導(dǎo)語(yǔ)
雙曲線是我們?cè)谄綍r(shí)生活中經(jīng)常見(jiàn)到的圖形，這節(jié)課研究雙曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用．
一、雙曲線定義的應(yīng)用
例1 已知A(－4,0)，B是圓(x－1)2＋(y－4)2＝1上的點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1的右支上，則|PA|＋|PB|的最小值為( )
A．9 B．2eq \r(5)＋6
C．10 D．12
答案 C
解析 設(shè)點(diǎn)C(1,4)，點(diǎn)B在圓上，則|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，
由點(diǎn)P在雙曲線右支上，點(diǎn)A為雙曲線左焦點(diǎn)，
設(shè)A′為雙曲線右焦點(diǎn)，
所以由雙曲線定義知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10.
反思感悟 求解與雙曲線有關(guān)的長(zhǎng)度和最值問(wèn)題，都可以通過(guò)相應(yīng)的雙曲線的定義去解決．
跟蹤訓(xùn)練1 已知定點(diǎn)A(3,1)，F(xiàn)是雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最小值為( )
A.eq \r(2) B．5eq \r(2)＋4 C．5eq \r(2)－4 D.eq \r(2)＋4
答案 C
解析 設(shè)F1是雙曲線的左焦點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線的定義及P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)可得|PF1|－|PF|＝2a，
所以|PF|＝|PF1|－2a，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，
結(jié)合圖形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝eq \r([3－?－4?]2＋?1－0?2)＝5eq \r(2)，
當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)，即圖形中點(diǎn)P在P′處取得最小值，
所以|PA|＋|PF1|－4≥5eq \r(2)－4，所以|PA|＋|PF|的最小值為5eq \r(2)－4.
二、雙曲線方程的設(shè)法
例2 已知雙曲線eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.
(1)若點(diǎn)M在雙曲線上，且eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，求M點(diǎn)到x軸的距離；
(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3eq \r(2)，2)，求雙曲線C的方程．
解 (1)如圖所示，不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，
則MF1⊥MF2，
設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由雙曲線定義，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴eq \f(1,2)mn＝4＝eq \f(1,2)|F1F2|·h，
∴h＝eq \f(2\r(5),5).
(2)設(shè)所求雙曲線C的方程為eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－40)有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程為eq \f(x2,a2＋λ)－eq \f(y2,b2－λ)＝1(－a20)有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程為eq \f(y2,a2＋λ)－eq \f(x2,b2－λ)＝1(－a20)．
則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝6，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝5，,b2＝1，))
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,5)－y2＝1.
方法二 ∵焦點(diǎn)在x軸上，c＝eq \r(6)，
∴設(shè)所求雙曲線方程為eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,6－λ)＝1(其中00)．
根據(jù)題意知C(3，eq \r(3))，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2eq \r(7)－2.
當(dāng)A，M，C共線時(shí)等號(hào)成立．
1．知識(shí)清單：
(1)雙曲線定義的應(yīng)用．
(2)雙曲線方程的求法．
(3)雙曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用．
2．方法歸納：轉(zhuǎn)化法．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：雙曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用中，建模容易出錯(cuò)．
1．如圖，雙曲線C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,10)＝1的左焦點(diǎn)為F1，雙曲線上的點(diǎn)P1與P2關(guān)于y軸對(duì)稱，則|P2F1|－|P1F1|的值是( )
A．3 B．4 C．6 D．8
答案 C
解析 如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，連接P2F2，因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)P1與P2關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可得|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
2．相距4k千米的A，B兩地，聽(tīng)到炮彈爆炸的時(shí)間相差2秒，若聲速每秒k千米，則炮彈爆炸點(diǎn)P的軌跡可能是( )
A．雙曲線的一支 B．雙曲線
C．橢圓 D．拋物線
答案 B
解析 由已知可得||PA|－|PB||＝2k0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝9，,\f(10,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝5，,b2＝4.))
所以雙曲線的方程為eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1.
方法二 設(shè)雙曲線的方程為eq \f(x2,16＋λ)＋eq \f(y2,25＋λ)＝1(－250)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若雙曲線上存在點(diǎn)A使得∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝2|AF2|＝4，則雙曲線的方程為( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
答案 A
解析 由題意，根據(jù)雙曲線的定義及|AF1|＝2|AF2|＝4，
可得|AF1|－|AF2|＝2＝2a，解得a＝1，
因?yàn)椤螰1AF2＝90°，
所以|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝20，
即(2c)2＝20，即c2＝5，
又b2＋a2＝c2，則b2＝c2－a2＝4，
所以雙曲線的方程為x2－eq \f(y2,4)＝1.
