章末綜合測評(二)　平面向量及其應用(滿分：150分　時間：120分鐘)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．下列命題正確的是(　　)A．若?λ∈R，a≠λb，則a，b不共線B．若|a|＝|b|，則a＝±bC．若a和b都是單位向量，則a∥bD．若m＝3a＋2b，n＝a＋b，則m∥nD　[由m＝2n，得m∥n.]2．已知|a|＝8，e為單位向量，當它們的夾角為時，a在e方向上的投影數量為(　　)A．    B．－    C．4    D．－4D　[a在e方向上的投影為|a|cos ＝8×＝－4.]3．若向量＝(1，2)，＝(－4，2)，則||＝(　　)A．2    B. 5    C. 20    D. 25B　[因為＝＋＝(－3，4)，所以||＝＝5.]4．已知向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝，a⊥(a－b)，則|b－2a|＝(　　)A. 2    B．2    C．4    D．4A　[|b－2a|＝|2a－b|＝|(a－b)＋a|＝＝＝2.]5．若向量＝(3，4)，d＝(－1，1)，且d·＝5，那么d·＝(　　)A．0     B．－4C．4     D．4或－4C　[d·＝d·(－)＝d·－d·＝5－1＝4.]6．已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若－3＋ 2＝0，則等于(　　)A．    B．    C．1    D．2D　[由已知，得(－)＋2(－)＝0，即＋2＝0.∴＝－2，∴＝2.]7．已知△ABC的面積為，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為(　　)A．1    B．2    C．    D．4A　[由已知得，外接圓的半徑為R＝1，由三角形的面積公式，得ab sin C＝，又sin C＝＝，∴abc＝1.]8.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若點E為邊CD上的動點，則·的最小值為(　　)A．     B．C．     D．3A　[如圖，以D為坐標原點，DA，DC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系．連接AC，由題意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，則D(0，0)，A(1，0)，B，C(0，).設E(0，y)(0≤y≤)，則＝(－1，y)，＝，∴·＝＋y2－y＝＋(0≤y≤)，∴當y＝時，·有最小值.故選A.]二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分．9．已知向量a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，則下列結論正確的是(　　)A．＝5B．＝13C．a在b方向上的投影數量為－D．a在b方向上的投影數量為－ABD　[由已知得a＝(－3，4)，b＝(5，－12)，所以＝5，＝13，a·b＝－63.所以a在b方向上的投影為＝－.]10．黑板上有一道解答正確的解三角形的習題，一位同學不小心把其中一部分擦去了，現在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a＝2，……，解得b＝.根據以上信息，你認為下面哪個選項不可以作為這個習題的其余已知條件(　　)A．A＝30°，B＝45° B．c＝1，cos C＝C．B＝60°，c＝3  D．C＝75°，A＝45°ABC　[∵≠，∴A錯；∵cos C＝＝≠，∴B錯；∵＝＝≠cos 60°，∴C錯；對于D，由正弦定理得，b＝＝＝，故D正確．]11．已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|＝1，則下列結論正確的是(　　)A．|b|＝1B．b在a方向上的投影數量為C．|a＋b|＝D．a與b的夾角等于ABCD　[因為|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1. ①又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝3，所以|a＋b|＝，設a與b的夾角為θ，因為a·b＝|a||b|·cos θ＝，且|a|＝1，所以|b|cos θ＝.   ②由①②得cos θ＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.]12．設點M是△ABC所在平面內一點，則下列說法中正確的是(　　)A．若＝＋，則點M是邊BC的中點B．若＝2－，則點M在邊BC的延長線上C．若＝－－，則點M是△ABC的重心D．若＝x＋y，且x＋y＝，則△MBC的面積是△ABC面積的ACD　[A項，＝＋?－＝－，即＝，則點M是邊BC的中點，所以A正確；B項，＝2－?－＝－，即＝，則點M在邊CB的延長線上，所以B錯誤．C項如圖，設BC的中點為D，則＝－－＝＋＝2，由重心性質可知C正確．D項，＝x＋y，且x＋y＝?2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，設＝2，所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三點共線，所以△MBC的面積是△ABC面積的，所以D正確．]三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三點共線，則k的值為________．－2或11　[＝－＝(k，12)－(4，5)＝(k－4，7)，＝－＝(k，12)－(10，k)＝(k－10，12－k).因為A，B，C三點共線，所以∥，所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或11.]14．如圖，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數m的值為________．　[∵B，P，N三點共線．∴存在λ，使＝λ.∴＝λ＝λ(＋)＝－λ＋λ.∴＝＋＝(1－λ)＋λ.又∵＝m＋，∴∴λ＝，m＝1－＝.]15．在邊長為1的正三角形ABC中，設＝2，＝3，則·＝________，與夾角的余弦值為________. －?。?/span>　[選，為基，則＝＋，＝－＋，∴·＝·(－＋)＝－2－2＋·＝－－＋×1×1×cos 60°＝－.又＝，＝，則與夾角的余弦值為＝＝－. ]16．平面直角坐標系中，e是單位向量，向量a滿足a·e＝2，且|a|2≤5·|a＋te|對任意實數t成立，則|a|的取值范圍是________．[，2]　[不妨設e＝(1，0)，由于a·e＝2，可設a＝(2，s)，則對任意實數t，有4＋s2＝|a|2≤5·|a＋te|＝5，這等價于4＋s2≤5|s|，解得|s|∈[1，4]，即s2∈[1，16]，于是|a|＝∈[，2].]四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)已知向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.[解]　(1)若a⊥b，則a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝2x＋3－x2＝0.即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，則有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.當x＝0時，a＝(1，0)，b＝(3，0)，∴|a－b|＝|(1，0)－(3，0)|＝|(－2，0)|＝＝2.當x＝－2時，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1，2)|＝|(2，－4)|＝＝2.18．(本小題滿分12分)如圖所示，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里．當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里，問乙船每小時航行多少海里？ [解]　如圖所示，連接A1B2.由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等邊三角形，∴A1B2＝A1A2＝10.由已知A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10.因此，乙船的速度的大小為×60＝30(海里/小時).答：乙船每小時航行30海里．19.(本小題滿分12分)如圖，已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM＝1，N在OA上，且ON＝1，P為AM與BN的交點，求∠MPN.[解]　設＝a，＝b且，的夾角為θ，則＝b，＝a.又∵＝－＝b－a，＝－＝a－b，∴·＝·＝－5，||＝，||＝，∴cos θ＝＝－.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.又∵∠MPN即為向量，的夾角，∴∠MPN＝.20．(本小題滿分12分)已知△ABC的外接圓圓心為O，AB＝2，AC＝3，BC＝，求·.[解]　·＝·(－)＝·－·，∵在上的投影數量為||，∴·＝||·||＝2.同理，·＝||·||＝.∴·＝－2＝.21．(本小題滿分12分)在△ABC中，內角A、B、C對邊的邊長分別是a、b、c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝，求△ABC的面積的最大值．[解]　(1)由2cos C(a cos B＋b cos A)＝c，得2cos C＝c，所以2c cos C＝c，所以cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.(2)由余弦定理得a2＋b2－2ab cos ＝7，整理得a2＋b2－ab＝7，又a2＋b2≥2ab，所以ab≤7，當且僅當a＝b時，取等號，所以△ABC的面積為ab sin C≤×7×＝，所以△ABC的面積的最大值為.22．(本小題滿分12分)已知△ABC內接于以O為圓心，1為半徑的圓，且3＋4＋5＝0.(1)求·；(2)求△ABC的面積．[解]　 (1)∵3＋4＋5＝0，∴3＋4＝－5，即(3＋4)2＝(－5)2.可得92＋24·＋162＝252.又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，∴2＝2＝2＝1，∴·＝0.同理·＝－，·＝－.∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝－－0＋＋1＝.(2)||＝＝＝＝＝，||＝＝＝＝＝，又cos A＝＝＝，則sin A＝，S△ABC＝||||sin A＝×××＝. 

