高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用第1課時學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第1課時空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
學(xué)習(xí)目標(biāo) 理解直線的方向向量與平面的法向量，會求一個平面的法向量．
導(dǎo)語
牌樓與牌坊類似，是中國傳統(tǒng)建筑之一，最早見于周朝．在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造．舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種，多設(shè)于要道口．牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物，一般較高大．如圖，牌樓的柱子與地面是垂直的，如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直，我們就能知道下邊線與地面平行．這是為什么呢？
一、空間中點(diǎn)的向量和直線的向量表示
問題1 在空間中，如何用向量表示空間中的一個點(diǎn)？
提示在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量eq \(OP,\s\up6(→))來表示，我們把向量eq \(OP,\s\up6(→))稱為點(diǎn)P的位置向量．
問題2 空間中給定一個點(diǎn)A和一個方向就能唯一確定一條直線l.如何用向量表示直線l?
提示如圖1，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq \(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，由向量共線的條件可知，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得eq \(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→)).如圖2，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta，①
或eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→)).②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定．
知識梳理
1．設(shè)A是直線上一點(diǎn)，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq \(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線l上任意一點(diǎn)，
(1)點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq \(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→)).
(2)取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t.使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta.
(3)取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→)).
2．空間任意直線都可以由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定．
注意點(diǎn)：
(1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．
(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個．
例1 (1)已知直線l的一個方向向量m＝(2，－1,3)，且直線l過A(0，y,3)和B(－1,2，z)兩點(diǎn)，則y－z等于( )
A．0 B．1 C.eq \f(3,2) D．3
答案 A
解析 ∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,2－y，z－3)，
∵直線l的一個方向向量為m＝(2，－1,3) ，
故設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝km.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝2k，,2－y＝－k，,z－3＝3k.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,y＝\f(3,2)，,z＝\f(3,2).))
∴y－z＝0.
(2)在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1為正方體，棱長為1，則直線DD1的一個方向向量為________，直線BC1的一個方向向量為________．
答案 (0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一)
解析因?yàn)镈D1∥AA1，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，
故直線DD1的一個方向向量為(0,0,1)；
因?yàn)锽C1∥AD1，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
故直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)．
反思感悟理解直線方向向量的概念
(1)直線上任意兩個不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線的方向向量．
(2)直線的方向向量不唯一．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)(多選)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直線l上，則直線l的一個方向向量是( )
A．(2,2,6) B．(1,1,3)
C．(3,1,1) D．(－3,0,1)
答案 AB
解析 ∵M(jìn)，N在直線l上，∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(1,1,3)，
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直線l的一個方向向量．
(2)從點(diǎn)A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長|eq \(AB,\s\up6(→))|＝34，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A．(18,17，－17) B. (－14，－19,17)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(7,2)，1)) D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(11,2)，13))
答案 A
解析設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為 (x，y，z)，
則 eq \(AB,\s\up6(→))＝λa(λ>0)，
即 (x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，
因?yàn)?|eq \(AB,\s\up6(→))|＝34，
即eq \r(64λ2＋81λ2＋144λ2)＝34，得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
二、空間中平面的向量表示
知識梳理
1．如圖，設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得eq \(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.
2．如圖，取定空間任意一點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．
3.由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個不共線向量唯一確定．
如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量．給定一個點(diǎn)A和一個向量a，那么過點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq \(AP,\s\up6(→))＝0}．
注意點(diǎn)：
(1)平面α的一個法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量．
(2)一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行．
三、求平面的法向量
例2 如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq \f(1,2)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．
(1)求平面ABCD的一個法向量；
(2)求平面SAB的一個法向量；
(3)求平面SCD的一個法向量．
解以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD，AB，AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴eq \(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA?平面ABS，
∴AD⊥平面SAB，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))是平面SAB的一個法向量．
(3)在平面SCD中，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，eq \(SC,\s\up6(→))＝(1,1，－1)．
設(shè)平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
則n⊥eq \(DC,\s\up6(→))，n⊥eq \(SC,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DC,\s\up6(→))＝0，,n·\(SC,\s\up6(→))＝0，))
得方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋y＝0，,x＋y－z＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2y，,z＝－y，))
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．
∴n＝(2，－1,1)是平面SCD的一個法向量(答案不唯一)．
反思感悟求平面法向量的方法與步驟
(1)求平面ABC的法向量時，要選取平面內(nèi)兩不共線向量，如eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))；
(2)設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)；
(3)聯(lián)立方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；
(4)所求出向量中的三個坐標(biāo)不是具體的值而是比例關(guān)系，設(shè)定一個坐標(biāo)為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個法向量．
跟蹤訓(xùn)練2 如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是邊長為1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面DEF的一個法向量．
解如圖，連接PF，CF.
