高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修第二冊(cè)2.3 三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用課堂檢測(cè)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．下列命題正確的是( )
A．若?λ∈R，a≠λb，則a，b不共線
B．若|a|＝|b|，則a＝±b
C．若a和b都是單位向量，則a∥b
D．若m＝3a＋2b，n＝ eq \f(3,2)a＋b，則m∥n
D [由m＝2n，得m∥n.]
2．已知|a|＝8，e為單位向量，當(dāng)它們的夾角為 eq \f(2π,3)時(shí)，a在e方向上的投影數(shù)量為( )
A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C．4 D．－4
D [a在e方向上的投影為|a|cs eq \f(2π,3)＝8× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－4.]
3．若向量 eq \(AB,\s\up8(→))＝(1，2)， eq \(BC,\s\up8(→))＝(－4，2)，則| eq \(AC,\s\up8(→))|＝( )
A．2 eq \r(5) B. 5 C. 20 D. 25
B [因?yàn)?eq \(AC,\s\up8(→))＝ eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(BC,\s\up8(→))＝(－3，4)，所以| eq \(AC,\s\up8(→))|＝ eq \r(（－3）2＋42)＝5.]
4．已知向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝ eq \r(3)，a⊥(a－b)，則|b－2a|＝( )
A. 2 B．2 eq \r(3) C．4 D．4 eq \r(3)
A [|b－2a|＝|2a－b|＝|(a－b)＋a|＝ eq \r([（a－b）＋a]2)＝ eq \r(3＋1)＝2.]
5．若向量 eq \(AB,\s\up8(→))＝(3，4)，d＝(－1，1)，且d· eq \(AC,\s\up8(→))＝5，那么d· eq \(BC,\s\up8(→))＝( )
A．0 B．－4
C．4 D．4或－4
C [d· eq \(BC,\s\up8(→))＝d·( eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→)))＝d· eq \(AC,\s\up8(→))－d· eq \(AB,\s\up8(→))＝5－1＝4.]
6．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若 eq \(OA,\s\up8(→))－3 eq \(OB,\s\up8(→))＋ 2 eq \(OC,\s\up8(→))＝0，則 eq \f(|\(AB,\s\up8(→))|,|\(BC,\s\up8(→))|)等于( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C．1 D．2
D [由已知，得( eq \(OA,\s\up8(→))－ eq \(OB,\s\up8(→)))＋2( eq \(OC,\s\up8(→))－ eq \(OB,\s\up8(→)))＝0，即 eq \(BA,\s\up8(→))＋2 eq \(BC,\s\up8(→))＝0.
∴ eq \(BA,\s\up8(→))＝－2 eq \(BC,\s\up8(→))，
∴ eq \f(|\(AB,\s\up8(→))|,|\(BC,\s\up8(→))|)＝2.]
7．已知△ABC的面積為 eq \f(1,4)，外接圓面積為π，則這個(gè)三角形的三邊之積為( )
A．1 B．2 C． eq \f(1,2) D．4
A [由已知得，外接圓的半徑為R＝1，
由三角形的面積公式，得 eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,4)，又sin C＝ eq \f(c,2R)＝ eq \f(c,2)，∴abc＝1.]
8.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則 eq \(AE,\s\up8(→))· eq \(BE,\s\up8(→))的最小值為( )
A． eq \f(21,16) B． eq \f(3,2)
C． eq \f(25,16) D．3
A [如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
連接AC，
由題意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，則D(0，0)，A(1，0)，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，C(0， eq \r(3)).
設(shè)E(0，y)(0≤y≤ eq \r(3))，
則 eq \(AE,\s\up8(→))＝(－1，y)，
eq \(BE,\s\up8(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，y－\f(\r(3),2)))，
∴ eq \(AE,\s\up8(→))· eq \(BE,\s\up8(→))＝ eq \f(3,2)＋y2－ eq \f(\r(3),2)y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),4))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(21,16)(0≤y≤ eq \r(3))，
∴當(dāng)y＝ eq \f(\r(3),4)時(shí)， eq \(AE,\s\up8(→))· eq \(BE,\s\up8(→))有最小值 eq \f(21,16).故選A.]
