第二十一章  一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2  公式法 學習目標：1.經(jīng)歷求根公式的推導過程.2.會用公式法解一元二次方程.3.理解并會計算一元二次方程根的判別式.4.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況.重點：運用公式法解一元二次方程.難點：一元二次方程求根公式的推導.一、知識鏈接如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?      二、要點探究探究點1：求根公式的推導合作探究  任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？問題1  用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).解：移項，得ax2+bx=－c，二次項系數(shù)化為1，得x2+    x=配方，得x2+    x+(    )2=(    )2即(x+)2=① 問題2  對于方程①接下來能直接開平方解嗎？  要點歸納：∵a ≠0，∴4a2>0.要注意式子b2－4ac 的值有大于0、小于0和等于0三種情況.探究點2：一元二次方程根的判別式我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，通常用符號“”表示，即= b2－4ac.判別式的情況根的情況      練一練  按要求完成下列表格. 的值   根的情況    典例精析例1  已知一元二次方程x2+x=1，下列判斷正確的是(   )A.該方程有兩個相等的實數(shù)根B.該方程有兩個不相等的實數(shù)根C.該方程無實數(shù)根D.該方程根的情況不確定 例2  不解方程，判斷下列方程的根的情況．(1)  3x2+4x－3=0；      (2) 4x2=12x－9；      (3) 7y=5(y2+1).    方法總結(jié)：現(xiàn)將方程變形為一般形式ax2+bx+c=0，再根據(jù)根的判別式求解即可.  例3  若關(guān)于x的一元二次方程x2+8x+q=0有兩個不相等的實數(shù)根，則q的取值范圍是(    ) q≤4                            q≥4 q<16                           q>16【變式題】二次項系數(shù)含字母若關(guān)于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是(   ) k>－1                           k>－1且k≠0 k<1                             k<1且k≠0 方法總結(jié)：當一元二次方程二次項系數(shù)為字母時，一定要注意二次項系數(shù)不為0，再根據(jù)根的判別式求字母的取值范圍. 【變式題】刪除限制條件“二次”若關(guān)于x的方程kx2－2x－1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是(   ) k≥－1                           B.k≥－1且k≠0C.k<1                           D.k<1且k≠0  探究點3：用公式法解方程由上可知，當≥0時，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的實數(shù)根可寫為的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.  典例精析例4  (教材p11例2)用公式法解下列方程：(1)  x2－4x－7=0；         (2) 2x2－+1=0；            (2)  5x2－3x=x+1；         (4) x2+17=8x.    要點歸納：公式法解方程的步驟：1.變形：化已知方程為一般形式；  2.確定系數(shù)：用a，b，c寫出各項系數(shù)；3.計算：b2－4ac的值；4.判斷：若b2－4ac≥0，則利用求根公式求出；若b2－4ac<0，則方程沒有實數(shù)根. 三、課堂小結(jié)公式法內(nèi)容根的判別式b2－4ac，注意務(wù)必將方程化為一般形式求根公式步驟一化（一般形式）；二定（系數(shù)值）；三求（Δ值）；四判（方程根的情況）；五代（求根公式計算）.   1.不解方程，判斷下列方程的根的情況．(1) 2x2+3x－4=0；        (2) x2－x+=0；         (3) x2－x+1=0.    2.解方程：x2 +7x–18 = 0.     3.解方程：(x－2) (1－3x) = 6.     4.解方程：2x2－x + 3 = 0.     5.（1）關(guān)于x的一元二次方程有兩個實根，則m的取值范圍是         ； （2）若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有實數(shù)根．求m的取值范圍.            6.不解方程，判別關(guān)于x的方程的根的情況.      能力提升： 在等腰△ABC中，三邊分別為a，b，c，其中a=5，若關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有兩個相等的實數(shù)根，求△ABC 的周長.                       參考答案自主學習一、知識鏈接解：方程整理得配方，得.直接開平方，得，∴. 課堂探究二、要點探究探究點1：求根公式的推導問題1               問題2    不能，需要注意右邊式子有大于0，等于0，小于0三種情況.探究點2：一元二次方程根的判別式兩個不相等實數(shù)根    兩個相等實數(shù)根    沒有實數(shù)根    兩個實數(shù)根練一練   從上往下，從左到右依次為0，，4，有兩個相等實數(shù)根，沒有實數(shù)根，有兩個不相等的實數(shù)根典例精析例1   B  解析：原方程變形為x2+x－1=0.∵b2－4ac=1－4×1×(－1)=5＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選B.例2   解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）方程化為：4x2－12x+9=0，∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有兩個相等的實數(shù)根．（3）方程化為：5y2－7y+5=0，∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程無實數(shù)根．例3   C  解析：由根的判別式知，方程有兩個不相等的實數(shù)根，則b2－4ac>0，即82－4q>0.解得q＜16，故選C.【變式題】B  解析：方程有兩個不相等的實數(shù)根，則b2－4ac>0，即(－2)2+4k>0.又二次項系數(shù)不為0，可得k>－1且k≠0，故選B.【變式題】A  思路分析：分k=0或k≠0兩種情況進行分類討論.探究點3：用公式法解方程例4    解：(1)a=1，b=－4，c=－7，b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有兩個不相等的實數(shù)根即.(2)a=2，b=，c=1，b2－4ac=()2－4×1×2=0.方程有兩個相等的實數(shù)根，即.(3)方程化為5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有兩個不相等的實數(shù)根即.(4)方程化為x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程無實數(shù)根.當堂檢測1.解：(1)a=2，b=3，c=－4，b2－4ac=32－4×2×(－4)=41＞0.方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)a=1，b=－1，c=，b2－4ac=(－1)2－4×1×=0.方程有兩個相等的實數(shù)根.(3)a=1，b=－1，c=1，b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程無實數(shù)根.2.解：這里a=1，b=7，c=－18，b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0.∴.  解：去括號，得x－2－3x2 + 6x = 6，化為一般式為3x2－7x + 8 = 0，這里a=3，b=－7，c=8，b2－4ac=(－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程無實數(shù)根.4.這里a=2，b=，c=3，b2－4ac=()2－4×2×3=3＞0.∴.5.(1)m≤1  (2)解：化為一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2?4(m?1)(m?2)≥0，且m－1≠0，解得且m≠1.6.解：，∵，∴，∴∴方程有兩個實數(shù)根.能力提升解：關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ=b2－4ac=(b－2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0.所以b=－10或b=2.所以b=2（舍去b=-10）.所以△ABC 的三邊長為2，2，5或2，5，5，因為2，2，5不滿足三角形的三邊關(guān)系，所以△ABC 的三邊長為2，5，5，其周長為2+5+5=12.  

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