?專題13.15 《軸對稱》全章復(fù)習(xí)與鞏固
（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)篇）
一、單選題
1．若實(shí)數(shù)m、n滿足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長是 （?? ）
A．12 B．10 C．8或10 D．6
2．如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是邊BC上的中線，F(xiàn)是邊AD上的動點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，若AE=2，則EF+CF取得最小值時，∠ECF的度數(shù)為（ ）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°
3．如圖，將△ABC沿DE，EF翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠DOF＝142°，則∠C的度數(shù)為（　　）

A．38° B．39° C．42° D．48°
4．“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的.借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒，組成，兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動，點(diǎn)固定，，點(diǎn)，可在槽中滑動，若，則的度數(shù)是（ ）

A．60° B．65° C．75° D．80°
5．如圖所示，△ABC是等邊三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，則∠2的度數(shù)為（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
6．如圖，ABC是等腰三角形，點(diǎn)O 是底邊BC上任意一點(diǎn)，OE、OF分別與兩邊垂直，等腰三角形ABC的腰長為5，面積為12，則OE+OF的值為

A．4 B． C．15 D．8
7．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（ ）．

A． B． C． D．
8．如圖，等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上的一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時，連接PQ交AC于點(diǎn)D，下列結(jié)論中不一定正確的是（ ）

A．PD=DQ B．DE=AC C．AE=CQ D．PQ⊥AB
9．如圖，AB⊥AC，CD、BE分別是△ABC的角平分線，AG∥BC，AG⊥BG，下列結(jié)論：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正確的結(jié)論有（　　）個

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R、S，若AQ=PQ，PR=PS，則下列四個結(jié)論：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中結(jié)論正確的的序號為（ ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

二、填空題
11．如圖，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，則△BCE的周長為_______．

12．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點(diǎn)，將Rt△ABC沿CD折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于_____．

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，以點(diǎn)C為圓心，以CB長為半徑作圓弧，交AC的延長線于點(diǎn)D，連結(jié)BD，若∠A=32°，則∠CDB的大小為_____度．

14．已知等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則它的周長是_______．
15．如圖，在等邊ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AD=CE，則∠BCD+∠CBE=_____度．

16．有一張三角形紙片ABC，∠A＝80°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩張紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是__________．
17．如圖所示，AOB是一鋼架，且∠AOB=10°，為了使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF，F(xiàn)G，GH…，添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管_____根．

18．如圖，等邊的邊長為，、分別是、上的點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，且點(diǎn)在外部，則陰影部分圖形的周長為__________.

19．如圖，過邊長為1的等邊三角形ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)AP＝CQ時，PQ交AC于D，則DE的長為______．

20．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，P為其底角平分線的交點(diǎn)，將△BCP沿CP折疊，使B點(diǎn)恰好落在AC邊上的點(diǎn)D處，若DA=DP，則∠A的度數(shù)為__．

21．如圖△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，連PA，則∠BAP的度數(shù)為_______．

22．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，則∠DFE等于_________．

23．等腰三角形腰長為6cm，腰上的高為3cm．那么這個三角形的頂角是_____度．
24．如圖，已知∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA2＝4，則△AnBnAn+1的邊長為_____．


三、解答題
25．如圖，已知：△OAB，△EOF都是等腰直角三角形，∠AOB=900，中，∠EOF=900，連結(jié)AE、BF．
求證：（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．




26．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長線上一點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)．
（1）利用尺規(guī)作出∠DAC的平分線AM，連接BE并延長交AM于點(diǎn)F，（要求在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）試判斷AF與BC有怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并說明理由．



27．如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足為F．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度數(shù)；
（3）求證：CD=2BF+DE．


28．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別向AB、AC引垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F.
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在BC的什么位置時，DE＝DF？并證明；
(2)在滿足第一問的條件下，連接AD，此時圖中共有幾對全等三角形？請寫出所有的全等三角形(不必證明)；
(3)如圖②，過點(diǎn)C作AB邊上的高CG，請問DE、DF、CG的長之間存在怎樣的等量關(guān)系？并加以證明．


