2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系同步練習(xí)北師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分）設(shè)一元二次方程的兩根為、，則的值為A.  B.  C.  D. 關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是A. 當(dāng)時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)
B. 當(dāng)時(shí)，方程的根是
C. 若方程有實(shí)數(shù)根，則且
D. 若方程有實(shí)數(shù)根，則若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是A.  B. ，且
C. ，且 D. 設(shè)，是一元二次方程的兩根，則的值為A. 6 B. 8 C. 14 D. 16若和為一元二次方程的兩個(gè)根．則值為A.  B. 2 C. 4 D. 3若方程沒有實(shí)數(shù)根，則k的值可以為A. 1 B. 0 C.  D. 已知關(guān)于x的一元二次方程，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 沒有實(shí)數(shù)根 D. 實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)b的取值有關(guān)已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則二次項(xiàng)系數(shù)a的取值范圍是A.  B.  C. 且 D. 且已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是A.  B.  C.  D. 下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是A.  B.
C.  D. 下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是A.  B.
C.  D. 下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是A.  B.
C.  D. 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______．關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為______．已知，是一元二次方程的兩根，則______．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是______．三、解答題（本大題共9小題，共72.0分）定義：若一元二次方程滿足則稱該方程為“和諧方程”．
下列屬于和諧方程的是______；
；；．
求證：和諧方程總有實(shí)數(shù)根；
已知：一元二次方程為“和諧方程”，若該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求a，c的數(shù)量關(guān)系．






 關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)。求m的值。求此時(shí)方程的根。






 已知關(guān)于x的方程．
求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長的等腰三角形的周長．






 已知關(guān)于x的一元二次方程．
求證：該一元二次方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
若是方程的一個(gè)根，求m的值和另一個(gè)根．






 已知關(guān)于x的一元二次方程．求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；若等腰三角形的一邊長為4，另兩邊長恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此時(shí)的k值．






 已知關(guān)于x的一元二次方程：有實(shí)數(shù)解．
求m的取值范圍；
當(dāng)m取滿足條件的最大整數(shù)時(shí)，求原方程的解．






 解方程，這是一個(gè)四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?/span>，
解得，．
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，．
原方程有四個(gè)根：，，，．
以上方法叫做換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．運(yùn)用該方法解下列方程：
．
直角三角形中兩條直角邊分別為a，b，且滿足，求這個(gè)直角三角形的斜邊長．






 已知一元二次方程的兩根為，求值：
；
；







 已知關(guān)于x的一元二次方程．
求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：
若是原方程的兩根，且，求m的值，并求出此時(shí)方程的兩根．







答案和解析1.【答案】A
 【解析】解：一元二次方程的兩根為、，
．
故選：A．
由于一元二次方程的兩根為、，直接利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，比較簡(jiǎn)單，直接利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題．
 2.【答案】D
 【解析】解：若，則此方程為，所以方程有實(shí)數(shù)根為，則B錯(cuò)誤；
若，則此方程是一元二次方程，由于方程有實(shí)數(shù)根，
，
且；
綜上所述k的取值范圍是．
故A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確．
故選：D．
因?yàn)橐阎獩]有明確此方程是否是一個(gè)一元二次方程，所以方程有兩種情況，既可以是一元一次方程，也可以一元二次方程，所以分兩種情況分別去求k的取值范圍，然后結(jié)合選項(xiàng)判斷選擇什么．
本題首先應(yīng)該分類討論，然后利用根的判別式及不等式來解決問題．
 3.【答案】C
 【解析】解：由題意可知：，
，
，
且，
故選：C．
根據(jù)根的判別式即可求出答案．
本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 4.【答案】C
 【解析】解：，是一元二次方程的兩根，
，
原式