因?yàn)镻A＝PB，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，
所以PF⊥AB，
又因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD.
因?yàn)锳B＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等邊三角形，
所以CF⊥AB.
以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，BF，CF，PF所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)．
由題意得F(0,0,0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2)，0))，
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，0))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),4)，\f(\r(3),4))).
所以eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),4)，\f(\r(3),4)))，eq \(FD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2)，0)).
設(shè)平面DEF的一個法向量為m＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(FE,\s\up6(→))＝0，,m·\(FD,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)y＋\f(\r(3),4)z＝0，,－x＋\f(\r(3),2)y＝0.))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z＝－y，,x＝\f(\r(3),2)y，))
令y＝2，則x＝eq \r(3)，z＝－2.
所以平面DEF的一個法向量為m＝(eq \r(3)，2，－2)(答案不唯一)．
1．知識清單：
(1)空間點(diǎn)、直線、平面的向量表示．
(2)直線的方向向量．
(3)平面的法向量．
2．方法歸納：待定系數(shù)法．
3．常見誤區(qū)：不理解直線的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性．
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
答案 A
解析因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝(2,4,6)，所以(1,2,3)是直線l的一個方向向量．
2．(多選)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(AA1,\s\up6(→))
C.eq \(B1B,\s\up6(—→)) D.eq \(A1C1,\s\up6(—→))
答案 BC
3．若n＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
答案 D
解析求與n共線的一個向量．
易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1)．
4．已知平面α經(jīng)過點(diǎn)O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一個法向量，M(x，y，z)是平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿足的關(guān)系式是________．
答案 x＋2y－3z＝0
解析由題意得e⊥eq \(OM,\s\up6(→))，
則eq \(OM,\s\up6(→))·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，
故x＋2y－3z＝0.
課時對點(diǎn)練
1．已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直線l的方向向量，則x的值是( )
A．－1 B．1或－1
C．－3 D．1
答案 A
解析由題意得a∥b，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2＝2，,6x＝－6，))解得x＝－1.
2．在菱形ABCD中，若eq \(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，則以下關(guān)系中可能不成立的是( )
A.eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))
C.eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(CD,\s\up6(→))
答案 C
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∴PC⊥BD.
故選項(xiàng)B成立，選項(xiàng)A和D顯然成立．故選C.
3．已知平面α上的兩個向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，則平面α的一個法向量為( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1,1)
答案 C
解析顯然a與b不平行，
設(shè)平面α的法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·n＝0，,b·n＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋z＝0，,5x＋6y＋4z＝0.))
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
所以n＝(－2,1,1)．
4．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4，x)，平面α的一個法向量n＝(1，y,3)，若AB?α，則( )
A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6
C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0
答案 C
解析由題意可知eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0，
可得3x＋4y＋2＝0.
5．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，則平面ABC的一個單位法向量是( )
A．(1,1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))
答案 B
解析設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·n＝－y＋z＝0，,\(BC,\s\up6(→))·n＝－x＋y＝0.))
∴x＝y(tǒng)＝z，
又∵單位向量的模為1，故只有B正確．
6．已知平面α內(nèi)有一個點(diǎn)A(2，－1,2)，它的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是( )
A．(1，－1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
答案 B
解析要判斷點(diǎn)P是否在平面α內(nèi)，只需判斷向量eq \(PA,\s\up6(→))與平面α的法向量n是否垂直，
即eq \(PA,\s\up6(→))·n是否為0，因此，要對各個選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)．
對于選項(xiàng)A，eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,0,1)，
則eq \(PA,\s\up6(→))·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；
對于選項(xiàng)B，eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－4，\f(1,2)))，
則eq \(PA,\s\up6(→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－4，\f(1,2)))·(3,1,2)＝0，故B正確；
同理可排除C，D.
