?4.3　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系



知識(shí)點(diǎn)一　反函數(shù)的概念
1．函數(shù)y＝e2x(x∈R)的反函數(shù)為(　　)
A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)
C．y＝ln x(x>0) D．y＝ln (2x)(x>0)
2．已知函數(shù)y＝log3(3－x)(0≤x2)的反函數(shù)是(　　)
A．y＝(1≤x3)
C．y＝－(1≤x3)
4．已知函數(shù)y＝3x－2a的反函數(shù)是y＝bx＋，則(　　)
A．a(chǎn)＝－6，b＝ B．a(chǎn)＝1，b＝
C．a(chǎn)＝6，b＝－ D．a(chǎn)＝，b＝－
5．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈D的值域是{1,4,9}，且函數(shù)f(x)存在反函數(shù)，這樣的f(x)共有________個(gè)．
6．若函數(shù)f(x)＝的反函數(shù)是其本身，則實(shí)數(shù)a＝________.
7．已知函數(shù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝lg (x＋1)，令函數(shù)g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，則g(x)的反函數(shù)為________________．
8．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．
(1)當(dāng)a＝－時(shí)，判定此函數(shù)有沒有反函數(shù)，并說明理由；
(2)當(dāng)a為何值時(shí)，此函數(shù)存在反函數(shù)？并求出此函數(shù)的反函數(shù)f－1(x)．
知識(shí)點(diǎn)二　反函數(shù)的圖像與性質(zhì)
9．函數(shù)y＝log2的反函數(shù)的定義域?yàn)?　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
10．已知x>0，f(x)＝log3x2的值域是[－1,1]，則它的反函數(shù)f－1(x)的值域是(　　)
A．[－1,1]
B．(0，＋∞)
C.∪
D.
11．如圖，已知函數(shù)f(x)＝3x－1，則它的反函數(shù)y＝f－1(x)的大致圖像是(　　)


12．已知函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)為y＝f－1(x)，則函數(shù)y＝f(－x)與y＝－f－1(x)的圖像(　　)
A．關(guān)于y軸對(duì)稱
B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱
D．關(guān)于直線x－y＝0對(duì)稱
13．給出下列命題：
(1)若奇函數(shù)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)也是奇函數(shù)；
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上存在反函數(shù)的充要條件是f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)；
(3)函數(shù)f(x)在定義域D上的反函數(shù)為f－1(x)，則對(duì)于任意的x0∈D都有f(f－1(x0))＝f－1(f(x0))＝x0成立．
其中正確的命題為(　　)
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(3) D．(1)(2)(3)
14．已知點(diǎn)(3,9)在函數(shù)f(x)＝1＋ax的圖像上，則f(x)的反函數(shù)f－1(x)＝________.
15．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝g(x)＝a2x的反函數(shù)(a>0，且a≠1)，且f(4)＝1，則a＝________.
16．若函數(shù)y＝f(x)的圖像過點(diǎn)(0,1)，則函數(shù)g(x)＝f(4－x)的反函數(shù)的圖像過點(diǎn)________．
17．已知f(x)＝，其反函數(shù)為f－1(x)，若f－1(x)－a＝f(x＋a)有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為________．
知識(shí)點(diǎn)三　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
18．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2a＝，b＝，c＝log2c，則(　　)
A．a(chǎn)0)
C．y＝ln x(x>0) D．y＝ln (2x)(x>0)
答案　C
解析　y＝e2x>0,2x＝ln y，x＝ln y，∴y＝e2x的反函數(shù)為y＝ln x，x>0.
2．已知函數(shù)y＝log3(3－x)(0≤x2，∴y＝x2＋1>3.對(duì)調(diào)函數(shù)中的x和y得x＝y(tǒng)2＋1，解得y＝.∴所求反函數(shù)為y＝(x>3)．
4．已知函數(shù)y＝3x－2a的反函數(shù)是y＝bx＋，則(　　)
A．a(chǎn)＝－6，b＝ B．a(chǎn)＝1，b＝
C．a(chǎn)＝6，b＝－ D．a(chǎn)＝，b＝－
答案　B
解析　∵函數(shù)y＝3x－2a，∴x＝，互換x，y，得函數(shù)y＝3x－2a的反函數(shù)是y＝x＋a，x∈R.∵函數(shù)y＝3x－2a的反函數(shù)是y＝bx＋，∴解得a＝1，b＝.故選B.
5．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈D的值域是{1,4,9}，且函數(shù)f(x)存在反函數(shù)，這樣的f(x)共有________個(gè)．
答案　8
解析　當(dāng)x2＝1時(shí)，x＝±1；當(dāng)x2＝4時(shí)，x＝±2；當(dāng)x2＝9時(shí)，x＝±3.若函數(shù)f(x)存在反函數(shù)，則一個(gè)y只能對(duì)應(yīng)一個(gè)x，列舉如下：