參考答案
1．B
【分析】
根據(jù)絕對值和二次根式的非負(fù)性得m、n的值，再分情況討論：①若腰為2，底為4，由三角形兩邊之和大于第三邊，舍去；②若腰為4，底為2，再由三角形周長公式計(jì)算即可.
【詳解】
由題意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，
又∵m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，
①若腰為2，底為4，此時不能構(gòu)成三角形，舍去，
②若腰為4，底為2，則周長為：4+4+2=10，
故選B.
【點(diǎn)撥】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m、n的值是解題的關(guān)鍵.
2．C
【詳解】
試題解析：過E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M關(guān)于AD對稱，
連接CM交AD于F，連接EF，
則此時EF+CF的值最小，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故選C．
3．A
【詳解】
分析：根據(jù)翻折的性質(zhì)得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，進(jìn)而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形內(nèi)角和解答即可．
詳解：∵將△ABC沿DE，EF翻折，∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣142°=38°．
故選A．
點(diǎn)撥：本題考查了三角形內(nèi)角和定理、翻折的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，學(xué)會把條件轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考常考題型．
4．D
【分析】
根據(jù)OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出∠ODC數(shù)，進(jìn)而求出∠CDE的度數(shù)．
【詳解】
∵，
∴，，
設(shè)，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
.
故答案為D.
【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
5．D
【詳解】
因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC.
因?yàn)锽D＝CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠1=∠CBE.
因?yàn)椤螩BE+∠ABE=60°，所以∠1+∠ABE=60°.
因?yàn)椤?=∠1+∠ABE，所以∠2=60°.
故選D.
6．B
【解析】
【分析】
連接AO，根據(jù)S△ABC=S△ABO+S△AOC，結(jié)合AB=AC=5，利用三角形面積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
連接AO，如圖，
∵AB=AC=5，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB?OE+AC?OF=OE+OF=12，
∴OE+OF=，
故選 B．

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，正確添加輔助線將三角形分成兩個小三角形并正確地表示面積是解題的關(guān)鍵.
7．B
【詳解】
試題分析：作點(diǎn)P關(guān)于OA對稱的點(diǎn)P1,作點(diǎn)P關(guān)于OB對稱的點(diǎn)P2,連接P1P2,與OA交于點(diǎn)M,與OB交于點(diǎn)N,此時△PMN的周長最?。删€段垂直平分線性質(zhì)可得出△PMN的周長就是P1P2的長，∵OP=5，∴OP2=OP1=OP=5．又∵P1P2=5，,∴OP1=OP2=P1P2,∴△OP1P2是等邊三角形, ∴∠P2OP1=60°，即2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故選B．
考點(diǎn)：1．線段垂直平分線性質(zhì)；2．軸對稱作圖．

8．D
【詳解】
過P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD與△DCQ中，，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A選項(xiàng)正確，∵AE=EF，∴DE=AC，∴B選項(xiàng)正確，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=AP=CQ，∴C選項(xiàng)正確，故選D．

9．C
【分析】
由已知條件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因?yàn)镃D、BE分別是△ABC的角平分線，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行線的性質(zhì)可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知選項(xiàng)①③④正確．
【詳解】
∵AB⊥AC．
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°
∵CD、BE分別是△ABC的角平分線，
∴2∠FBC+2∠FCB＝90°
∴∠FBC+∠FCB＝45°
∴∠BFC＝135°故④正確．
∵AG∥BC，
∴∠BAG＝∠ABC
∵∠ABC＝2∠ABF
∴∠BAG＝2∠ABF 故①正確．
∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵AG⊥BG，
∴∠ABG+∠GAB＝90°
∵∠BAG＝∠ABC，
∴∠ABG＝∠ACB 故③正確．
故選C．
【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
10．A
【解析】
【分析】
根據(jù)角平分線性質(zhì)即可推出②，根據(jù)勾股定理即可推出AR=AS，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據(jù)平行線判定推出QP∥AB即可；沒有條件證明△BRP≌△QSP．
【詳解】
試題分析：
解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴點(diǎn)P在∠A的平分線上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正確；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正確；
沒有條件可證明
△BRP≌△QSP，∴④錯誤；
連接RS，

