單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(三)(第三章)(120分鐘　150分)一、單選題(每小題5分，共40分)1．若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4，0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則P點(diǎn)的軌跡方程是(　　)A．y2＝－16x　    B．y2＝－32xC．y2＝16x　    D．y2＝32【解析】選C.因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)(4，0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，所以將直線x＋5＝0右移1個(gè)單位，得直線x＋4＝0，即x＝－4，易知點(diǎn)P到直線x＝－4的距離等于它到點(diǎn)(4，0)的距離．根據(jù)拋物線的定義，可知P的軌跡是以點(diǎn)(4，0)為焦點(diǎn)，以直線x＝－4為準(zhǔn)線的拋物線．設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，可得＝4，得2p＝16，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x，即P點(diǎn)的軌跡方程為y2＝16x.2．(2020·合肥高二檢測(cè))雙曲線4x2－y2＋64＝0上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于(　　)A．17    B．15    C．9    D．7【解析】選A.因?yàn)?x2－y2＋64＝0，所以－＝1，所以雙曲線上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為2×8＝16，因?yàn)辄c(diǎn)P到雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，所以點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于17.3．(2020·北京高二檢測(cè))古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2均在x軸上，C的面積為2π，且短軸長(zhǎng)為2，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A．＋y2＝1    B．＋＝1C．＋＝1    D．＋＝1【解析】選B.由題意可得解得a＝2，b＝，因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在x軸上，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.4．已知F是拋物線y＝x2的焦點(diǎn)，P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PF中點(diǎn)的軌跡方程是(　　)A．x2＝2y－1　    B．x2＝2y－C．x2＝y(tǒng)－　    D．x2＝2y－2【解析】選A.設(shè)P(x0，y0)，PF的中點(diǎn)為(x，y)，則y0＝x，又F(0，1)，所以所以代入y0＝x得2y－1＝(2x)2，化簡(jiǎn)得x2＝2y－1.5．已知雙曲線C：－＝1的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線C上，若＝14，則＝(　　)A．38    B．24    C．38或10    D．24或4【解析】選B.由題意可得a＝5，b＝12，c＝13，因?yàn)?/span>＝14<a＋c＝18，所以點(diǎn)P在雙曲線C的下支上，則－＝2a＝10，故＝24.6．已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交橢圓C于點(diǎn)D，且＝2，則橢圓C的離心率為(　　)A．    B．    C．    D．3【解析】選A.如圖，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，B(0，b)為上頂點(diǎn)，F(xiàn)(c，0)為右焦點(diǎn)，設(shè)D(x，y)，由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，即解得所以D.因?yàn)辄c(diǎn)D在橢圓上，所以＋＝1，解得a2＝3c2，即e2＝，所以e＝.7．(2020·全國Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝a與雙曲線C：－＝1的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為(　　)A．4    B．8    C．16    D．32【命題意圖】本題考查雙曲線的焦距、雙曲線漸近線、基本不等式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．【解析】選B. 雙曲線C：－＝1的兩條漸近線方程為y＝±x，將x＝a與雙曲線漸近線方程聯(lián)立，令D和E坐標(biāo)分別為D(a，b)，E(a，－b)，所以△ODE的面積為ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以c≥4，則焦距2c的最小值為8.8．已知點(diǎn)E是拋物線C：y2＝2px(p＞0)的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上，在△EFP中，若sin ∠EFP＝μ·sin ∠FEP，則μ的最大值為(　　)A．    B．    C．    D．【解析】選C.過P(x軸上方)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則由拋物線的定義可得|PF|＝|PH|，由sin ∠EFP＝μ·sin ∠FEP，則在△PFE中由正弦定理可知：|PE|＝μ|PF|，所以|PE|＝μ|PH|，設(shè)PE的傾斜角為α，則cos α＝＝，當(dāng)μ取得最大值時(shí)，cos α最小，此時(shí)直線PE與拋物線相切，設(shè)直線PE的方程為x＝ty－，則聯(lián)立直線與拋物線即y2－2pty＋p2＝0，所以Δ＝4p2t2－4p2＝0，所以t＝1，即tan α＝1，則cos α＝，則μ的最大值為.二、多選題(每小題5分，共20分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，焦距為6，則橢圓的方程可以為(　　)A．＋＝1    B．＋＝1C．＋＝1    D．＋＝1【解析】選BD.2c＝6，所以c＝3，2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，所以所以橢圓方程為＋＝1或＋＝1.10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1，0)和F2(1，0)的斜率之積等于8，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E，則(　　)A．曲線E經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)B．曲線E關(guān)于x軸對(duì)稱C．曲線E關(guān)于y軸對(duì)稱D．若點(diǎn)(x，y)在曲線E上，則－1≤x≤1【解析】選BC.設(shè)P，則kPF1·kPF2＝·＝＝8，則x2－＝1(y≠0).故軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線去除頂點(diǎn)．