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知向量a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，則下列結(jié)論正確的是( )
A． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝5
B． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝13
C．a(chǎn)在b方向上的投影數(shù)量為－ eq \f(63,5)
D．a(chǎn)在b方向上的投影數(shù)量為－ eq \f(63,13)
ABD [由已知得a＝(－3，4)，b＝(5，－12)，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝5， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝13，a·b＝－63.
所以a在b方向上的投影為 eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))＝－ eq \f(63,13).]
10．黑板上有一道解答正確的解三角形的習(xí)題，一位同學(xué)不小心把其中一部分擦去了，現(xiàn)在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a＝2，……，解得b＝ eq \r(6).根據(jù)以上信息，你認(rèn)為下面哪個(gè)選項(xiàng)不可以作為這個(gè)習(xí)題的其余已知條件( )
A．A＝30°，B＝45°B．c＝1，cs C＝ eq \f(1,3)
C．B＝60°，c＝3 D．C＝75°，A＝45°
ABC [∵ eq \f(2,sin 30°)≠ eq \f(\r(6),sin 45°)，∴A錯(cuò)；
∵cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(4＋6－1,4\r(6))≠ eq \f(1,3)，∴B錯(cuò)；
∵ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝ eq \f(4＋9－6,12)＝ eq \f(7,12)≠cs 60°，∴C錯(cuò)；
對(duì)于D，由正弦定理得，b＝ eq \f(a sin B,sin A)＝ eq \f(2sin 60°,sin 45°)＝ eq \r(6)，故D正確．]
11．已知|a|＝1，a·b＝ eq \f(1,2)，|a－b|＝1，則下列結(jié)論正確的是( )
A．|b|＝1
B．b在a方向上的投影數(shù)量為 eq \f(1,2)
C．|a＋b|＝ eq \r(3)
D．a(chǎn)與b的夾角等于 eq \f(π,3)
ABCD [因?yàn)閨a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.①
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝3，所以|a＋b|＝ eq \r(3)，
設(shè)a與b的夾角為θ，
因?yàn)閍·b＝|a||b|·cs θ＝ eq \f(1,2)，且|a|＝1，
所以|b|cs θ＝ eq \f(1,2).②
由①②得cs θ＝ eq \f(1,2).
又θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(π,3).]
12．設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A．若 eq \(AM,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up8(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)
B．若 eq \(AM,\s\up8(→))＝2 eq \(AB,\s\up8(→))－ eq \(AC,\s\up8(→))，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上
C．若 eq \(AM,\s\up8(→))＝－ eq \(BM,\s\up8(→))－ eq \(CM,\s\up8(→))，則點(diǎn)M是△ABC的重心
D．若 eq \(AM,\s\up8(→))＝x eq \(AB,\s\up8(→))＋y eq \(AC,\s\up8(→))，且x＋y＝ eq \f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的 eq \f(1,2)
ACD [A項(xiàng)， eq \(AM,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up8(→))? eq \f(1,2) eq \(AM,\s\up8(→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \f(1,2) eq \(AM,\s\up8(→))，即 eq \(BM,\s\up8(→))＝ eq \(MC,\s\up8(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，所以A正確；
B項(xiàng)， eq \(AM,\s\up8(→))＝2 eq \(AB,\s\up8(→))－ eq \(AC,\s\up8(→))? eq \(AM,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \(AB,\s\up8(→))－ eq \(AC,\s\up8(→))，即 eq \(BM,\s\up8(→))＝ eq \(CB,\s\up8(→))，則點(diǎn)M在邊CB的延長(zhǎng)線上，所以B錯(cuò)誤．
C項(xiàng)如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，
則 eq \(AM,\s\up8(→))＝－ eq \(BM,\s\up8(→))－ eq \(CM,\s\up8(→))＝ eq \(MB,\s\up8(→))＋ eq \(MC,\s\up8(→))＝2 eq \(MD,\s\up8(→))，由重心性質(zhì)可知C正確．
D項(xiàng)， eq \(AM,\s\up8(→))＝x eq \(AB,\s\up8(→))＋y eq \(AC,\s\up8(→))，
且x＋y＝ eq \f(1,2)?2 eq \(AM,\s\up8(→))＝2x eq \(AB,\s\up8(→))＋2y eq \(AC,\s\up8(→))，2x＋2y＝1，
設(shè) eq \(AD,\s\up8(→))＝2 eq \(AM,\s\up8(→))，
所以 eq \(AD,\s\up8(→))＝2x eq \(AB,\s\up8(→))＋2y eq \(AC,\s\up8(→))，2x＋2y＝1，
可知B，C，D三點(diǎn)共線，
所以△MBC的面積是△ABC面積的 eq \f(1,2)，所以D正確．]
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13．向量 eq \(PA,\s\up8(→))＝(k，12)， eq \(PB,\s\up8(→))＝(4，5)， eq \(PC,\s\up8(→))＝(10，k)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值為_(kāi)_______．
－2或11 [ eq \(BA,\s\up8(→))＝ eq \(PA,\s\up8(→))－ eq \(PB,\s\up8(→))＝(k，12)－(4，5)＝(k－4，7)，
eq \(CA,\s\up8(→))＝ eq \(PA,\s\up8(→))－ eq \(PC,\s\up8(→))＝(k，12)－(10，k)＝(k－10，12－k).