3．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)分別為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5,0)，P為C上一點(diǎn)，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq \f(3,4)，則C的方程為( )
A．x2－eq \f(y2,24)＝1 B.eq \f(x2,24)－y2＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
答案 A
解析 ∵F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，
∴c＝5，|F1F2|＝10，
∵PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq \f(3,4)，
∴cs∠PF1F2＝eq \f(4,5)＝eq \f(|PF1|,|F1F2|)，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
由雙曲線的定義可知，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，
∴a＝1，
∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.
∴雙曲線的方程為x2－eq \f(y2,24)＝1.
4．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－eq \r(5)，0)，點(diǎn)P在雙曲線上，且線段PF1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，則此雙曲線的方程是( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
答案 B
解析 由已知條件，得焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝5.①
∵線段PF1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq \r(5)，4)，將其代入雙曲線的方程，
得eq \f(5,a2)－eq \f(16,b2)＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，
∴雙曲線的方程為x2－eq \f(y2,4)＝1.
5．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－eq \r(10)，0)，F(xiàn)2(eq \r(10)，0)，M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足eq \(MF,\s\up6(→))1·
eq \(MF,\s\up6(→))2＝0，|eq \(MF,\s\up6(→))1|·|eq \(MF,\s\up6(→))2|＝2，則該雙曲線的方程是( )
A.eq \f(x2,9)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,7)＝1 D.eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1
答案 A
解析 ∵eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))⊥eq \(MF2,\s\up6(→))，即MF1⊥MF2，
∴|MF1|2＋|MF2|2＝40.
則(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36.
∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，即a＝3.
∵c＝eq \r(10)，∴b2＝c2－a2＝1.
則該雙曲線的方程是eq \f(x2,9)－y2＝1.
6．已知點(diǎn)P在曲線C1：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的右支上，點(diǎn)Q在曲線C2：(x＋5)2＋y2＝1上，點(diǎn)R在曲線C3：(x－5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案 C
解析 雙曲線eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(－5,0)與F2(5,0)，且|PF1|－|PF2|＝8，
而這兩個(gè)焦點(diǎn)恰好是兩圓(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝1的圓心，
且兩圓的半徑分別是r2＝1，r3＝1，
所以|PQ|max＝|PF1|＋1，|PR|min＝|PF2|－1，
所以|PQ|－|PR|的最大值為(|PF1|＋1)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋2＝8＋2＝10.
7．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(eq \r(5)，0)和(－eq \r(5)，0)，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面積為1，則雙曲線的方程為_(kāi)_________．
答案 eq \f(x2,4)－y2＝1
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|·|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝?2\r(5)?2))
?(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝eq \r(5)，所以b＝1，
故雙曲線的方程為eq \f(x2,4)－y2＝1.
8．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且|PF1|＝2|PF2|，則cs ∠F1PF2＝________.
答案 eq \f(3,4)
解析 由雙曲線定義知，|PF1|－|PF2|＝2eq \r(2)，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2eq \r(2)，|PF1|＝4eq \r(2)，|F1F2|＝2c＝2eq \r(a2＋b2)＝4.
∴cs ∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(32＋8－16,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(3,4).
9．已知與雙曲線eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共焦點(diǎn)的雙曲線過(guò)點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解 已知雙曲線eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，
則c2＝16＋9＝25，
∴c＝5.
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
依題意知b2＝25－a2，
故所求雙曲線方程可寫(xiě)為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,25－a2)＝1.
∵點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))在所求雙曲線上，
∴eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)))2,a2)－eq \f(?－\r(6)?2,25－a2)＝1，
化簡(jiǎn)得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝eq \f(125,4).
當(dāng)a2＝eq \f(125,4)時(shí)，b2＝25－a2＝25－eq \f(125,4)＝－eq \f(25,4)＜0，不符合題意，舍去，
∴a2＝1，b2＝24，
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq \f(y2,24)＝1.
