等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.　　要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形．要點(diǎn)二、等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.要點(diǎn)三、等邊三角形的判定等邊三角形的判定：
　?。?）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．要點(diǎn)四、含30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.　    要點(diǎn)詮釋：這個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【典型例題】類型一、等邊三角形的性質(zhì) 1．如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點(diǎn)．【答案】證明見解析.【分析】要證是的中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，證明為等腰三角形，利用等腰三角形的高和中線向重合即可得證．證明：連接，在等邊，且是的中點(diǎn)，，，，，，，，，為等腰三角形，又，是的中點(diǎn)．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線和高三線合一的性質(zhì)以及等邊三角形每個(gè)內(nèi)角為的知識(shí)．輔助線的作出是正確解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 如圖，已如是等邊三角形，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，求證：（1）≌；（2）是的垂直平分線．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）已知BE=CF,∠EBD=∠FCD, ∠BED=∠CFD，根據(jù)三角形全等的判定定理可得；（2）通過(guò)證明△ABD≌△ACD得BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，推出是的垂直平分線．證明：（1）∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，∵，∴≌．（2）∵≌，∴，∵是等邊三角形，∴，∴點(diǎn)，均在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形全等的判定，關(guān)鍵是找邊角關(guān)系，選擇合適的判定定理證明，另外及垂直平分線判定需要滿足兩條，一平分，二垂直.【變式2】 已知：如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上．求證：AD＝BE．【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．【變式3】 已知是等邊三角形，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，以為一邊在的右側(cè)作等邊．（1）如圖①，點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，直接寫出和的大小關(guān)系；（2）如圖②，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，猜想的大小是否發(fā)生變化．若不變請(qǐng)求出其大小；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），理由見解析；（2），不發(fā)生變化；理由見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠DAE，容易得出結(jié)論；
（2）由△ABC和△ADE是等邊三角形可以得出AB=BC=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，得出∠ABD=120°，再證明△ABD≌△ACE，得出∠ABD=∠ACE=120°，即可得出結(jié)論．解：（1）；理由如下：∵和△是等邊三角形，∴，∴；（2），不發(fā)生變化；理由如下：∵是等邊三角形，是等邊三角形，∴，，，∴，，∴，在和中，∴，∴．∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．類型二、等邊三角形的判定 2．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求證：△ABC是等邊三角形.【答案】見解析.【分析】證法一：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，∠A＝60°，所以∠ACB＝60°，即可證明△ABC是等邊三角形.證法二：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，∠B＝60°，所以∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，即可證明△ABC是等邊三角形.解：證明:證法一： ∵  CD∥AB，∴  ∠A＝∠ACD＝60°．∵  ∠B＝60°，在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°． ∴  ∠A＝∠B＝∠ACB．     ∴  △ABC是等邊三角形. 證法二： ∵  CD∥AB，∴  ∠B＋∠BCD＝180°．∵  ∠B＝60°，∴  ∠BCD＝120°．∴  ∠ACB＝∠BCD－∠ACB＝60°．在△ABC中，∠A＝180°－∠B－∠ACB＝60°． ∴ ∠A＝∠B＝∠ACB． ∴ △ABC是等邊三角形.【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)和等邊三角形的判定.舉一反三：5．【變式1】 如圖，，，，在同一條直線上，交于點(diǎn)，，，．（1）求證：．（2）若，，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析；（2）是等邊三角形，見解析（1）證明：∵，∴．在和中，∴．（2）是等邊三角形，理由如下：∵，，，∴，，∴，，,∴是等邊三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，正確找出判定全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．【變式2】 已知a，b，c是的三邊，且滿足，試判斷的形狀．【答案】是等邊三角形．【分析】直接利用偶次方的性質(zhì)得出a，b，c之間的關(guān)系，即可得出答案．解：∵，且，，，∴，，．∴，，．∴．∴是等邊三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了偶次方的性質(zhì)，正確得出a，b，c之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】 如圖，在四邊形中，，平分，且，求的大小.【答案】60°【分析】由，得∠BDC=∠ABD，由平分，得∠ADB=∠BDC，從而得到∠ADB=∠ABD，進(jìn)而得到?ABD是等邊三角形，即可得到答案.解：∵，∴∠BDC=∠ABD，∵平分，∴∠ADB=∠BDC，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∵∴AB=AD=BD，∴?ABD是等邊三角形，即：=60°.【點(diǎn)撥】本題主要考查等邊三角形的判定定理，掌握“雙平等腰”模型，是解題的關(guān)鍵.類型三、等邊三角形的判定和性質(zhì) 3．等邊△ABC中，F為邊BC邊上的點(diǎn)，作∠CBE＝∠CAF，延長(zhǎng)AF與BE交于點(diǎn)D，截取BE＝AD，連接CE.（1） 求證：CE＝CD（2） 求證：DC平分∠ADE（3） 試判斷△CDE的形狀，并說(shuō)明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）證明，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；（2）根據(jù)，可證得，，然后根據(jù)等邊對(duì)等角即可證得；（3）根據(jù)，證得，得到，然后根據(jù)有一個(gè)角是度的等腰三角形是等邊三角形，即可證得.解：（1）在和中，，（），；（2），，，，，，平分；（3）為等邊三角形，，，，又，為等邊三角形.【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的判定方法，正確證得，是關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】 如圖，A、B、C是直線l上的三個(gè)點(diǎn)，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝a，且BD＝BE．（1）求證：AC＝AD+CE；（2）若a＝120°，點(diǎn)F在直線l的上方，△BEF為等邊三角形，補(bǔ)全圖形，請(qǐng)判斷△ACF的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）△ACF為等邊三角形．【分析】（1）由外角的性質(zhì)可得∠ADB＝∠CBE，由“AAS”可得△ADB≌△CBE，可得AD＝CB，AB＝CE，可得結(jié)論；（2）由“SAS”可證△AFB≌△CFE，可得AF＝CF，∠AFB＝∠CFE，可得∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠CFE+∠BFC＝60°，可得△ACF是等邊三角形．