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，
所以 eq \(BA,\s\up8(→))∥ eq \(CA,\s\up8(→))，
所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，
整理得k2－9k－22＝0，
解得k＝－2或11.]
14．如圖，在△ABC中， eq \(AN,\s\up8(→))＝ eq \f(1,3) eq \(NC,\s\up8(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若 eq \(AP,\s\up8(→))＝m eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up8(→))，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．
eq \f(1,9) [∵B，P，N三點(diǎn)共線．
∴存在λ，使 eq \(BP,\s\up8(→))＝λ eq \(BN,\s\up8(→)).
∴ eq \(BP,\s\up8(→))＝λ eq \(BN,\s\up8(→))＝λ( eq \(BA,\s\up8(→))＋ eq \(AN,\s\up8(→)))＝－λ eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,4)λ eq \(AC,\s\up8(→)).
∴ eq \(AP,\s\up8(→))＝ eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(BP,\s\up8(→))＝(1－λ) eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,4)λ eq \(AC,\s\up8(→)).
又∵ eq \(AP,\s\up8(→))＝m eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up8(→))，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－λ＝m，,\f(1,4)λ＝\f(2,9)，))
∴λ＝ eq \f(8,9)，m＝1－ eq \f(8,9)＝ eq \f(1,9).]
15．在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè) eq \(BC,\s\up8(→))＝2 eq \(BD,\s\up8(→))， eq \(CA,\s\up8(→))＝3 eq \(CE,\s\up8(→))，則 eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(BE,\s\up8(→))＝________， eq \(AD,\s\up8(→))與 eq \(BE,\s\up8(→))夾角的余弦值為_(kāi)_______.
－ eq \f(1,4) － eq \f(\r(21),14) [選 eq \(CA,\s\up8(→))， eq \(CB,\s\up8(→))為基，則 eq \(AD,\s\up8(→))＝ eq \(AC,\s\up8(→))＋ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up8(→))， eq \(BE,\s\up8(→))＝－ eq \(CB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up8(→))，
∴ eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(BE,\s\up8(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up8(→))＋\f(1,2)\(CB,\s\up8(→))))·(－ eq \(CB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up8(→)))
＝－ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up8(→))2－ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up8(→))2＋ eq \f(7,6) eq \(CA,\s\up8(→))· eq \(CB,\s\up8(→))
＝－ eq \f(1,3)－ eq \f(1,2)＋ eq \f(7,6)×1×1×cs 60°
＝－ eq \f(1,4).
又 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up8(→))))＝ eq \f(\r(3),2)， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BE,\s\up8(→))))＝ eq \f(\r(7),3)，
則 eq \(AD,\s\up8(→))與 eq \(BE,\s\up8(→))夾角的余弦值為 eq \f(\(AD,\s\up8(→))·\(BE,\s\up8(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up8(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BE,\s\up8(→)))))＝ eq \f(－\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(7),3))＝－ eq \f(\r(21),14). ]
16．平面直角坐標(biāo)系中，e是單位向量，向量a滿足a·e＝2，且|a|2≤5·|a＋te|對(duì)任意實(shí)數(shù)t成立，則|a|的取值范圍是________．
[ eq \r(5)，2 eq \r(5)] [不妨設(shè)e＝(1，0)，由于a·e＝2，可設(shè)a＝(2，s)，
則對(duì)任意實(shí)數(shù)t，有4＋s2＝|a|2≤5·|a＋te|＝5 eq \r(（2＋t）2＋s2)，
這等價(jià)于4＋s2≤5|s|，
解得|s|∈[1，4]，
即s2∈[1，16]，
于是|a|＝ eq \r(4＋s2)∈[ eq \r(5)，2 eq \r(5)].]