故選：C．
由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 5.【答案】B
 【解析】解：，是一元二次方程的兩個(gè)根，
，，
．
故選：B．
先根據(jù)方程求出兩根之和與兩根之積的值，然后再根據(jù)，代入求值．
此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
 6.【答案】D
 【解析】解：由題意可知：，
，
故選：D．
根據(jù)根的0判別式即可求出答案．
本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 7.【答案】A
 【解析】【分析】
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
先計(jì)算出判別式的值，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷，然后利用判別式的意義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】
解：，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．  8.【答案】D
 【解析】解：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，且，
解得：且，
故選：D．
由關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可得判別式且二次項(xiàng)系數(shù)，繼而可求得a的范圍．
此題考查了一元二次方程根的判別式的知識(shí)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可得．
 9.【答案】B
 【解析】解：根據(jù)題意得，，
解得：，
故選：B．
由方程有實(shí)數(shù)根即，從而得出關(guān)于m的不等式，解之可得．
本題主要考查根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根與判別式間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】C
 【解析】解：A、這里，，，
，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不合題意；
B、這里，，，
，
方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不合題意；
C、這里，，，
，
方程沒有實(shí)數(shù)根，符合題意；
D、方程即為，這里，，，
，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不合題意；
故選：C．
找出各選項(xiàng)中的a，b及c的值，計(jì)算出根的判別式的值，當(dāng)根的判別式的值小于0時(shí)滿足題意．
本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
 11.【答案】D
 【解析】解：，故選項(xiàng)A有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
，故選項(xiàng)B有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；
，故選項(xiàng)C有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
，故選項(xiàng)D有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
故選：D．
根據(jù)判別式即可求出答案．
本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 12.【答案】D
 【解析】解：A、中或，錯(cuò)誤；
B、中，錯(cuò)誤；
C、中，錯(cuò)誤；
D、即，方程無實(shí)數(shù)根，正確；
故選：D．
分別求出每個(gè)方程的根即可判斷．
本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．
 13.【答案】且
 【解析】解：一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
且，
解得：且，
故答案為：且．
根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得到且二次項(xiàng)系數(shù)，然后求出兩不等式的公共部分即可．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
 14.【答案】
 【解析】解：根據(jù)題意得，
解得
故答案為．
根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于k的方程即可．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
 15.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握，是方程的兩根時(shí)，，根據(jù)，是方程的兩根時(shí)，得出，代入計(jì)算可得．
【解答】
解：，是一元二次方程的兩根，
，
則，
故答案為：．  16.【答案】且
 【解析】解：由題意可知：，
，
，
且，
故答案為：且
根據(jù)根的判別式與一元二次方程的概念即可求出答案．
本題考查判別式及一元二次方程的概念，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用判別式及一元二次方程的概念，，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 17.【答案】
 【解析】解：屬于和諧方程的是．
故答案為：；
證明：一元二次方程為“和諧方程”，
，


，
和諧方程總有實(shí)數(shù)根；
一元二次方程為“和諧方程”，
，
和諧方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，