∵PR=PS，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上，
∴PA平分∠BAC，∴①正確．
故答案為①②③．
故選A.
點(diǎn)撥：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．13
【詳解】
試題分析：已知DE是AB的垂直平分線，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，所以△BCE的周長=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
考點(diǎn)：線段的垂直平分線的性質(zhì).
12．40°．
【詳解】
∵將Rt△ABC沿CD折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的B′處，
∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，
∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，
∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．
故答案為40°．
13．37
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．
【詳解】
∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°，
故答案為37．
【點(diǎn)撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握等邊對等角是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．
14．20
【分析】
分腰長為4或腰長為8兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出周長即可得答案．
【詳解】
當(dāng)腰長是4cm時，三角形的三邊是4、4、8，
∵4+4=8，
∴不滿足三角形的三邊關(guān)系，
當(dāng)腰長是8cm時，三角形的三邊是8、8、4，
∴三角形的周長是8+8+4=20．
故答案為：20
【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，進(jìn)行分類討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
15．60
【詳解】
試題分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出各角相等各邊相等，已知AD=CE，利用SAS判定△ADC≌△CEB，從而得出∠ACD=∠CBE，所以∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．
解：∵△ABC是等邊三角形
∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC
∵AD=CE
∴△ADC≌△CEB
∴∠ACD=∠CBE
∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．
故答案為60．
考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
16．25°或40°或10°
【詳解】
【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．
【詳解】由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，
對于△ABD可能有
①AB=BD，此時∠ADB=∠A=80°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，
∠C=（180°-100°）=40°，
②AB=AD，此時∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，
∠C=（180°-130°）=25°，
③AD=BD，此時，∠ADB=180°-2×80°=20°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，
∠C=（180°-160°）=10°，
綜上所述，∠C度數(shù)可以為25°或40°或10°
故答案為25°或40°或10°
【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論．
17．8
【詳解】
試題解析：因?yàn)樘砑愉摴艿拈L度都與OE相等， ，所以 ，…….
從圖中我們會發(fā)現(xiàn)有好幾個等腰三角形，由上可知，第一個等腰三角形的底角為10°，第二個是20°，第三個是30°，第三個是30°，第四個是40°，第五個是50°，第六個是60°，第七個是70°，第八個是80°，第九個是90°就不存在了，所以最多能添加這樣的鋼管8根.故本題的正確答案應(yīng)為8.
點(diǎn)撥：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律.
18．3
【分析】
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，則陰影部分圖形的周長即可轉(zhuǎn)化為等邊的周長.
【詳解】
解：由折疊性質(zhì)可得，，
所以.
故答案為：3.
【點(diǎn)撥】本題結(jié)合圖形的周長考查了折疊的性質(zhì)，觀察圖形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答關(guān)鍵.
19．
【詳解】
過點(diǎn)Q作AD的延長線的垂線于點(diǎn)F.
因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠A=∠ACB=60°.
因?yàn)椤螦CB=∠QCF，所以∠QCF=60°.
因?yàn)镻E⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，
又因?yàn)锳P=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.
同理可證，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.
所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=AC=.
故答案為.

20．36°
【解析】
解：連接AP．∵P為其底角平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，∴AP平分∠BAC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，設(shè)∠A=2x，則∠DAP=x，∠PBC=∠PCB=45°﹣x，∵DA=DP，∴∠DAP=∠DPA，由折疊的性質(zhì)可得：∠PDC=∠PBC=45°﹣x，則∠ADP=180°﹣∠PDC=135°+x，在△ADP中，∠DAP+∠DPA+∠ADP=180°，即x+x+135°+x=180°，解得：x=18，則∠A=2x=36°．故答案為：36°．

點(diǎn)撥：本題考查了翻折變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)P是三角形的內(nèi)心，注意熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，難度一般．
21．69°
【分析】
在BC下方取一點(diǎn)D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB=AC，求出∠DAC、∠ACD、∠ADC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠ACB=51°，即∠CDB=141°=∠BPC，再證△BDC≌△BPC，得到PC=DC，進(jìn)一步得到等邊△DPC，推出△APD≌△APC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAP=∠CAP=9°，即可求出答案．
【詳解】
在BC下方取一點(diǎn)D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DC