10.2008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震，為了援救災(zāi)民，某部隊(duì)在如圖所示的P處空降了一批救災(zāi)藥品，要把這批藥品沿道路PA，PB送到矩形災(zāi)民區(qū)ABCD中去，若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，試在災(zāi)民區(qū)中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路PA送藥較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路PB送藥較近，請(qǐng)說(shuō)明這一界線是一條什么曲線？并求出其方程．
解 矩形災(zāi)民區(qū)ABCD中的點(diǎn)可分為三類，第一類沿道路PA送藥較近，
第二類沿道路PB送藥較近，第三類沿道路PA和PB送藥一樣遠(yuǎn)近，
依題意知，界線是第三類點(diǎn)的軌跡，
設(shè)M為界線上的任一點(diǎn)，則|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50，
∴界線是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支的一部分，
如圖，以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)所求雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∵a＝25,2c＝|AB|＝eq \r(1002＋1502－2×100×150×cs 60°)＝50eq \r(7)，
∴c＝25eq \r(7)，b2＝c2－a2＝3 750，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1，
注意到點(diǎn)C的坐標(biāo)為(25eq \r(7)，60)，故y的最大值為60，此時(shí)x＝35，
故界線的曲線方程為eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1(25≤x≤35，y>0)．
11．若雙曲線eq \f(x2,n)－y2＝1(n>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，則△PF1F2的面積為( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 A
解析 設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
則|PF1|－|PF2|＝2eq \r(n)，
已知|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，
解得|PF1|＝eq \r(n＋2)＋eq \r(n)，|PF2|＝eq \r(n＋2)－eq \r(n)，
|PF1|·|PF2|＝2.
又|F1F2|＝2eq \r(n＋1)，
則|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2為直角三角形，∠F1PF2＝90°，
∴＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×2＝1.
12．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上．已知雙曲線C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線射向C上的點(diǎn)P(8，y0)后，被C反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是( )
A.eq \f(13,14) B．－eq \f(11,14) C.eq \f(11,14) D．－eq \f(13,14)
答案 C
解析 設(shè)P(8，y0)在第一象限，eq \f(64,16)－eq \f(y\\al(2,0),9)＝1?y0＝3eq \r(3)，
|PF2|＝eq \r(?8－5?2＋?3\r(3)?2)＝6，
|PF1|＝6＋8＝14，|F1F2|＝10，cs∠F1PF2＝eq \f(142＋62－102,2×14×6)＝eq \f(11,14).
13．已知A(－3,0)，B是圓x2＋(y－4)2＝1上的點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的右支上，則|PA|＋|PB|的最小值為( )
A．9 B．2eq \r(5)＋4 C．8 D．7
答案 C
解析 如圖所示，設(shè)圓心為C，雙曲線右焦點(diǎn)為A′(3,0)，且|PB|≥|PC|－1，|PA|＝|PA′|＋4，
所以|PB|＋|PA|≥|PC|＋|PA′|＋3≥|A′C|＋3＝8，當(dāng)且僅當(dāng)A′，B，C三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)．
14.一塊面積為12公頃的三角形形狀的農(nóng)場(chǎng)，如圖所示，在△PEF中，已知tan∠PEF＝eq \f(1,2)，tan∠PFE＝－2，試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出分別以E，F(xiàn)為左、右焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程為_(kāi)______________．
答案 eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
解析 以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
焦點(diǎn)為E(－c,0)，F(xiàn)(c,0)．
由tan∠PEF＝eq \f(1,2)，tan∠EFP＝－2，
設(shè)∠PFx＝α，則tan α＝tan(π－∠EFP)＝2，
得直線PE和直線PF的方程分別為y＝eq \f(1,2)(x＋c)①
和y＝2(x－c)．②
將①②聯(lián)立，解得x＝eq \f(5,3)c，y＝eq \f(4,3)c，
即P點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c，\f(4,3)c)).
在△EFP中，|EF|＝2c，EF上的高為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，
由題設(shè)條件S△EFP＝eq \f(4,3)c2＝12，
∴c＝3，即P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4)．
由兩點(diǎn)間的距離公式|PE|＝eq \r(?5＋3?2＋42)＝4eq \r(5)，|PF|＝eq \r(?5－3?2＋42)＝2eq \r(5)，|PE|－|PF|＝2a，
∴a＝eq \r(5)，
又b2＝c2－a2＝4，
故所求雙曲線的方程為eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1.
15.光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射．已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出；如圖，橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C′：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過(guò)2k(k∈N*)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．
答案 2k(a－m)
解析 光線從左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)橢圓反射要回到另一個(gè)焦點(diǎn)，光線從雙曲線的左焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，
|BF2|＝2m＋|BF1|，
|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，
所以光線經(jīng)過(guò)2k(k∈N*)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2k(a－m)．
16．已知△OFQ的面積為2eq \r(6)，且eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝m，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)設(shè)eq \r(6)

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.2 雙曲線

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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