人教A版 (2019)選擇性必修第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用第一課時導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1.
[問題] (1)怎樣借助空間向量來表示空間點A，B，C，D，A1，B1，C1，D1?
(2)設(shè)eq \(AB,\s\up6(―→))＝v，如果只借助v，能不能確定直線AB在空間中的位置？
(3)一般地，怎樣借助空間向量來刻畫空間中點和直線的位置？

知識點空間中點、直線和平面的向量表示
1．空間直線的向量表示式
如圖，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋ta＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋teq \(AB,\s\up6(―→))．
2．空間平面的向量表示式
如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋xeq \(AB,\s\up6(―→))＋yeq \(AC,\s\up6(―→))．
3．平面的法向量
直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則a叫做平面α的法向量．過空間點A，且以向量a為法向量的平面α，可以用集合表示為{P|a·eq \(AP,\s\up6(―→))＝0}．
1．空間中給定一個點A和一個方向向量能唯一確定一條直線嗎？
提示：能．
2．一個定點和兩個定方向向量能否確定一個平面？
提示：不一定，若兩個定方向向量共線時不能確定，若兩個定方向向量不共線能確定．
1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)直線l的方向向量是唯一的．( )
(2)若點A，B是平面α上的任意兩點，n是平面α的法向量，則eq \(AB,\s\up6(―→))·n＝0.( )
(3)由空間點A和直線l的方向向量能表示直線上的任意一點．( )
(4)空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直線l上，則直線l的一個方向向量為( )
A．(2，1，1) B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1) D．(2，1，－1)
解析：選B ∵eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－1，1，1)，而與eq \(AB,\s\up6(―→))共線的非零向量都可以作為直線l的方向向量，故選B.
3．已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，則平面ABC的一個法向量為( )
A．(0，1，－1) B．(－1，0，1)
C．(1，1，1) D．(－1，0，0)
解析：選A 設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，由eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－1，0，0)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(1，－1，－1)，可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(―→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(―→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＝0，,x－y－z＝0，))
取y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝(0，1，－1)．
[例1] (1)已知直線l的一個方向向量m＝(2，－1，3)，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點，則y－z等于( )
A．0 B．1
C.eq \f(3,2) D．3
(2)在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD-A1B1C1D1為正方體，棱長為1，則直線DD1的一個方向向量為________，直線BC1的一個方向向量為________．
[解析] (1)∵A(0，y，3)和
B(－1，2，z)，∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－1，2－y，z－3)，
∵直線l的一個方向向量為m＝(2，－1，3)，
故設(shè)eq \(AB,\s\up6(―→))＝km.
∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.
解得k＝－eq \f(1,2)，y＝z＝eq \f(3,2).
∴y－z＝0.
(2)∵DD1∥AA1，eq \(AA1,\s\up6(―→))＝(0，0，1)，
∴直線DD1的一個方向向量為(0，0，1)；
∵BC1∥AD1，eq \(AD1,\s\up6(―→))＝(0，1，1)，
∴直線BC1的一個方向向量為(0，1，1)．
[答案] (1)A (2)(0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一)
eq \a\vs4\al()
求直線的方向向量關(guān)鍵是找到直線上兩點，用所給的基向量表示以兩點為起點和終點的向量，其難點是向量的運(yùn)算．
[跟蹤訓(xùn)練]
1．(多選)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直線l上，則直線l的一個方向向量是( )
A．(2，2，6) B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
解析：選AB ∵M(jìn)，N在直線l上，且eq \(MN,\s\up6(―→))＝(1，1，3)，
故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直線l的一個方向向量．
2．從點A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取線段長|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝34，則B點的坐標(biāo)為( )
A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(7,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(11,2)，13))
解析：選A 設(shè)B點坐標(biāo)為(x，y，z)，則eq \(AB,\s\up6(―→))＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因為|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝34，
即eq \r(64λ2＋81λ2＋144λ2)＝34，得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
[例2] (鏈接教科書第28頁例1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，G，E，F(xiàn)分別為AA1，AB，BC的中點，求平面GEF的一個法向量．
[解] 如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，
∴eq \(GE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－\f(1,2)))，
eq \(FE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0)).
設(shè)平面GEF的法向量為n＝(x，y，z)．
由n⊥eq \(GE,\s\up6(―→))，n⊥eq \(FE,\s\up6(―→))，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(GE,\s\up6(―→))＝\f(1,2)y－\f(1,2)z＝0，,n·\(FE,\s\up6(―→))＝\f(1,2)x－\f(1,2)y＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z＝y(tǒng)，,x＝y(tǒng).))
取y＝1，可得平面GEF的一個法向量為n＝(1，1，1)．
eq \a\vs4\al()
利用待定系數(shù)法求法向量的步驟