故這樣的f(x)共有8個(gè)．
6．若函數(shù)f(x)＝的反函數(shù)是其本身，則實(shí)數(shù)a＝________.
答案　－2
解析　函數(shù)y＝f(x)＝的反函數(shù)為x＝，即y＝，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝的反函數(shù)是其本身，所以＝，所以a＝－2.
7．已知函數(shù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝lg (x＋1)，令函數(shù)g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，則g(x)的反函數(shù)為________________．
答案　g－1(x)＝3－10x(0≤x≤lg 2)
解析　當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，0≤－x≤1，∴f(x)＝f(－x)＝lg (－x＋1)；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，－1≤x－2≤0，∴f(x)＝f(x－2)＝lg [－(x－2)＋1]＝lg (－x＋3)．∴g(x)＝lg (－x＋3)(1≤x≤2)，∴－x＋3＝10g(x)，∴x＝3－10g(x)．故反函數(shù)為g－1(x)＝3－10x(0≤x≤lg 2)．
8．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．
(1)當(dāng)a＝－時(shí)，判定此函數(shù)有沒有反函數(shù)，并說明理由；
(2)當(dāng)a為何值時(shí)，此函數(shù)存在反函數(shù)？并求出此函數(shù)的反函數(shù)f－1(x)．
解　(1)當(dāng)a＝－時(shí)，f(x)＝x2＋x＋2＝2＋，x∈[－1，1]，顯然函數(shù)不單調(diào)，所以此時(shí)沒有反函數(shù)．
(2)函數(shù)存在反函數(shù)時(shí)必須在[－1,1]上單調(diào)，而f(x)＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]，對(duì)稱軸x＝a，所以a≥1或a≤－1.當(dāng)a≥1時(shí)，f－1(x)＝a－，x∈[3－2a,3＋2a]；當(dāng)a≤－1時(shí)，f－1(x)＝a＋，x∈[3＋2a,3－2a]．
知識(shí)點(diǎn)二　反函數(shù)的圖像與性質(zhì)
9．函數(shù)y＝log2的反函數(shù)的定義域?yàn)?　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案　A
解析　反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域．由>0可得log2∈R，所以原函數(shù)的值域?yàn)镽，故它的反函數(shù)的定義域?yàn)镽.故選A.
10．已知x>0，f(x)＝log3x2的值域是[－1,1]，則它的反函數(shù)f－1(x)的值域是(　　)
A．[－1,1]
B．(0，＋∞)
C.∪
D.
答案　D
解析　∵f(x)＝log3x2的值域是[－1,1]，∴－1≤log3x2≤1，即≤x2≤3，而x>0，∴x∈.∵反函數(shù)的值域?yàn)樵瘮?shù)的定義域，∴反函數(shù)f－1(x)的值域是.
11．如圖，已知函數(shù)f(x)＝3x－1，則它的反函數(shù)y＝f－1(x)的大致圖像是(　　)