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．(本小題滿分10分)已知向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
[解] (1)若a⊥b，則a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝2x＋3－x2＝0.
即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，則有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
∴|a－b|＝|(1，0)－(3，0)|＝|(－2，0)|＝ eq \r(（－2）2＋02)＝2.
當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1，2)|＝|(2，－4)|＝ eq \r(22＋（－4）2)＝2 eq \r(5).
18．(本小題滿分12分)如圖所示，甲船以每小時(shí)30 eq \r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10 eq \r(2)海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？
[解] 如圖所示，連接A1B2.
由已知A2B2＝10 eq \r(2)，A1A2＝30 eq \r(2)× eq \f(20,60)＝10 eq \r(2)，
∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等邊三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10 eq \r(2).
由已知A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))＝A1B eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))＋A1B eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))－2A1B1·A1B2·cs 45°＝202＋(10 eq \r(2))2－2×20×10 eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＝200，
∴B1B2＝10 eq \r(2).
因此，乙船的速度的大小為 eq \f(10\r(2),20)×60＝30 eq \r(2)(海里/小時(shí)).
答：乙船每小時(shí)航行30 eq \r(2)海里．
19.(本小題滿分12分)如圖，已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM＝1，N在OA上，且ON＝1，P為AM與BN的交點(diǎn)，求∠MPN.
[解] 設(shè) eq \(OA,\s\up8(→))＝a， eq \(OB,\s\up8(→))＝b且 eq \(AM,\s\up8(→))， eq \(BN,\s\up8(→))的夾角為θ，
則 eq \(OM,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)b， eq \(ON,\s\up8(→))＝ eq \f(1,3)a.
又∵ eq \(AM,\s\up8(→))＝ eq \(OM,\s\up8(→))－ eq \(OA,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)b－a， eq \(BN,\s\up8(→))＝ eq \(ON,\s\up8(→))－ eq \(OB,\s\up8(→))＝ eq \f(1,3)a－b，
∴ eq \(AM,\s\up8(→))· eq \(BN,\s\up8(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－a))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－b))＝－5，
| eq \(AM,\s\up8(→))|＝ eq \r(10)，| eq \(BN,\s\up8(→))|＝ eq \r(5)，
∴cs θ＝ eq \f(－5,\r(5)·\r(10))＝－ eq \f(\r(2),2).
又∵θ∈[0，π]，
∴θ＝ eq \f(3π,4).
又∵∠MPN即為向量 eq \(AM,\s\up8(→))， eq \(BN,\s\up8(→))的夾角，
∴∠MPN＝ eq \f(3π,4).
20．(本小題滿分12分)已知△ABC的外接圓圓心為O，AB＝2，AC＝3，BC＝ eq \r(7)，求 eq \(AO,\s\up8(→))· eq \(BC,\s\up8(→)).
[解] eq \(AO,\s\up8(→))· eq \(BC,\s\up8(→))＝ eq \(AO,\s\up8(→))·( eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→)))＝ eq \(AO,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AO,\s\up8(→))· eq \(AB,\s\up8(→))，
∵ eq \(AO,\s\up8(→))在 eq \(AB,\s\up8(→))上的投影數(shù)量為 eq \f(1,2)| eq \(AB,\s\up8(→))|，
∴ eq \(AO,\s\up8(→))· eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)| eq \(AB,\s\up8(→))|·| eq \(AB,\s\up8(→))|＝2.
同理， eq \(AO,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)| eq \(AC,\s\up8(→))|·| eq \(AC,\s\up8(→))|＝ eq \f(9,2).
∴ eq \(AO,\s\up8(→))· eq \(BC,\s\up8(→))＝ eq \f(9,2)－2＝ eq \f(5,2).
