導(dǎo)語(yǔ)
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了雙曲線的幾何性質(zhì)，熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是解答雙曲線基本問(wèn)題的法寶，這節(jié)課我們將在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，并運(yùn)用它們解決有關(guān)直線與雙曲線的綜合問(wèn)題．
一、雙曲線定義的應(yīng)用
問(wèn)題1 思考雙曲線例5與橢圓一節(jié)中的例6比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？
提示 當(dāng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比值大于1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．
知識(shí)梳理
雙曲線的第二定義：當(dāng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e＝eq \f(c,a)(e>1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線．
二、直線與雙曲線的位置關(guān)系
問(wèn)題2 類比直線與橢圓的位置關(guān)系可知直線與雙曲線有幾種位置關(guān)系？
提示 有三種位置關(guān)系，分別為相交、相切、相離三種情況．
知識(shí)梳理
把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過(guò)消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．
(1)Δ>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．
(2)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(3)Δ0，,1－k2≠0，))得－eq \f(2\r(3),3)0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
答案 A
解析 由題意，雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
可得其漸近線方程為y＝eq \f(b,a)x，
因?yàn)橹本€y＝eq \f(b,a)x＋3與雙曲線的一條漸近線y＝eq \f(b,a)x平行，
所以它與雙曲線只有1個(gè)交點(diǎn)．
2．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )
A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2]
答案 A
解析 易知k≠±2，將y＝kx代入4x2－y2＝16得關(guān)于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－20，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則a＝________.
答案 2
解析 設(shè)B為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖所示．∵四邊形OABC為正方形且邊長(zhǎng)為2，
∴c＝|OB|＝2eq \r(2).
又∠AOB＝eq \f(π,4)，
∴eq \f(b,a)＝tan eq \f(π,4)＝1，即a＝b.
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
9．設(shè)A，B為雙曲線x2－eq \f(y2,2)＝1上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1,2)．求：
(1)直線AB的方程；
(2)△OAB的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．
解 (1)顯然直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2－k，,x2－\f(y2,2)＝1，))
消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則1＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(k?2－k?,2－k2)(2－k2≠0)，解得k＝1.
當(dāng)k＝1時(shí)，滿足Δ>0，
∴直線AB的方程為y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝eq \r(2)·eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)
＝eq \r(2)×eq \r(4＋12)＝4eq \r(2).
又點(diǎn)O到直線AB的距離d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.
10．已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)A，B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長(zhǎng)．
解 雙曲線方程可化為x2－eq \f(y2,3)＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2,0)，
又直線l的傾斜角為45°，
∴直線l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直線l的方程為y＝x－2，
代入雙曲線方程，得2x2＋4x－7＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－eq \f(7,2)0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則eq \f(x\\al(2,1),a2)－eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，①
eq \f(x\\al(2,2),a2)－eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，②
x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，
由①②得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4b2,5a2)，從而eq \f(4b2,5a2)＝1，
又因?yàn)閍2＋b2＝c2＝9，
故a2＝4，b2＝5，所以E的方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
12．設(shè)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過(guò)F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線方程為( )
A．y＝±eq \f(1,2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x
C．y＝±x D．y＝±eq \r(2)x
答案 C
解析 設(shè)雙曲線的半焦距為c，
則F(c,0)，將x＝c代入雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
得y＝±eq \f(b2,a)，不妨取Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，
又A1(－a,0)，A2(a,0)，
故＝eq \f(－\f(b2,a),c＋a)＝－eq \f(b2,a?a＋c?)，＝eq \f(\f(b2,a),c－a)＝eq \f(b2,a?c－a?).
因?yàn)锳1B⊥A2C，
故－eq \f(b2,a?a＋c?)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(b2,a?c－a?)))＝－1，
即eq \f(b4,a2?c2－a2?)＝1，即eq \f(b4,a2b2)＝1，
所以a＝b，故漸近線方程是y＝±eq \f(b,a)x＝±x.
13．設(shè)雙曲線eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為_(kāi)_______．
答案 eq \f(32,15)
解析 雙曲線eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)A(3,0)，右焦點(diǎn)F(5,0)，漸近線方程為y＝±eq \f(4,3)x.不妨設(shè)直線FB的方程為y＝eq \f(4,3)(x－5)，代入雙曲線方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝eq \f(17,5)，y＝－eq \f(32,15)，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).
∴S△AFB＝eq \f(1,2)|AF||yB|＝eq \f(1,2)(c－a)·|yB|＝eq \f(1,2)×(5－3)×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
14．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝eq \r(2)x，過(guò)其左焦點(diǎn)F(－eq \r(3)，0)作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，則截得的弦長(zhǎng)|AB|＝____.
答案 10
解析 ∵雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝eq \r(2)x，
∴eq \f(b,a)＝eq \r(2)，即b＝eq \r(2)a，
∵左焦點(diǎn)F(－eq \r(3)，0)，∴c＝eq \r(3)，
∴c2＝a2＋b2＝3a2＝3，
∴a2＝1，b2＝2，
∴雙曲線方程為x2－eq \f(y2,2)＝1，直線l的方程為y＝2(x＋eq \r(3))，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2?x＋\r(3)?，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y可得x2＋4eq \r(3)x＋7＝0，
∴x1＋x2＝－4eq \r(3)，x1x2＝7，
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq \r(1＋4)×eq \r(48－28)＝eq \r(5)·eq \r(20)＝10.
15．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，若r1＝2r2，則直線l的斜率為( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
答案 D
解析 設(shè)△AF1F2的內(nèi)切圓圓心為I1，
△BF1F2的內(nèi)切圓圓心為I2，邊|AF1|，|AF2|，|F1F2|上的切點(diǎn)分別為M，N，E，
易知I1，E的橫坐標(biāo)相等，
則|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，
由|AF1|－|AF2|＝2a，即|AM|＋|MF1|－(|AN|＋|NF2|)＝2a，
得|MF1|－|NF2|＝2a，即|F1E|－|F2E|＝2a，
記I1的橫坐標(biāo)為x0，則E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a，
同理圓心I2的橫坐標(biāo)也為a，則有I1I2⊥x軸，
設(shè)直線l的傾斜角為θ，
則∠OF2I2＝eq \f(θ,2)，∠I1F2O＝90°－eq \f(θ,2)，
則tan eq \f(θ,2)＝eq \f(r2,|F2E|)，tan∠I1F2O＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(θ,2)))＝eq \f(1,tan \f(θ,2))＝eq \f(r1,|F2E|)，
∵r1＝2r2，∴tan2eq \f(θ,2)＝eq \f(1,2)，
即tan eq \f(θ,2)＝eq \f(\r(2),2).∴tan θ＝eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝2eq \r(2).
16．設(shè)A，B分別為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4eq \r(3)，焦點(diǎn)到漸近線的距離為eq \r(3).
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線y＝eq \f(\r(3),3)x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．
解 (1)由題意知a＝2eq \r(3).
∴一條漸近線為y＝eq \f(b,2\r(3))x，即bx－2eq \r(3)y＝0.
∴eq \f(|bc|,\r(b2＋12))＝eq \r(3).
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，
∴b2＝3.
∴雙曲線的方程為eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
將直線方程代入雙曲線方程得x2－16eq \r(3)x＋84＝0.
則x1＋x2＝16eq \r(3)，y1＋y2＝12.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\\al(2,0),12)－\f(y\\al(2,0),3)＝1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))
由eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，
得(16eq \r(3)，12)＝(4eq \r(3)t,3t)．
∴t＝4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4eq \r(3)，3)．

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3.2 雙曲線

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