一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1若M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),則有( )
A.M>NB.M≥N
C.M0,∴M>N.
答案:A
2不等式x-3x+20,y>0,
∴1=x3+y4≥2x3·y4=33xy,則xy≤3,
當且僅當x3=y4,即x=32,y=2時,等號成立,
∴xy的最大值為3.
答案:3
12已知O是坐標原點,點M的坐標為(2,1),若點N(x,y)為平面區(qū)域x+y≤2,x≥12,y≥x上的一個動點,則OM·ON的最大值是_____________________
解析:依題意,得不等式組對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,其中A12,12,B12,32,C(1,1).
設z=OM·ON=2x+y,當直線z=2x+y過點C(1,1)時,z=2x+y取得最大值3.
答案:3
13當x>1時,lg2x2+lgx2的最小值為 .
解析:當x>1時,lg2x>0,lgx2>0,
所以lg2x2+lgx2=2lg2x+1lg2x≥22lg2x·1lg2x=22,
當且僅當2lg2x=1lg2x,即x=222時,等號成立,
所以lg2x2+lgx2的最小值為22.
答案:22
14如果實數(shù)x,y滿足條件x-y+1≥0,y+1≥0,x+y+1≤0,那么y-1x-1的取值范圍是____________________.
解析:畫出可行域如圖中的陰影部分所示.
設P(x,y)為可行域內(nèi)的一點,M(1,1),則y-1x-1=kPM.
由于點P在可行域內(nèi),則由圖知kMB≤kPM≤kMA.
又可得A(0,-1),B(-1,0),則kMA=2,kMB=12,
則12≤kPM≤2,即y-1x-1的取值范圍是12,2.
答案:12,2
15若不等式ax2+4x+a>1-2x2對一切x∈R恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
解析:不等式ax2+4x+a>1-2x2對一切x∈R恒成立,
即(a+2)x2+4x+a-1>0對一切x∈R恒成立.
若a+2=0,則顯然不成立;
若a+2≠0,則a+2>0,16-4(a+2)(a-1)-2,16-4(a+2)(a-1)-2,a2?a>2.
答案:(2,+∞)
三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16(8分)已知a>0,b>0,且a≠b,比較a2b+b2a與a+b的大小.
解∵a2b+b2a-(a+b)=a2b-b+b2a-a
=a2-b2b+b2-a2a=(a2-b2)1b-1a
=(a2-b2)a-bab=(a-b)2(a+b)ab,
又a>0,b>0,a≠b,∴(a-b)2>0,a-b>0,ab>0,
∴a2b+b2a-(a+b)>0,∴a2b+b2a>a+b.
17(8分)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-8,若對一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解f(x)=x2-2x-8.
當x>2時,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,
則x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,
即x2-4x+7≥m(x-1).
于是對一切x>2,均有不等式x2-4x+7x-1≥m成立.
∵x2-4x+7x-1=(x-1)+4x-1-2≥2(x-1)·4x-1-2=2(當且僅當x=3時,等號成立),
∴實數(shù)m的取值范圍是(-∞,2].
18(9分)解關(guān)于x的不等式x2-(3m+1)x+2m2+m

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