證明：（1）∵∠DAB＝∠DBE＝α，∴∠ADB+∠ABD＝∠CBE+∠ABD＝180°﹣α．∴∠ADB＝∠CBE在△ADB和△CBE中，∵,∴△ADB≌△CBE（AAS）∴AD＝CB，AB＝CE．∴AC＝AB+BC＝AD+CE（2）補(bǔ)全圖形．△ACF為等邊三角形．理由如下：∵△BEF為等邊三角形，∴BF＝EF，∠BFE＝∠FBE＝∠FEB＝60°．∵∠DBE＝120°，∴∠DBF＝60°．∵∠ABD＝∠CEB（已證），∴∠ABD+∠DBF＝∠CEB+∠FEB，即∠ABF＝∠CEF．∵AB＝CE（已證），∴△AFB≌△CFE（SAS），∴AF＝CF，∠AFB＝∠CFE．∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠CFE+∠BFC＝60°．∴△ACF為等邊三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)是本題關(guān)鍵．11．【變式2】 已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P．（1）求證：△AEB≌△CDA；   （2）求∠BPQ的度數(shù)；（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）14【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過(guò)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）利用（1）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的結(jié)果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP=12，則易求BE=BP+PE=14．解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中， ，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，
即∠BPQ=∠BAC=60°；
（3）∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，
∴BE=BP+PE=12+2=14【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，本題中求證△ABE≌△CAD是解題的關(guān)鍵．【變式3】 如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.（1）求∠F的度數(shù)；（2）若CD=2，求DF的長(zhǎng).【答案】（1）30°；（2）4.【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等邊三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．類型四、含30度的直角三角形 4．如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的長(zhǎng).【答案】CD=2.【分析】先延長(zhǎng)AD、BC交于E,根據(jù)已知證出△CDE是等邊三角形,設(shè)CD=x=CE=DE=x,根據(jù)AD=4，BC=1和30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,求出x的值即可.解：延長(zhǎng)AD、BC，兩條延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,∵∠B=90°，∠A=30°∴∠E=60°∵∠ADC=120°∴∠CDE=60°∴△CDE是等邊三角形則CD=CE=DE設(shè)CD=x，則CE=DE=x，AE=x+4，BE=x+1∵ 在Rt△ABE中，∠A=30°∴ x+4=2(x+1)解得：x=2∴CD=2.【點(diǎn)撥】此題考查了含30度角的直角三角形,用到的知識(shí)點(diǎn)是30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,等邊三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是作出輔助線,構(gòu)造直角三角形.舉一反三：【變式1】 如圖所示，在中，，，AD與BE相交于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q．求證：（1）．（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）先根據(jù)推出是等邊三角形，則有，然后利用SAS即可證明全等；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，等量代換之后得，而，則，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．解：（1），是等邊三角形．．，．（2），，．．， ．．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（ 1）如圖，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC＝∠ADC＝90°，則能得到如下兩個(gè)結(jié)論：①DC＝BC；②AD+AB＝AC． 請(qǐng)你證明結(jié)論②．（2）如圖，把（1）中的條件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改為∠ABC+∠ADC＝180°，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，如果D在AM的反向延長(zhǎng)線上，把（1）中的條件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改為∠ABC＝∠ADC，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接回答；若不成立，你又能得出什么結(jié)論，直接寫出你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，證明見解析；（3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC．【解析】【分析】（1）由已知易證得△ADC≌△ABC，可得AD＝AB，根據(jù)已知可得∠ACD＝30°可得AC＝2AD，即可得結(jié)論．（2）以上結(jié)論仍成立；作輔助線CE⊥AD，CF⊥AB，首先證得△ACF≌△ACE，可得CF＝CE，即可證得△CFB≌△CED，即可得（1）中結(jié)論．（3）同（2）理作輔助線可得DC＝BC成立，AB﹣AD＝AC．解：（1）∵AC平分∠MAN，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AC為公共邊，∴△ADC≌△ABC（AAS），∴AD＝AB，DC＝BC①；∵∠DCA＝30°，∴AC＝2AD＝AD+AB②；（2）如圖：作輔助線CF⊥AB，CE⊥AD，∵AC平分∠MAN，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，又∵CF⊥AB，CE⊥AD，且AC為公共邊，∴△ACF≌△ACE（AAS），即CF＝CE①；∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠MAN＝120°，∴∠DCB＝180°﹣120°＝60°，∵在直角三角形AFC中∠ACF＝30°，∴∠DCA+∠FCB＝30°，∵在直角三角形AEC中∠DCA+∠DCE＝30°，∴∠FCB＝∠DCE②；由CE⊥AD，CF⊥AB，且已證得條件①②，∴△CED≌△CFB（ASA），∴DC＝BC；ED＝FB；∵在直角△ACF中，AC＝2AF，在直角△ACE中，AC＝2AE，即AC＝AE+AF，已證得ED＝FB，∴AC＝AD+AB； （3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC．故答案為：（1）見解析；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，證明見解析；（3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC．【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等的判定，涉及到直角三角形、角平分線、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3】 已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD的長(zhǎng).【答案】CD=a【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得∠DAC=30°，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DC=a.解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高AB=AC=2a∴AC=2CD∴CD=a【點(diǎn)撥】此題主要考查含30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形得出含30°角的直角三角形.

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