故曲線E不經(jīng)過原點(diǎn)，A錯(cuò)誤；曲線E關(guān)于x軸對(duì)稱，關(guān)于y軸對(duì)稱，BC正確；若點(diǎn)(x，y)在曲線E上，則1<x或x<－1，D錯(cuò)誤．11．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)M(3，1)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)P(x1，y1)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)Q(x2，y2)反射后，沿直線l2射出，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A．x1x2＝1     B．kPQ＝－C．|PQ|＝    D．l1與l2之間的距離為4【解析】選ABC.如圖所示，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線PQ過焦點(diǎn)F(1，0)，所以x1x2＝＝1，即選項(xiàng)A正確；由題意可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4，－4)，所以kPQ＝＝－，即選項(xiàng)B正確；由拋物線的定義可知，|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋4＋2＝，即選項(xiàng)C正確；因?yàn)?/span>l1與l2平行，所以l1與l2之間的距離d＝|y1－y2|＝5，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．12．(2020·新高考全國Ⅰ卷)已知曲線C：mx2＋ny2＝1(　　)A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD．若m＝0，n>0，則C是兩條直線【命題意圖】本題考查橢圓、雙曲線和圓的方程，考查分類討論思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)．【解析】選ACD. 因?yàn)閙>n>0，則>>0，所以＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A項(xiàng)正確；當(dāng)m＝n>0時(shí)，x2＋y2＝表示半徑為的圓，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)mn<0時(shí)，曲線mx2＋ny2＝1表示雙曲線，由mx2＋ny2＝0得＝－，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故C項(xiàng)正確；當(dāng)m＝0，n>0時(shí)，由y2＝，得y＝±，所以曲線表示兩條直線，故D項(xiàng)正確．三、填空題(每小題5分，共20分)13．(2020·北京高考)已知雙曲線C：－＝1，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為________；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是________．【解析】在雙曲線C中，a＝，b＝，則c＝＝3，則雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，所以雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為＝.答案：　14．已知拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B為拋物線上的點(diǎn)，若△OAB為等邊三角形，且面積為48，則p的值為________．【解析】設(shè)B(x1，y1)，A(x2，y2)，因?yàn)閨OB|＝|OA|，所以x＋y＝x＋y.又y＝2px1，y＝2px2，所以x－x＋2p(x2－x1)＝0，即(x2－x1)(x1＋x2＋2p)＝0.又x1，x2與p同號(hào)，所以x1＋x2＝2p≠0.所以x2－x1＝0，即x1＝x2.根據(jù)拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)B，A關(guān)于x軸對(duì)稱，由△OAB為等邊三角形，不妨設(shè)直線OB的方程為y＝x，由，解得B(6p，2p)，所以＝＝4p.因?yàn)?/span>△OAB的面積為48，所以×(4p)2＝48，解得p2＝4，所以p＝2.答案：215．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為________.【解析】設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)2的坐標(biāo)為(c，0)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(不妨取第一象限內(nèi)點(diǎn)P)，由題意知|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，a2－c2＝2ac，＋2－1＝0，解得＝±－1，負(fù)值舍去，所以e＝＝－1.答案：－116．設(shè)雙曲線－＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為________．【解析】根據(jù)題意，得a2＝9，b2＝16，所以c＝＝5，且A(3，0)，F(xiàn)(5，0).因?yàn)殡p曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x.所以直線BF的方程為y＝±(x－5).①若直線BF的方程為y＝(x－5)，與漸近線y＝－x交于點(diǎn)B，此時(shí)S△AFB＝|AF|·|yB|＝×2×＝；②若直線BF的方程為y＝－(x－5)，與漸近線y＝x交于點(diǎn)B.此時(shí)S△AFB＝|AF|·|yB|＝×2×＝.因此，△AFB的面積為.答案：四、解答題(共70分)17．(10分)給定拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)．若|FA|＝2|BF|，求直線l的方程．【解析】顯然直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l：y＝k(x－1)，聯(lián)立消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，故x1＝，①又|FA|＝2|BF|，所以＝2，則x1－1＝2(1－x2)②由①②得x2＝(x2＝1舍去)，所以B，得直線l的斜率為k＝kBF＝±2，所以直線l的方程為y＝±2(x－1).18．(12分)(2020·天津高考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，－3)，右焦點(diǎn)為F，且|OA|＝|OF|，其中O為原點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)C滿足3＝，點(diǎn)B在橢圓上(B異于橢圓的頂點(diǎn))，直線AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，且P為線段AB的中點(diǎn)．求直線AB的方程．【解析】(1)因?yàn)闄E圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，－3)，所以b＝3，由|OA|＝|OF|，得c＝b＝3，又由a2＝b2＋c2，得a2＝32＋32＝18，所以橢圓的方程為＋＝1.