∴AD=AB=AC，

∴
∵
∴
∴
又∵
∴△BDC≌△BPC，
∴PC=DC，
又∵
∴△DPC是等邊三角形，
∴△APD≌△APC，
∴
∴
故答案為69°.
【點(diǎn)撥】本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，作輔助線得到全等三角形是解此題的關(guān)鍵，此題是一個拔高的題目，有一點(diǎn)難度．
22．60°．
【解析】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中點(diǎn)，∴BE=CE．∵∠B=20°，∴∠ECB=∠B=20°，∵AD=BD，∠B=20°，∴∠DAB=∠B=20°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=20°+20°=40°，∴∠DFE=∠ADC+∠ECB=40°+20°=60°，故答案為：60°．
點(diǎn)撥：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能求出∠ADC和∠ECB的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
23．30或150．
【解析】
【分析】
由于題中只說明是等腰三角形沒有指明是銳角三角形還是鈍角三角形，所以應(yīng)該分兩情況進(jìn)行分析．
【詳解】
如圖①，△ABC中，AB=AC=3cm，CD⊥AB且CD=3cm，
∵△ABC中，CD⊥AB且CD=AB=3，AB=AC=6cm，
∴CD=AC，
∴∠A=30°；
如圖②，△ABC中，AB=AC=6cm，CD⊥BA的延長線于點(diǎn)D，且CD=3cm，
∵∠CDA=90°，AB=AC=6cm，CD⊥BA的延長線于點(diǎn)D，且CD=3cm
∴CD=AC，
∴∠DAC=30°，
∴∠A=150°，
故答案為：30或150．

【點(diǎn)撥】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及含30度的直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)知識以及注意分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.
24．2n．
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…進(jìn)而得出答案．
【詳解】
解：∵△A1B1A2是等邊三角形，
∴A1B1＝A2B1，
∵∠MON＝30°，
∵OA2＝4，
∴OA1＝A1B1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，
A4B4＝8B1A2＝16，
A5B5＝16B1A2＝32，
以此類推△AnBnAn+1的邊長為 2n．
故答案為：2n．
【點(diǎn)撥】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，由條件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解題的關(guān)鍵．
25．（1）詳見解析；（2）詳見解析．
【分析】
（1）通過證△AEO≌△BFO得到AE=BF；（2）延長AE交BF于D，交OB于C，在△BCD和△ABC中，由∠BCD=∠ACO，∠OAC=∠OBF，可得∠BDA=∠AOB=90°，即可證.
【詳解】
解：（1）在△AEO與△BFO中，
∵Rt△OAB與Rt△EOF是等腰直角三角形，
∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO，
∴AE=BF；
（2）延長AE交BF于D，交OB于C，則∠BCD=∠ACO，
由（1）知△AEO≌△BFO，∴∠OAC=∠OBF，
∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．

【點(diǎn)撥】考核知識點(diǎn)：全等三角形的判定，等腰三角形性質(zhì).
26．（1）作圖見解析；（2）AF∥BC且AF=BC，理由見解析.
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得兩底角相等，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得∠DAC=∠ABC+∠C，根據(jù)內(nèi)錯角相等，可得兩直線平行，根據(jù)ASA，可得兩個三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得證明結(jié)論．
試題解析：（1）如圖：

（2）AF∥BC且AF=BC，理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠DAC=∠ABC+∠C，∴∠DAC=2∠C，
由作圖可知∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC，∴AF∥BC；
∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，
在△AEF和△CEB中， ,∴△AEF≌△CEB （ASA），
∴AF=BC．
27．（1）證明見解析；（2）∠FAE=135°；（3）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)已知條件易證∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根據(jù)SAS即可證得△ABC≌△ADE；
（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度數(shù)；
（3）延長BF到G，使得FG=FB，易證△AFB≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS證得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性質(zhì)可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．
【詳解】
（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
（3）延長BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解決第3問需作輔助線，延長BF到G，使得FG=FB，證得△CGA≌△CDA是解題的關(guān)鍵．
28．（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時，DE=DF，證明見解析；（2）有3對全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；（3）CG=DE+DF，證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)因?yàn)楫?dāng)△BED和△CFD時,DE=DF,所以當(dāng)點(diǎn)D在BC中點(diǎn)時,可利用AAS判定△BED和△CFD全等,利用全等三角形的性質(zhì)可得DE=DF,
(2)在(1)的結(jié)論下:DE=DF,BD=CD, 利用SSS可判定△ADB≌△ADC,
利用HL可判定△AED≌△AFD,利用AAS可判定△BED≌△CFD,所以有3對全等三角形.
(3)連接AD,根據(jù)三角形的面積公式即可求證.
（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時,DE=DF,
證明:∵D為BC中點(diǎn),
∴BD=CD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°,
∵在△BED和CFD中,

∴△BED≌△CFD（AAS）,
∴DE=DF．
（2）

有3對全等三角形,有△BED≌△CFD,△ADB≌△ADC,△AED≌△AFD,

（3）CG=DE+DF,
證明:連接AD,
因?yàn)?
所以,
因?yàn)锳B=AC,
所以.

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