[跟蹤訓(xùn)練]
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中點，O為底面ABCD的中心，求證：eq \(OB1,\s\up6(―→))是平面PAC的一個法向量．
證明：如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)正方體的棱長為2，則A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)，
∴eq \(OB1,\s\up6(―→))＝(1，1，2)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－2，2，0)，eq \(AP,\s\up6(―→))＝(－2，0，1)，
∴eq \(OB1,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝－2＋2＝0，eq \(OB1,\s\up6(―→))·eq \(AP,\s\up6(―→))＝－2＋2＝0，
∴eq \(OB1,\s\up6(―→))⊥eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(OB1,\s\up6(―→))⊥eq \(AP,\s\up6(―→))，∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.
∵AC∩AP＝A，AC?平面PAC，AP?平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
∴eq \(OB1,\s\up6(―→))是平面PAC的一個法向量.
[例3] 已知點A(2，4，0)，B(1，3，3)，如圖，以eq \(AB,\s\up6(―→))的方向為正向，在直線AB上建立一條數(shù)軸，P，Q為軸上的兩點，且分別滿足條件：
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝2∶1.
求點P和點Q的坐標(biāo)．
[解] 由已知，得eq \(PB,\s\up6(―→))＝2eq \(AP,\s\up6(―→))，即eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OP,\s\up6(―→))＝2(eq \(OP,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→)))，eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(―→)).設(shè)點P坐標(biāo)為(x，y，z)，則上式換用坐標(biāo)表示，得(x，y，z)＝eq \f(2,3)(2，4，0)＋eq \f(1,3)(1，3，3)，即x＝eq \f(4,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,3)，y＝eq \f(8,3)＋eq \f(3,3)＝eq \f(11,3)，z＝0＋1＝1.因此，P點的坐標(biāo)是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(11,3)，1)).
因為AQ∶QB＝2∶1，所以eq \(AQ,\s\up6(―→))＝－2eq \(QB,\s\up6(―→))，eq \(OQ,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))＝－2(eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OQ,\s\up6(―→)))，eq \(OQ,\s\up6(―→))＝－eq \(OA,\s\up6(―→))＋2eq \(OB,\s\up6(―→)).設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x′，y′，z′)，則上式換用坐標(biāo)表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q點的坐標(biāo)是(0，2，6)．
eq \a\vs4\al()
求空間中點的坐標(biāo)，一般要根據(jù)具體的題目條件恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)向量式列出方程組，把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，解方程組可得點的坐標(biāo)．
[跟蹤訓(xùn)練]
已知點A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C為線段AB上一點且eq \f(|\(AC,\s\up6(―→))|,|\(AB,\s\up6(―→))|)＝eq \f(1,3)，則點C的坐標(biāo)為________．
解析：設(shè)C(x，y，z)，∵C為線段AB上一點且eq \f(|\(AC,\s\up6(―→))|,|\(AB,\s\up6(―→))|)＝eq \f(1,3)，∴eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(―→))，即(x－4，y－1，z－3)＝eq \f(1,3)(－2，－6，－2)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4＝－\f(2,3)，,y－1＝－2，,z－3＝－\f(2,3)，))∴x＝eq \f(10,3)，y＝－1，z＝eq \f(7,3).
因此點C的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，－1，\f(7,3))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，－1，\f(7,3)))
1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為( )
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
解析：選A 因為eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2，4，6)，所以(1，2，3)是直線l的一個方向向量．
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
解析：選D 易知D中的向量與n共線．
3．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(5,8)))是平面α內(nèi)的三點，設(shè)平面α的法向量a＝(x，y，z)，則x∶y∶z＝________．
解析：∵Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(5,8)))，
∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，－\f(7,4)))，eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－1，－\f(7,4))).
又∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·\(AB,\s\up6(―→))＝0，,a·\(AC,\s\up6(―→))＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y－\f(7,4)z＝0，,－2x－y－\f(7,4)z＝0.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)y，,z＝－\f(4,3)y，))
∴x∶y∶z＝eq \f(2,3)y∶y∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)y))＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶－4
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀
核心素養(yǎng)
1.能用向量語言表述直線和平面
數(shù)學(xué)抽象
2.理解直線的方向向量與平面的法向量
數(shù)學(xué)抽象
3.會求直線的方向向量與平面的法向量
數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象
直線的方向向量
求平面的法向量
確定空間中點的位置

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