7．(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上不與C1，C重合的任一點(diǎn)，則能作為直線AA1的方向向量的是( )
A.eq \(AA1,\s\up6(→)) B.eq \(C1E,\s\up6(—→))
C.eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(A1A,\s\up6(—→))
答案 ABD
解析由定義知，一個向量對應(yīng)的有向線段所在的直線與直線AA1平行或重合，則這個向量就稱為直線AA1的一個方向向量．
8.在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論：
①直線CC1的一個方向向量為(0,0,1)；②直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)；③平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0)；④平面B1CD的一個法向量為(1,1,1)．
其中正確的是________．(填序號)
答案 ①②③
解析 eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，故①正確；eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，故②正確；直線AD⊥平面ABB1A1，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,1,0)，故③正確；向量eq \(AC1,\s\up6(→))的坐標(biāo)為(1,1,1)，與平面B1CD不垂直，∴④錯．
9.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中點(diǎn)，求平面EDB的一個法向量．
解如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．
依題意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，B(1,1,0)，
于是eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)．
設(shè)平面EDB的法向量為n＝(x，y，z)，
則n⊥eq \(DE,\s\up6(→))，n⊥eq \(DB,\s\up6(→))，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DE,\s\up6(→))＝\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0，,n·\(DB,\s\up6(→))＝x＋y＝0，))
取x＝1，則y＝－1，z＝1，
故平面EDB的一個法向量為n＝(1，－1,1)．
10.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面PAB的一個法向量．
解因?yàn)椤螪AB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝eq \r(3)AD，從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線DA，DB，DP為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0，eq \r(3)，0)，P(0,0,1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(3)，0)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，－1)．
設(shè)平面PAB的一個法向量為n＝(x，y，z)．
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(PB,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋\r(3)y＝0，,\r(3)y－z＝0，))
因此可取n＝(eq \r(3)，1，eq \r(3))．
所以平面PAB的一個法向量可以為(eq \r(3)，1，eq \r(3))(答案不唯一)．
11．(多選)已知直線l1的方向向量a＝(2,4，x)，直線l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y的值是( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
答案 AD
解析因?yàn)閨a|＝eq \r(22＋42＋x2)＝6，
所以x＝±4.
因?yàn)閍⊥b，
所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
即y＝－1－eq \f(1,2)x，
所以當(dāng)x＝4時，y＝－3；
當(dāng)x＝－4時，y＝1.
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
12.在三棱錐P－ABC中，CP，CA，CB兩兩垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列向量是平面PAB的法向量的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))
B．(1，eq \r(2)，1)
C．(1,1,1)
D．(2，－2,1)
答案 A
解析因?yàn)閑q \(PA,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，
設(shè)平面PAB的一個法向量為n＝(x，y,1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(PA,\s\up6(→))＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝0，))則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝0，,－x＋y＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))
所以n＝(2,2,1)．
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))＝eq \f(1,2)n，
因此，平面PAB的一個法向量為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))).
13．已知直線l過點(diǎn)P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α過直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面α的法向量不可能是( )
A．(1，－4,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2))) D．(0，－1,1)
答案 D
解析因?yàn)閑q \(PM,\s\up6(→))＝(0,2,4)，直線l平行于向量a，若n是平面α的一個法向量，則必須滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·\(PM,\s\up6(→))＝0，))把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)D不滿足，故選D.
14．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(5,8)))是平面α內(nèi)三點(diǎn)，設(shè)平面α的法向量為a＝(x，y，z)，則x∶y∶z＝________.
答案 2∶3∶(－4)
解析由已知得，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，－\f(7,4)))，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－1，－\f(7,4)))，
∵a是平面α的一個法向量，
∴a·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，a·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y－\f(7,4)z＝0，,－2x－y－\f(7,4)z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)y，,z＝－\f(4,3)y，))
∴x∶y∶z＝eq \f(2,3)y∶y∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)y))＝2∶3∶(－4)．
15．(多選)已知平面α內(nèi)兩向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)，若c為平面α的一個法向量，則( )
A．m＝－1 B．m＝1
C．n＝2 D．n＝－2
答案 AC
解析 c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c為平面α的一個法向量，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c·a＝0，,c·b＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋4＋m＋2n－4＋m－n＋1＝0，,2?m＋2n－4?－?m－n＋1?＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝2.))
16．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．
(1)求證：eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；
(2)求平行四邊形ABCD的面積．
(1)證明 eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝0，
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD.
所以eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量．
(2)解因?yàn)閨eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋?－1?2＋?－4?2)＝eq \r(21)，
|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(42＋22＋02)＝2eq \r(5)，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)·(4,2,0)＝6，
所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉＝eq \f(6,\r(21)×2\r(5))＝eq \r(\f(3,35))，
故sin〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉＝eq \r(\f(32,35))，
S?ABCD＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|sin〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉＝8eq \r(6).

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