21．(本小題滿分12分)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a、b、c，已知2cs C(a cs B＋b cs A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝ eq \r(7)，求△ABC的面積的最大值．
[解] (1)由2cs C(a cs B＋b cs A)＝c，得2cs C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a×\f(a2＋c2－b2,2ac)＋b×\f(b2＋c2－a2,2bc)))＝c，
所以2c cs C＝c，
所以cs C＝ eq \f(1,2)，
又C∈(0，π)，
所以C＝ eq \f(π,3).
(2)由余弦定理得a2＋b2－2ab cs eq \f(π,3)＝7，整理得a2＋b2－ab＝7，
又a2＋b2≥2ab，
所以ab≤7，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào)，
所以△ABC的面積為 eq \f(1,2)ab sin C≤ eq \f(1,2)×7× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(7\r(3),4)，
所以△ABC的面積的最大值為 eq \f(7\r(3),4).
22．(本小題滿分12分)已知△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且3 eq \(OA,\s\up8(→))＋4 eq \(OB,\s\up8(→))＋5 eq \(OC,\s\up8(→))＝0.
(1)求 eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))；
(2)求△ABC的面積．
[解] (1)∵3 eq \(OA,\s\up8(→))＋4 eq \(OB,\s\up8(→))＋5 eq \(OC,\s\up8(→))＝0，
∴3 eq \(OA,\s\up8(→))＋4 eq \(OB,\s\up8(→))＝－5 eq \(OC,\s\up8(→))，即(3 eq \(OA,\s\up8(→))＋4 eq \(OB,\s\up8(→)))2＝(－5 eq \(OC,\s\up8(→)))2.
可得9 eq \(OA,\s\up8(→))2＋24 eq \(OA,\s\up8(→))· eq \(OB,\s\up8(→))＋16 eq \(OB,\s\up8(→))2＝25 eq \(OC,\s\up8(→))2.
又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，
∴ eq \(OA,\s\up8(→))2＝ eq \(OB,\s\up8(→))2＝ eq \(OC,\s\up8(→))2＝1，
∴ eq \(OA,\s\up8(→))· eq \(OB,\s\up8(→))＝0.
同理 eq \(OB,\s\up8(→))· eq \(OC,\s\up8(→))＝－ eq \f(4,5)， eq \(OC,\s\up8(→))· eq \(OA,\s\up8(→))＝－ eq \f(3,5).
∴ eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝( eq \(OB,\s\up8(→))－ eq \(OA,\s\up8(→)))·( eq \(OC,\s\up8(→))－ eq \(OA,\s\up8(→)))
＝ eq \(OB,\s\up8(→))· eq \(OC,\s\up8(→))－ eq \(OA,\s\up8(→))· eq \(OB,\s\up8(→))－ eq \(OC,\s\up8(→))· eq \(OA,\s\up8(→))＋ eq \(OA,\s\up8(→))· eq \(OA,\s\up8(→))
＝－ eq \f(4,5)－0＋ eq \f(3,5)＋1＝ eq \f(4,5).
(2)| eq \(AB,\s\up8(→))|＝ eq \r(\a\vs4\al(\(AB,\s\up8(→))2))＝ eq \r(\a\vs4\al(（\(OB,\s\up8(→))－\(OA,\s\up8(→))）2))＝ eq \r(\a\vs4\al(2－2\(OA,\s\up8(→))·\(OB,\s\up8(→))))＝ eq \r(2－0)＝ eq \r(2)，
| eq \(AC,\s\up8(→))|＝ eq \r(\a\vs4\al(\(AC,\s\up8(→))2))＝ eq \r(\a\vs4\al(（\(OC,\s\up8(→))－\(OA,\s\up8(→))）2))＝ eq \r(\a\vs4\al(2－2\(OC,\s\up8(→))·\(OA,\s\up8(→))))＝ eq \r(2＋\f(6,5))＝ eq \f(4\r(5),5)，
又cs A＝ eq \f(\(AB,\s\up8(→))·\(AC,\s\up8(→)),|\(AB,\s\up8(→))||\(AC,\s\up8(→))|)＝ eq \f(\f(4,5),\r(2)×\f(4\r(5),5))＝ eq \f(\r(10),10)，
則sin A＝ eq \f(3\r(10),10)，
S△ABC＝ eq \f(1,2)| eq \(AB,\s\up8(→))|| eq \(AC,\s\up8(→))|sin A＝ eq \f(1,2)× eq \r(2)× eq \f(4\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)＝ eq \f(6,5).

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