知識(shí)點(diǎn) 直線與平面平行的判定定理
思考1 如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內(nèi)，把這塊木板繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，AB的對(duì)邊CD(不落在α內(nèi))和平面α有何位置關(guān)系？
答案 平行．
思考2 如圖，平面α外的直線a平行于平面α內(nèi)的直線b.這兩條直線共面嗎？直線a與平面α相交嗎？
答案 由于直線a∥b，所以兩條直線共面，直線a與平面α不相交.
類型一 直線與平面平行的判定定理
例1 如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b?α D．b∥α或b?α
答案 D
解析 由a∥b，且a∥α，知b與α平行或b?α.
反思與感悟 用判定定理判定直線a和平面α平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件：
(1)直線a在平面α外，即a?α；
(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；
(3)兩直線a、b平行，即a∥b，這三個(gè)條件缺一不可．
跟蹤訓(xùn)練1 若直線l不平行于平面α，且l?α，則( )
A．α內(nèi)的所有直線與l異面
B．α內(nèi)不存在與l平行的直線
C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行
D．α內(nèi)的直線與l都相交
答案 B
解析 若在平面α內(nèi)存在與直線l平行的直線，因l?α，故l∥α，這與題意矛盾．
類型二 直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用
例2 已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ(如圖)．求證：PQ∥平面CBE.
證明 方法一 作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖，
則PM∥QN，eq \f(PM,AB)＝eq \f(EP,EA)，eq \f(QN,CD)＝eq \f(BQ,BD).
∵EA＝BD，AP＝DQ，
∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN，
∴四邊形PMNQ是平行四邊形，
∴PQ∥MN.
又PQ?平面CBE，
MN?平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
方法二 如圖所示，連接AQ并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于K，連接EK.
∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，
∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(DQ,BQ)，
又AD∥BK，
∴eq \f(DQ,BQ)＝eq \f(AQ,QK)，∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(AQ,QK)，
∴PQ∥EK，
又PQ?平面BCE，EK?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
反思與感悟 利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、平行公理等．
跟蹤訓(xùn)練2 如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
求證：AF∥平面PCE.
證明 如圖，取PC的中點(diǎn)M，連接ME、MF，則FM∥CD且FM＝eq \f(1,2)CD.
又∵AE∥CD且AE＝eq \f(1,2)CD，
∴FM綊AE，即四邊形AFME是平行四邊形．
∴AF∥ME，
又∵AF?平面PCE，EM?平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
1．下列說(shuō)法正確的是( )
A．直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α
B．若直線a在平面α外，則a∥α
C．若直線a∩b＝?，直線b?α，則a∥α
D．若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線
答案 D
解析 A錯(cuò)誤，直線l可以在平面α內(nèi)；B錯(cuò)誤，直線a在平面α外，包括平行和相交；C錯(cuò)誤，a可以與平面α相交．
2．以下說(shuō)法(其中a，b表示直線，α表示平面)正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．
①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥α，b∥α，則a∥b；
③若a∥b，b∥α，則a∥α；④若a∥α，b?α，則a∥b.
答案 0
解析 ①a?α也可能成立；②a，b還有可能相交或異面；③a?α也可能成立；④a，b還有可能異面．
3.空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，判斷EF與平面BCD的位置關(guān)系．
解 設(shè)由相交直線BC，CD所確定的平面為α，如圖，連接BD，易見(jiàn)，EF不在平面α內(nèi)，由于E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.又BD在平面α內(nèi)，所以EF∥α.
4．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，G為DD1上一點(diǎn)，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O，求證：直線GO∥平面D1EF.
證明 如圖，設(shè)EF∩BD＝H，連接D1H，在△DD1H中，
∵eq \f(DO,DH)＝eq \f(2,3)＝eq \f(DG,DD1)，∴GO∥D1H，
又GO?平面D1EF，D1H?平面D1EF，
∴GO∥平面D1EF.
