1.3　空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．3.1　空間直角坐標(biāo)系知識點(diǎn)一　空間中點(diǎn)的位置向量如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量來表示．我們把向量稱為點(diǎn)P的位置向量． 知識點(diǎn)二　空間中直線的向量表示式直線l的方向向量為a ，且過點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝＋ta，①把＝a代入①式得＝＋t，②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．  知識點(diǎn)三　空間中平面的向量表示式1．平面ABC的向量表示式空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使＝＋x＋y.③我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式． 2．平面的法向量如圖，若直線 l⊥α ，取直線 l 的方向向量a ，我們稱a為平面α的法向量；過點(diǎn)A且以 a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合 {P|a·＝0}．題型一、直線的方向向量1．直線的方向向量（1）如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量，則對于直線l上的任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)，使得，把與_________的_________向量稱為直線l的方向向量．（2）直線可以由_________和它的_________確定．【答案】     向量平行     非零     其上一點(diǎn)     方向向量 2．已知平面上兩點(diǎn)，則下列向量是直線的方向向量是（       ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)，則，又因?yàn)?/span>與向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D. 3．如圖所示，在四棱柱所有的棱中，可作為直線A1B1的方向向量的有________.【答案】【詳解】根據(jù)方向向量的概念可知：可作為直線A1B1的方向向量的有,故答案為：. 4．已知點(diǎn)P是過點(diǎn)A（0，1，1）且方向向量為的直線上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．【答案】【詳解】設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以 即，解得：，，即 ，解得：.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是.故答案為： 題型二、求平面的法向量1．直線的方向向量是指和這條直線___________的非零向量，一條直線的方向向量有___________個(gè)；平面的法向量是指與該平面___________的非零向量，一個(gè)平面的法向量有___________個(gè).【答案】     平行     無數(shù)     垂直     無數(shù)【詳解】根據(jù)直線的方向向量的定義，可得直線的方向向量是與這條直線平行的非零向量，其中一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè)；根據(jù)平面法向量的定義，可知平面的法向量與該平面垂直的非零向量，一個(gè)平面的法向量由無數(shù)個(gè).故答案為：平行；無數(shù)；垂直；無數(shù). 2．分別寫出平面，平面，平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)．【答案】平面，平面，平面的一個(gè)法向量坐標(biāo)分別為、、.【詳解】由平面上存在不平行向量、，若是平面的一個(gè)法向量，則，易知：是平面的一個(gè)法向量.由平面上存在不平行向量、，若是平面的一個(gè)法向量，則，易知：是平面的一個(gè)法向量.由平面上存在不平行向量、，若是平面的一個(gè)法向量，則，易知：是平面的一個(gè)法向量. 3．已知三點(diǎn)、、，則平面的法向量可以是______．（寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【詳解】，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，所以平面的法向量可以是.故答案為：（答案不唯一）. 4．如圖，在長方體中，，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個(gè)法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．【詳解】(1)以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)?/span>平面，所以為平面的一個(gè)法向量，所以平面的一個(gè)法向量為，(2)設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>，所以，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，(3)設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>，所以，令，則所以平面的一個(gè)法向量為  1．（多選）下列結(jié)論正確的是（       ）A．直線的方向向量是唯一確定的.B．平面的單位法向量是唯一確定的.C．若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.D．若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.【答案】CD【詳解】對于A，因與直線平行的任何非零向量都是直線的方向向量，A不正確；對于B，因與平面垂直的直線的方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，則平面的單位法向量也不唯一，B不正確；對于C，因兩平面的法向量平行，即這二平面可以垂直于同一直線，則二平面平行，C正確；對于D，若兩直線平行，則它們的方向向量平行與已知兩直線的方向向量不平行矛盾，即兩直線平行是錯(cuò)的，則兩直線不平行，D正確.