答案　C
解析　由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝log3x＋1，∴圖像為C.
12．已知函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)為y＝f－1(x)，則函數(shù)y＝f(－x)與y＝－f－1(x)的圖像(　　)
A．關(guān)于y軸對(duì)稱
B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱
D．關(guān)于直線x－y＝0對(duì)稱
答案　D
解析　函數(shù)y＝f(－x)與y＝－f－1(x)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線x－y＝0對(duì)稱．故選D.
13．給出下列命題：
(1)若奇函數(shù)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)也是奇函數(shù)；
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上存在反函數(shù)的充要條件是f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)；
(3)函數(shù)f(x)在定義域D上的反函數(shù)為f－1(x)，則對(duì)于任意的x0∈D都有f(f－1(x0))＝f－1(f(x0))＝x0成立．
其中正確的命題為(　　)
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(3) D．(1)(2)(3)
答案　A
解析　(1)設(shè)奇函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f－1(x)，∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即f－1(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．假設(shè)f(x)＝y(tǒng)，則f(－x)＝－y.∴f－1(y)＝x，f－1(－y)＝－x.∴f－1(－y)＝－f－1(y)，即f－1(－x)＝－f－1(x)．∴f－1(x)是奇函數(shù)．故(1)正確；
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上存在反函數(shù)，不一定f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，
比如f(x)＝存在反函數(shù)，但f(x)在R上不單調(diào)，故(2)不正確；
(3)x0不一定屬于f(x)的值域，即f－1(x0)不一定存在，故(3)不正確．故選A.
14．已知點(diǎn)(3,9)在函數(shù)f(x)＝1＋ax的圖像上，則f(x)的反函數(shù)f－1(x)＝________.
答案　log2(x－1)(x>1)
解析　∵(3,9)在函數(shù)f(x)上，∴1＋a3＝9，解得a＝2，∴f(x)＝1＋2x，又f(x)>1，∴f－1(x)＝log2(x－1)(x>1)．
15．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝g(x)＝a2x的反函數(shù)(a>0，且a≠1)，且f(4)＝1，則a＝________.
答案　2
解析　由y＝f(x)與y＝g(x)互為反函數(shù)，且f(4)＝1，得g(1)＝4，所以a2＝4，a＝2.
16．若函數(shù)y＝f(x)的圖像過點(diǎn)(0,1)，則函數(shù)g(x)＝f(4－x)的反函數(shù)的圖像過點(diǎn)________．
答案　(1,4)
解析　∵y＝f(x)的圖像過點(diǎn)(0,1)，∴f(4－x)的圖像過點(diǎn)(4,1)，∴g(x)＝f(4－x)的反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(1,4)．
17．已知f(x)＝，其反函數(shù)為f－1(x)，若f－1(x)－a＝f(x＋a)有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為________．
答案　
解析　因?yàn)閥＝f－1(x)－a與y＝f(x＋a)互為反函數(shù)，所以二者關(guān)于y＝x對(duì)稱．若y＝f－1(x)－a與y＝f(x＋a)有實(shí)數(shù)根，則y＝f(x＋a)與y＝x有交點(diǎn)，所以＝x，即a＝x2－x＋1＝2＋≥.
知識(shí)點(diǎn)三　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
18．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2a＝，b＝，c＝log2c，則(　　)
A．a(chǎn)0，且a≠1)的圖像過點(diǎn)(a，)，即aa＝＝，故a＝.
6．函數(shù)y＝(x≠0)的反函數(shù)的圖像大致是(　　)

答案　B
解析　y＝(x≠0)的反函數(shù)為y＝(x≠－1)，其圖像為y＝的圖像向左平移1個(gè)單位長度．
7．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－1,1]，其圖像如圖所示，則不等式－1≤f－1(x)≤的解集是(　　)

A.
B.
C．[－2,0)∪
D．[－1,0]∪
答案　C
解析　由題意，可得－1≤f－1(x)≤的解集即為f(x)在上的值域．當(dāng)－1≤x＜0時(shí)，由題圖可知f(x)∈[－2,0)，當(dāng)0≤x≤時(shí)，由題圖可知f(x)∈.故不等式－1≤f－1(x)≤的解集為[－2,0)∪.
8．已知函數(shù)f(x)＝3x，函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù)，若正數(shù)x1，x2，…，x2020滿足x1x2…x2020＝81，則g(x)＋g(x)＋…＋g(x)的值等于(　　)
A．4 B．8
C．16 D．64
答案　B
解析　由函數(shù)f(x)＝3x，函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù)，則g(x)＝log3x，所以g(x)＋g(x)＋…＋g(x)＝log3(x1x2…x2020)2＝2log3(x1x2…x2020)＝2log381＝8.故選B.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列說法中正確的是(　　)
A．一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)一定存在反函數(shù)
B．若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則f(x)不存在反函數(shù)
C．若函數(shù)y＝f(x)的圖像位于第一、二象限，則它的反函數(shù)y＝f－1(x)的圖像位于第一、四象限
D．若函數(shù)f(x)存在反函數(shù)f－1(x)，則f－1(x)與f(x)圖像的公共點(diǎn)必在直線y＝x上
答案　AC
解析　對(duì)于A，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)為單調(diào)函數(shù)，一定存在反函數(shù)，故正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝在定義域上不單調(diào)，但函數(shù)f(x)存在反函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樵瘮?shù)與它的反函數(shù)的圖像關(guān)于y＝x對(duì)稱，所以將y＝f(x)的圖像沿y＝x翻折后，會(huì)落在第一、四象限，故正確；對(duì)于D，比如函數(shù)y＝－與其反函數(shù)y＝x2－1(x≤0)的交點(diǎn)坐標(biāo)有(－1,0)，(0，－1)，顯然交點(diǎn)不在直線y＝x上，故錯(cuò)誤．故選AC.
10.在同一直角坐標(biāo)系下，函數(shù)y＝ax與y＝logax(a>0，a≠1)的大致圖像如圖所示，則實(shí)數(shù)a的可能值為(　　)