1．判斷或證明線面平行的常用方法
(1)定義法：證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn)(不易操作)．
(2)判定定理法：(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．
(3)排除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內(nèi)．
2．證明線線平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)．
(2)利用平行四邊形的性質(zhì)．
(3)利用平行線分線段成比例定理．
一、選擇題
1．已知a，b是兩條相交直線，a∥α，則b與α的位置關(guān)系是( )
A．b∥α B．b與α相交
C．b?α D．b∥α或b與α相交
答案 D
解析 由題意畫(huà)出圖形，當(dāng)a，b所在平面與平面α平行時(shí)，b與平面α平行，當(dāng)a，b所在平面與平面α相交時(shí)，b與平面α相交．
2．一條直線l上有相異三個(gè)點(diǎn)A、B、C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l與α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
答案 D
解析 l∥α?xí)r，直線l上任意點(diǎn)到α的距離都相等．l?α?xí)r，直線l上所有的點(diǎn)到α的距離都是0；l⊥α?xí)r，直線l上有兩個(gè)點(diǎn)到α的距離相等；l與α斜交時(shí)，也只能有兩點(diǎn)到α的距離相等．
3．點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是空間四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則空間四面體的六條棱中與平面EFGH平行的條數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 如圖，由線面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
4．下列說(shuō)法中，正確的有( )
①如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行；
②如果一條直線與一個(gè)平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直；
③過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行；
④一條直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線平行于這個(gè)平面．
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
答案 B
解析 如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，所以①錯(cuò)；如果一條直線與一個(gè)平面相交，在這個(gè)平面內(nèi)作過(guò)交點(diǎn)的直線垂直于這條直線，那么在這個(gè)平面內(nèi)與所作直線平行的直線都與已知直線垂直，有無(wú)數(shù)條，所以②正確；對(duì)于③顯然錯(cuò)誤；而④，也有可能相交，所以也錯(cuò)誤．
5.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點(diǎn)，在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線( )
A．不存在
B．有1條
C．有2條
D．有無(wú)數(shù)條
答案 D
解析 畫(huà)出平面D1EF與平面ADD1A1的交線D1G，如圖所示．于是在平面ADD1A1內(nèi)與直線D1G平行的直線都與平面D1EF平行，有無(wú)數(shù)條．
6．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中點(diǎn)，D是AA1上的動(dòng)點(diǎn)，且eq \f(AD,DA1)＝m，若AE∥平面DB1C，則m的值為( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 B
解析 如圖，取CB1的中點(diǎn)G，連接GE，DG，當(dāng)m＝1時(shí)，AD＝GE＝eq \f(1,2)BB1且AD∥GE，∴四邊形ADGE為平行四邊形，則：AE∥DG，可得：AE∥平面DB1C.
二、填空題
7．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的各個(gè)面所在的平面中：
(1)與直線AB平行的平面是____；
(2)與直線AA1平行的平面是____；
(3)與直線AD平行的平面是____．
答案 (1)平面A1C1和平面DC1
(2)平面BC1和平面DC1
(3)平面B1C和平面A1C1
8.如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為PB的中點(diǎn)，O為AC，BD的交點(diǎn)，則EO與圖中平行的平面有________．
答案 平面PAD、平面PCD
解析 ∵O為BD的中點(diǎn)，且在△PBD中，E為PB的中點(diǎn)，
∴EO∥PD，又EO在平面PAD、PCD外，PD在平面PAD、PCD內(nèi)，所以EO與平面PAD、平面PCD平行．
9.如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，則EF與平面PAD的位置關(guān)系為_(kāi)_______．
答案 平行
解析 ∵EF為△PBC的中位線．
∴EF∥BC，又BC∥AD，
∴EF∥AD，
又EF?平面PAD且AD?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
10．在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．
答案 平面ABD與平面ABC
解析 如圖，取CD的中點(diǎn)E.
則EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.
所以MN∥平面ABD，
MN∥平面ABC.
三、解答題
11.如圖，四邊形ABCD為正方形，△ABE為等腰直角三角形，AB＝AE，P是線段CD的中點(diǎn)，在直線AE上是否存在一點(diǎn)M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論．
解 如圖，存在點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，
PM∥平面BCE.
取BE的中點(diǎn)N，連接CN，MN，
則MN綊eq \f(1,2)AB綊PC，
所以四邊形MNCP為平行四邊形，所以PM∥CN.
因?yàn)镻M?平面BCE，CN?平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
12．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，求證：直線EG∥平面BDD1B1.
證明 如圖，連接SB，
∵E、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，
∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，
EG?平面BDD1B1，
∴直線EG∥平面BDD1B1.
13.如圖，S是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn)，M，N分別是SA，BD上的點(diǎn)，且eq \f(AM,SM)＝eq \f(DN,NB).
求證：MN∥平面SBC.
證明 連接AN并延長(zhǎng)交BC于P，連接SP.
因?yàn)锳D∥BC，所以eq \f(DN,NB)＝eq \f(AN,NP)，
又因?yàn)閑q \f(AM,SM)＝eq \f(DN,NB)，
所以eq \f(AM,SM)＝eq \f(AN,NP)，所以MN∥SP，
又MN?平面SBC，
SP?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.表示
定理
圖形
文字
符號(hào)
直線與平面平行的判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.5 空間直線、平面的平行

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