）見詳解．
【分析】（1）由AB=AC，AD是中線，得到∠B=∠C，BD=CD，即可得到結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AHG=90°，再根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)果．
解：證明（1）如圖：

∵AB=AC，AD是中線，
∴∠B=∠C，BD=CD，
在△BDE與△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF；
（2）∵GH∥BD，∠B=60°，
∴∠AGH=60°，
∵AB=AC，AD是中線，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD=30°∠AHG=90°，
∴GH=AG，
∵AG=AB，
∴GH=AB．
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵．

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