，
．
由“和諧”方程的定義即可求解；
由“和諧”方程的定義，可得出“和諧”方程必定有一個(gè)根是1；
根據(jù)是“和諧”方程的定義可找出，結(jié)合方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得a，c的數(shù)量關(guān)系．
本題考查了一元二次方程的解以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)“和諧”方程的定義即可求解；根據(jù)“和諧”方程的定義，找出“和諧”方程必有一根為1；根據(jù)“和諧”方程的定義結(jié)合根的判別式，得到a，c的數(shù)量關(guān)系．
 18.【答案】解：是正整數(shù)，；由知．
 【解析】此題主要考查了根的判別式以及一元二次方程的解法，正確得出m的值是解題關(guān)鍵．
直接利用根的判別式得出m的取值范圍，再根據(jù)m為正整數(shù)即可求出m的值；
把的值代入方程，解方程得出答案即可．
 19.【答案】證明：，
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，，即，
關(guān)于x的方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
解：根據(jù)題意，得
，
解得，，
所以兩根之和
則方程的另一根為3；
當(dāng)該等腰三角形的三邊是1、1、3時(shí)，，不能組成三角形，故此情況不成立；
當(dāng)該等腰三角形的三邊是1、3、3時(shí)，，能組成三角形，；則該三角形的周長為．
綜上所述以此兩根為邊長的等腰三角形的周長為7．
 【解析】本題綜合考查了根的判別式、一元二次方程解的定義，根與系數(shù)的關(guān)系，三角形的三邊關(guān)系，分類討論的數(shù)學(xué)思想．掌握根的判別式和分類討論的數(shù)學(xué)思想是關(guān)鍵．
根據(jù)關(guān)于x的方程的根的判別式的符號(hào)來證明結(jié)論；
根據(jù)一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一根，再分兩種情況討論，根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．
 20.【答案】證明：，
該一元二次方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
解：把代入方程得：
，
解得：，
一元二次方程，
解得或，
方程的另一個(gè)解是．
 【解析】根據(jù)判別式公式得，即可得到答案；
把代入方程得到關(guān)于m的一元一次方程，解之可求m，由此確定一元二次方程為，在求方程的解即可．
本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的根的判別式，會(huì)解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：關(guān)于x的一元二次方程，
，
，
，
無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)三角形的腰長為4時(shí)，設(shè)底邊為a，
是的一根，
，
，
，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，
，
此時(shí)，能夠組成三角形，滿足題意；
當(dāng)?shù)走厼?/span>4時(shí)，
有兩個(gè)相同的根，
，
，
該方程的解為：，
，不能組成三角形，
綜上所述．
 【解析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，也考查了一元二次方程的判別式和等腰三角形的性質(zhì)．
先計(jì)算，整理得到，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)的意義即可得到結(jié)論；
分類討論：當(dāng)三角形的腰長為4時(shí)，設(shè)底邊為a；當(dāng)?shù)走厼?/span>4時(shí)，然后利用判別式求出k的值，然后得出邊長，再利用三角形三邊關(guān)系分析即可．
 22.【答案】解：關(guān)于x的一元二次方程：有實(shí)數(shù)解，
且，
解得且．
故m的取值范圍是且；
取最大的整數(shù)，
，
一元二次方程為，即，
則，
，
方程的解為：，．
 【解析】利用一元二次方程的定義，根的判別式的意義得到且，然后解不等式即可；
先確定m的最大整數(shù)為，則方程化為，然后解方程即可求解．
本題考查了一元二次方程的定義，根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
 23.【答案】解：設(shè)，原方程可變?yōu)?/span>，解得，，
當(dāng)時(shí)，，
即，解得，；
當(dāng)時(shí)，，即，，方程沒有實(shí)數(shù)解；
所以原方程的根為：，；

設(shè)斜邊為c，
，b是一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長，
，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
，
，
解得：或舍去．
則直角三角形的斜邊長為．
 【解析】設(shè)，原方程可變?yōu)?/span>，解得，，則原方程轉(zhuǎn)化為和，然后解兩個(gè)一元二次方程即可；
設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理代入方程求解即可．
本題考查了換元法解一元二次方程．解決此題的關(guān)鍵是用換元法解方程要注意驗(yàn)根．
 24.【答案】解：一元二次方程的兩根為，，
，，
；
；
．
 【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，
變形為，整體代入計(jì)算可得；
變形為，整體代入計(jì)算可得；
變形為，整體代入計(jì)算可得．
本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握，是方程的兩根時(shí)，，．
 25.【答案】證明：，
，
無論m取何值，恒大于0，
原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
解：，是原方程的兩根，
，，
，
，
，
，
，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，原方程化為：，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，原方程化為：，
解得：，．
 【解析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式．一元二次方程a，b，c為常數(shù)的根的判別式當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程的根的判別式的符號(hào)來判定該方程的根的情況；
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得，；然后由已知條件“”可以求得，從而列出關(guān)于m的方程，通過解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程．
 

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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)電子課本

5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

版本： 北師大版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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