故選：CD 2．（多選）在如圖所示的坐標(biāo)系中，為正方體，則下列結(jié)論中正確的是（       ）A．直線 的一個(gè)方向向量為(0，0，1) B．直線的一個(gè)方向向量為(0，1，1)C．平面的一個(gè)法向量為(0，1，0) D．平面的一個(gè)法向量為(1，1，1)【答案】ABC【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，則，因?yàn)?/span>，故A正確；因?yàn)?/span>， 故B正確；直線AD⊥平面ABB1A1，，故C正確；不垂直，所以與平面B1CD不垂直，故D錯(cuò).故選：ABC. 3．設(shè)是空間直線l上的點(diǎn)，求直線l的一個(gè)方向向量.【答案】【詳解】根據(jù)題意得：點(diǎn)和點(diǎn)是空間直線l上的點(diǎn)，那么直線l的方向向量為，故直線l的一個(gè)方向向量 4．直線的一個(gè)方向向量是______________．【答案】(1，2)(答案不唯一)【詳解】由題意，直線方程，可得直線的斜率為，所以直線的其中一個(gè)方向向量為.故答案為：. 5．四棱錐中，底面，為正方形的對角線，給出下列命題：①為平面PAD的法向量；   ②為平面PAC的法向量； ③為直線AB的方向向量； ④直線BC的方向向量一定是平面PAB的法向量． 其中正確命題的序號是______________【答案】②，③，④【詳解】①因?yàn)榈酌?/span>是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；②由底面是正方形知，因?yàn)?/span>底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，為平面PAC的法向量，②正確；③因?yàn)榈酌?/span>是正方形，所以，則為直線AB的方向向量，③正確；④易知，因?yàn)?/span>底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，故④正確.故答案為：②，③，④ 6．在直三棱柱中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是(       )A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，∵、、均垂直于平面ABC，故選項(xiàng)D中可以作為平面ABC的法向量．故選：D． 7．若點(diǎn)，，，則平面ABC的一個(gè)法向量______．【答案】【詳解】由題意，點(diǎn)點(diǎn)，，，可得向量，設(shè)平面的法向量為，可得，取，可得，所以平面的一個(gè)法向量為.故答案為：. 8．已知，求平面的一個(gè)單位法向量的坐標(biāo).【答案】【詳解】由題設(shè)，，，若是面的一個(gè)法向量，所以，令，則，所以平面的一個(gè)單位法向量的坐標(biāo)為. 9．已知正方體，分別寫出對角面和平面的一個(gè)法向量．【答案】平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為；【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、、，所以，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，則，，所以，即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，所以平面的一個(gè)法向量為； 1．有以下命題：①一個(gè)平面的單位法向量是唯一的②一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量平行，則這條直線和這個(gè)平面平行③若兩個(gè)平面的法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交④若一條直線的方向向量垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直其中真命題的個(gè)數(shù)有（       ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)平面的單位法向量方向不同，所以有2個(gè)，故①錯(cuò)誤；當(dāng)一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量平行時(shí)，則這條直線和這個(gè)平面垂直，故② 錯(cuò)誤；因?yàn)閮蓚€(gè)平面的法向量平行時(shí)，平面平行，所以法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交，③正確；若一條直線的方向向量垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，則直線和平面垂直，故④ 錯(cuò)誤.故選：A 2．已知，分別是直線，的方向向量，那么“，不平行”是“，異面”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若，不平行，則直線，可能異面，可能在同一平面內(nèi)，不是充分條件；若直線，異面，則，不平行，是必要條件；所以“，不平行”是“，異面”的必要不充分條件故選：B 3．設(shè)，是兩條直線，它們的方向向量分別為，，，是兩個(gè)平面，且，，則“”是“”的（       ）A．既不充分也不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．充分不必要條件【答案】B【詳解】必要性：因?yàn)?/span>，，則是平面的法向量，是平面的法向量，由，得；充分性：因?yàn)?/span>，，則是平面的法向量，是平面的法向量，且，則平面的法向量和平面的法向量滿足.因此“”是“”的充要條件.故選：B. 4．如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，．平面的法向量為（       ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】是正方形，且，，，，，，，，，又，，，平面的法向量為，則，得，，結(jié)合選項(xiàng)，可得，故選：C. 5．（多選）下列命題中真命題有（       ）．A．直線l的方向向量有無窮多個(gè)B．若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反C．若向量是直線l的一個(gè)方向向量，則向量也是直線l的一個(gè)方向向量D．