相關試卷

高中數學北師大版 (2019)必修 第二冊1.3 綜合應用課后復習題：

這是一份高中數學北師大版 (2019)必修 第二冊1.3 綜合應用課后復習題，共3頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

高中數學北師大版 (2019)必修 第二冊4.1 平面向量基本定理課堂檢測：

這是一份高中數學北師大版 (2019)必修 第二冊4.1 平面向量基本定理課堂檢測，

高中數學北師大版 (2019)必修 第二冊2.3 三角函數的疊加及其應用課堂檢測：

這是一份高中數學北師大版 (2019)必修 第二冊2.3 三角函數的疊加及其應用課堂檢測，共9頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

高中數學北師大版 (2019)必修 第二冊2.3 三角函數的疊加及其應用當堂達標檢測題

高中數學北師大版 (2019)必修 第二冊2.3 三角函數的疊加及其應用當堂達標檢測題
數學第二章 平面向量及其應用4 平面向量基本定理及坐標表示4.1 平面向量基本定理課后復習題

數學第二章 平面向量及其應用4 平面向量基本定理及坐標表示4.1 平面向量基本定理課后復習題
數學必修 第二冊4.1 平面向量基本定理同步達標檢測題

數學必修 第二冊4.1 平面向量基本定理同步達標檢測題
數學第二章 平面向量及其應用4 平面向量基本定理及坐標表示4.2 平面向量及運算的坐標表示隨堂練習題

數學第二章 平面向量及其應用4 平面向量基本定理及坐標表示4.2 平面向量及運算的坐標表示隨堂練習題
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高中數學北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

本章綜合與測試

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

切換課文
  • 同課精品
  • 所屬專輯26份
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部