(2)因?yàn)橹本€AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，所以CP⊥AB，根據(jù)題意可知，直線AB和直線CP的斜率均存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＋3＝kx，即y＝kx－3，聯(lián)立得方程組消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝.將x＝代入y＝kx－3，得y＝k·－3＝，所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，因?yàn)镻為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由3＝，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，0)，所以，直線CP的斜率為kCP＝＝，又因?yàn)镃P⊥AB，所以k·＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.所以，直線AB的方程為y＝x－3或y＝x－3.19．(12分)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為2.一雙曲線和該橢圓有公共焦點(diǎn)，且雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)比橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)小4，雙曲線離心率與橢圓離心率之比為7∶3，求橢圓和雙曲線的方程．【解析】①焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，且c＝.設(shè)雙曲線為－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.因?yàn)?/span>＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.因?yàn)闄E圓和雙曲線的半焦距為，所以b2＝36，n2＝4.所以橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1.②焦點(diǎn)在y軸上，橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1.20．(12分)已知橢圓＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0).(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：y＝－x＋m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，且滿足＝，求直線l的方程．【解析】(1)由題設(shè)知解得a＝2，b＝，c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1.(2)由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1，所以圓心到直線l的距離d＝，由d<1得|m|<.　(*)所以|CD|＝2＝2＝.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－mx＋m2－3＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.所以|AB|＝＝.由＝，得＝1，解得m＝±，滿足(*).所以直線l的方程為y＝－x＋或y＝－x－.21．(12分)已知拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)為F.(1)過點(diǎn)F且斜率為的直線交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝，求拋物線C的方程．(2)過點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，直線AO，BO分別與直線x＝－p相交于M，N兩點(diǎn)，試判斷△ABO與△MNO的面積之比是否為定值，并說明理由．【解析】(1)設(shè)直線PQ的傾斜角為α，由題意得tan α＝，α＝60°，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式得|PQ|＝＝＝＝?p＝2，所以C的方程為y2＝4x.(2)△ABO與△MNO的面積之比為，理由如下：設(shè)AB的方程為x＝ty＋，代入y2＝2px得y2－2pty－p2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－p2，x1x2＝·＝＝.因?yàn)?/span>∠AOB＝∠MON，所以＝＝·＝·＝＝.22．(12分)(2020·全國Ⅲ卷)已知橢圓＋＝1(0＜m＜5)的離心率為，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x＝6上，且＝，BP⊥BQ，求△APQ的面積．【解析】(1)因?yàn)镃：＋＝1(0＜m＜5)，所以a＝5，b＝m，根據(jù)離心率e＝＝＝＝，解得m＝或m＝－(舍)，所以C的方程為：＋＝1，即＋＝1.(2)不妨設(shè)P，Q在x軸上方，因?yàn)辄c(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，過點(diǎn)P作x軸垂線，交點(diǎn)為M，設(shè)x＝6與x軸交點(diǎn)為N，根據(jù)題意畫出圖形，如圖因?yàn)閨BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB＝∠QNB＝90°，又因?yàn)?/span>∠PBM＋∠QBN＝90°，∠BQN＋∠QBN＝90°，所以∠PBM＝∠BQN，所以△PMB≌△BNQ，因?yàn)?/span>＋＝1，所以B(5，0)，所以＝＝6－5＝1，設(shè)P點(diǎn)為(xP，yP)，可得P點(diǎn)縱坐標(biāo)為yP＝1，將其代入＋＝1，可得＋＝1，解得：xP＝3或xP＝－3，所以P點(diǎn)為(3，1)或(－3，1)，①當(dāng)P點(diǎn)為(3，1)時(shí)，故＝5－3＝2，因?yàn)?/span>△PMB≌△BNQ，所以|MB|＝|NQ|＝2，可得：Q點(diǎn)為(6，2)，畫出圖象，如圖因?yàn)锳(－5，0)，Q(6，2)，可求得直線AQ的直線方程為：2x－11y＋10＝0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得P到直線AQ的距離為：d＝＝＝，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：＝＝5，所以△APQ面積為：×5×＝；②當(dāng)P點(diǎn)為(－3，1)時(shí)，故＝5＋3＝8，因?yàn)?/span>△PMB≌△BNQ，所以|MB|＝|NQ|＝8，可得：Q點(diǎn)為(6，8)，畫出圖象，如圖因?yàn)锳(－5，0)，Q(6，8)，可求得直線AQ的直線方程為：8x－11y＋40＝0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得P到直線AQ的距離為：d＝＝＝，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：＝＝，所以△APQ面積為：××＝，綜上所述，△APQ面積為. 

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本章綜合與測(cè)試

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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