A. B．
C. D．
答案　BC
解析　由圖像可知a>1且a22＝>2，故A錯(cuò)誤；2＝0，a≠1)恒過(0,1)點(diǎn)，故(2,1)也一定不是好點(diǎn)；而(2,2)是函數(shù)y＝()x與的交點(diǎn)；(2,0.5)是函數(shù)y＝x與y＝log4x的交點(diǎn)；故選CD.
12．下列說法正確的是(　　)
A．函數(shù)y＝ax與y＝x圖像關(guān)于y軸對(duì)稱
B．函數(shù)y＝logax與y＝圖像關(guān)于x軸對(duì)稱
C．函數(shù)y＝ax與y＝logax圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱
D．函數(shù)y＝ax與y＝logax圖像關(guān)于y軸對(duì)稱
答案　ABC
解析　令a＝2，分別作出對(duì)應(yīng)的圖像，由圖像可知，對(duì)于A，∵函數(shù)y＝ax與y＝x圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，∵函數(shù)y＝logax與y＝圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，D，∵函數(shù)y＝ax與y＝logax圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，故C正確，D不正確．故選ABC.

三、填空題
13．函數(shù)f(x)＝－x2(x∈(－∞，－2])的反函數(shù)f－1(x)＝________.
答案?。?，x∈(－∞，－4]
解析　由y＝－x2，x∈(－∞，－2]，得y∈(－∞，－4]，
∴x＝－，即f－1(x)＝－，x∈(－∞，－4]．
14．已知函數(shù)f(x)＝ax－k的圖像過點(diǎn)(1,3)，其反函數(shù)y＝f－1(x)的圖像過點(diǎn)(2,0)，則f(x)的表達(dá)式為________．
答案　f(x)＝2x＋1
解析　∵y＝f－1(x)的圖像過點(diǎn)(2,0)，
∴f(x)的圖像過點(diǎn)(0,2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1，
∴f(x)＝ax＋1.
又f(x)的圖像過點(diǎn)(1,3)，
∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
15．已知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)＝的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則函數(shù)f(x2＋2x)的單調(diào)增區(qū)間是________．
答案　(－∞，－1]
解析　由題意得f(x)＝x，∴f(x2＋2x)＝，∵f(x)在R上是減函數(shù)，∴由同增異減的原則可知，所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即為t＝x2＋2x的單調(diào)減區(qū)間，即(－∞，－1]．
16．已知函數(shù)f(x)＝loga(a>0，b≠0)，則f(x)的值域?yàn)開___________，f(x)的反函數(shù)f－1(x)的解析式為________________．
答案　(－∞，0)∪(0，＋∞)　f－1(x)＝b·
解析　∵b≠0，∴≠1，∴f(x)＝loga≠0.由y＝loga，化為＝ay，解得x＝b·.把x與y互換可得y＝b·，∴f(x)的反函數(shù)f－1(x)＝b·.
四、解答題
17．若不等式4x－logax＜0，當(dāng)x∈時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解　要使不等式4x＜logax在x∈時(shí)恒成立，即函數(shù)y＝logax的圖像在內(nèi)恒在函數(shù)y＝4x圖像的上方，而y＝4x的圖像過點(diǎn).
由圖可知，loga≥2，顯然這里0＜a＜1，

∴函數(shù)y＝logax遞減．
又loga≥2＝logaa2，∴a2≥，
又0

相關(guān)試卷

數(shù)學(xué)必修 第二冊(cè)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系練習(xí)：

這是一份數(shù)學(xué)必修 第二冊(cè)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系練習(xí)，共18頁。試卷主要包含了3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)必修 第二冊(cè)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系精品同步測(cè)試題：

這是一份數(shù)學(xué)必修 第二冊(cè)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系精品同步測(cè)試題，共17頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教B版 (2019)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系課后復(fù)習(xí)題：

這是一份人教B版 (2019)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系課后復(fù)習(xí)題，共6頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系練習(xí)題

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系練習(xí)題
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系課時(shí)作業(yè)

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系課時(shí)作業(yè)
數(shù)學(xué)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題

數(shù)學(xué)4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題
人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)4.4 冪函數(shù)同步達(dá)標(biāo)檢測(cè)題

人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)4.4 冪函數(shù)同步達(dá)標(biāo)檢測(cè)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部