一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq \f(1,4)，a1＝eq \r(2)，則數(shù)列{an}是( )
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列
解析：選D 因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為q＝－eq \f(1,4)，a1＝eq \r(2)，故a20，…，所以數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列．
2．若互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，a是b，c的等比中項(xiàng)，且a＋3b＋c＝10，則a的值是( )
A．1 B．－1
C．－3 D．－4
解析：選D 由題意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,a2＝bc，,a＋3b＋c＝10，))
解得a＝－4，b＝2，c＝8.
3．等差數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝7，則a7＝( )
A．10 B．20
C．16 D．12
解析：選D ∵{an}是等差數(shù)列，
∴d＝eq \f(a5－a3,5－3)＝eq \f(5,2)，∴a7＝2＋4×eq \f(5,2)＝12.
4．在數(shù)列{an}中，a1＝eq \f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，則a5等于( )
A．－eq \f(16,3) B.eq \f(16,3)
C．－eq \f(8,3) D.eq \f(8,3)
解析：選B ∵a1＝eq \f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，a3＝(－1)3×2×eq \f(2,3)＝－eq \f(4,3)，
a4＝(－1)4×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－eq \f(8,3)，
a5＝(－1)5×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)))＝eq \f(16,3).
5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
解析：選A 在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因?yàn)镾10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq \f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.
6．在等比數(shù)列{an}中，已知前n項(xiàng)和Sn＝5n＋1＋a，則a的值為( )
A．－1 B．1
C．5 D．－5
解析：選D 因?yàn)镾n＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1,1－q)－eq \f(a1,1－q)·qn，可知其常數(shù)項(xiàng)與qn的系數(shù)互為相反數(shù)，所以a＝－5.
7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2an，n為正奇數(shù)，,an＋1，n為正偶數(shù)，))則254是該數(shù)列的( )
A．第8項(xiàng) B．第10項(xiàng)
C．第12項(xiàng) D．第14項(xiàng)
解析：選D 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，an＋1＝2an，則a2＝2a1＝2，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次類推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，歸納可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2\f(n＋1,2)－1，n為正奇數(shù)，,2\f(n,2)＋1－2，n為正偶數(shù)，))則2eq \f(n,2)＋1－2＝254，n＝14，故選D.
8．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1a2a3＝15，且eq \f(3,S1S3)＋eq \f(15,S3S5)＋eq \f(5,S5S1)＝eq \f(3,5)，則a2＝( )
A．2 B.eq \f(1,2)
C．3 D.eq \f(1,3)
解析：選C ∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴eq \f(1,a1a2)＋eq \f(1,a2a3)＋eq \f(1,a1a3)＝eq \f(3,5)，∵a1a2a3＝15，∴eq \f(3,5)＝eq \f(a3,15)＋eq \f(a1,15)＋eq \f(a2,15)＝eq \f(a2,5)，∴a2＝3.故選C.
9．如果數(shù)列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項(xiàng)為1、公比為eq \f(1,3)的等比數(shù)列，那么an＝( )
A.eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n))) B.eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n－1)))
C.eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n))) D.eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n－1)))
解析：選A 由題知a1＝1，q＝eq \f(1,3)，
則an－an－1＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n－1.
設(shè)數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n項(xiàng)和為Sn，
∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.
又∵Sn＝eq \f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n)))，
∴an＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n))).
10．(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為( )
A．－24 B．－3
C．3 D．8
解析：選A 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝aeq \\al(2,3)，
即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.
又a1＝1，所以d2＋2d＝0.
又d≠0，則d＝－2，
所以{an}前6項(xiàng)的和S6＝6×1＋eq \f(6×5,2)×(－2)＝－24.
11．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于( )
A.eq \f(15,2) B.eq \f(31,4)
C.eq \f(33,4) D.eq \f(17,2)
解析：選B 設(shè){an}的公比為q，q>0，且aeq \\al(2,3)＝1，
∴a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq \f(1,q2)＋eq \f(1,q)＋1＝7，
即6q2－q－1＝0，
解得q＝eq \f(1,2)或q＝－eq \f(1,3)(舍去)，a1＝eq \f(1,q2)＝4.
∴S5＝eq \f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25)))＝eq \f(31,4).
12．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝－2 016，eq \f(S2 007,2 007)－eq \f(S2 005,2 005)＝2，則S2 018的值為( )
A．－2 018 B．2 018
C．2 017 D．－2 017
解析：選B 因?yàn)镾n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的公差為d′，則由eq \f(S2 007,2 007)－eq \f(S2 005,2 005)＝2，得2d′＝2，解得d′＝1，所以eq \f(S2 018,2 018)＝eq \f(S1,1)＋2 017d′＝a1＋2 017d′＝－2 016＋2 017＝1，所以S2 018＝2 018.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中的橫線上)
13．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則S10的值為________．
解析：設(shè){an}的首項(xiàng)，公差分別是a1，d，則
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝16，,20a1＋\f(20×?20－1?,2)×d＝20，))解得a1＝20，d＝－2，
∴S10＝10×20＋eq \f(10×9,2)×(－2)＝110.
答案：110
14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2 018－3n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．
解析：由an＝2 018－3n>0，得nm≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列？若存在，請說明理由．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.
由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10a1＋\f(10×9,2)d＝55，,20a1＋\f(20×19,2)d＝210，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a1＋9d＝11，,2a1＋19d＝21，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝1.))
所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)．
(2)假設(shè)存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列，則beq \\al(2,m)＝b1bk.
因?yàn)閎n＝eq \f(an,an＋1)＝eq \f(n,n＋1)，
所以b1＝eq \f(1,2)，bm＝eq \f(m,m＋1)，bk＝eq \f(k,k＋1)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,m＋1)))2＝eq \f(1,2)×eq \f(k,k＋1).
整理，得k＝eq \f(2m2,－m2＋2m＋1).
以下給出求m，k的方法：
因?yàn)閗>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－eq \r(2)

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