兩直線的方向向量平行，則兩直線平行；兩直線的方向向量垂直，則兩直線垂直【答案】AB【詳解】AB選項(xiàng)，由直線的方向向量的定義易知A，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，兩直線的方向向量平行，則兩直線平行或重合，故D錯(cuò)誤．故選：AB． 6．（多選）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是（       ）A．直線的一個(gè)方向向量為B．直線的一個(gè)方向向量為C．平面的一個(gè)法向量為D．平面的一個(gè)法向量為【答案】AC【詳解】由題意，,,,,,∵，∴向量為直線的一個(gè)方向向量，故正確,不正確；設(shè)平面的法向量為， 則,由，得，令得，則正確;設(shè)平面的法向量為，則，由，得，令得，則不正確.故選：. 7．（多選）已知空間中三點(diǎn)，，，則正確的有（       ）A．與是共線向量 B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是【答案】CD【詳解】，，，顯然與不共線，A錯(cuò)誤；的單位向量，即，B錯(cuò)誤；，，C正確；設(shè)平面的法向量，則，令，得，D正確.故選：CD. 8．（多選）如圖，在三棱錐中，平面，，，，以B為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PAB和平面PBC的一個(gè)法向量分別為，，則下列結(jié)論中正確的是（       ）A．點(diǎn)P的坐標(biāo)為 B．C． D．【答案】AD【詳解】由題意可得，，，，所以，.設(shè)，則，即，取，可得.因?yàn)?/span>，，且 所以平面PAB，即 所以平面平面PAB，所以，所以.綜上所述，B，C錯(cuò)，A，D正確.故選：AD 9．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”（1）零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量；(        )（2）若是直線l的方向向量，則也是直線l的方向向量；(        )（3）在空間直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)平面Oxy的一個(gè)法向量．(        )【答案】     √     ×     √【詳解】（1）零向量的方向不確定，所以不能作為直線的方向向量和平面的法向量，正確；（2）當(dāng)時(shí)，，所以不一定是直線l的方向向量，不正確；（3）在空間直角坐標(biāo)系中，，平面Oxy，所以是坐標(biāo)平面Oxy的一個(gè)法向量，正確．10．已知平面，寫出平面的一個(gè)法向量______．【答案】（答案不唯一）【詳解】設(shè)法向量為，則有，令得：，所以故答案為： 11．放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出： （1）直線BC的一個(gè)方向向量___________；（2）點(diǎn)OD的一個(gè)方向向量___________；（3）平面BHD的一個(gè)法向量___________；（4）的重心坐標(biāo)___________.【答案】                    【詳解】由題意可得：,,..由圖示，可得：，，，，，，（1）直線BC的一個(gè)方向向量為，（2）點(diǎn)OD的一個(gè)方向向量為；（3）,.設(shè)為平面BHD的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)，則.故平面BHD的一個(gè)法向量為.（4）因?yàn)?/span>，，，，所以的重心坐標(biāo)為.故答案為：（1）；（2）；（3）（4）. 12．如圖，已知長方體中，，，，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求直線與AC的方向向量．【答案】（答案不唯一）【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，故，所以直線與AC的方向向量分別為.13．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，平行于向量，直線經(jīng)過點(diǎn)，平行于向量，求與兩直線，都平行的平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)．【答案】（不唯一）【詳解】由題設(shè)，直線、的方向向量分別為、，而，所以直線、不平行，設(shè)與兩直線，都平行的平面的一個(gè)法向量，所以，令，則.故與兩直線，都平行的平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo). 14．如圖，已知平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，求平面的法向量．【答案】（結(jié)果不唯一）【詳解】不妨設(shè)平面的法向量，又，故可得，即，不妨取，故可得，故平面的一個(gè)法向量為.又平面的法向量不唯一，只要與向量平行且非零的向量均可.故答案為：.（結(jié)果不唯一） 15．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD．(1)分別指出平面PAD、平面PAB的一個(gè)法向量；(2)若，試在圖中作出平面PDC的一個(gè)法向量；(3)是否有可能是直角三角形？(4)根據(jù)法向量判斷平面PBC與平面PDC是否有可能垂直．【詳解】(1)平面平面平面，，又平面平面，平面，即是平面的一個(gè)法向量.同理，可證得平面是平面的一個(gè)法向量；(2)取的中點(diǎn)，連接，則.在矩形中，∥，由(1)知平面，平面平面，.又平面平面，平面，即是平面的一個(gè)法向量；(3)不妨設(shè)，則結(jié)合已知可得，根據(jù)余弦定理可得：，，同理，；，，即不可能是直角三角形；(4)由(1)知所在直線兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，以所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，令，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，則設(shè)平面的法向量為，則，，取，則；，與不可能垂直，即平面與平面不可能垂直.

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