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知識點(diǎn)1　反函數(shù)的概念1.一般地,如果在函數(shù)y=f(x)中,給定值域中　　　　　　　　　　的值,只有　　　　　　　　與之對應(yīng),那么　　　　　　　　,這個函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù).此時,稱y=f(x)存在反函數(shù).而且,如果函數(shù)的自變量仍用x表示,因變量仍用y表示,則函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的表達(dá)式,可以通過對調(diào)y=f(x)中的x與y,然后從x=f(y)中求出y得到.?2.反函數(shù)的記法一般地,函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)記作　　　　　.?
名師點(diǎn)睛1.反函數(shù)概念的理解當(dāng)一個函數(shù)的自變量和因變量一一對應(yīng)時,可以把這個函數(shù)的自變量作為一個新的函數(shù)的因變量,而把這個函數(shù)的因變量作為新的函數(shù)的自變量,我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù).2.反函數(shù)的性質(zhì)(1)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.(2)若函數(shù)y=f(x)圖象上有一點(diǎn)(a,b),則點(diǎn)(b,a)必在其反函數(shù)的圖象上;反之,若點(diǎn)(b,a)在反函數(shù)的圖象上,則點(diǎn)(a,b)必在原函數(shù)的圖象上.(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性相同.(4)y=f(x)的定義域與y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域與y=f-1(x)的定義域相同.
特別提醒只有自變量和因變量一一對應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù),如一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)、反比例函數(shù)y= (k≠0)、指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)、對數(shù)函數(shù)y=lgax(a>0且a≠1),都有反函數(shù).像二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),在整個定義域上沒有反函數(shù),因為關(guān)于對稱軸x=- 對稱的兩個不同的自變量對應(yīng)同一個函數(shù)值,它不是自變量和因變量一一對應(yīng)的函數(shù),所以沒有反函數(shù).
過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)任意一個函數(shù)都有反函數(shù).(　　)(2)y=2x與 互為反函數(shù).(　　)(3)函數(shù)y=ex的圖象與y=ln x的圖象關(guān)于直線y=x對稱.(　　)
2.函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y=lgax(a>0且a≠1)的解析式有何內(nèi)在聯(lián)系?
提示 根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化可知y=ax可化為對數(shù)式“x=lgay”,再將等式“x=lgay”中的x,y互換,也就形成了對數(shù)函數(shù)y=lgax,從這一過程可以看出y=ax與y=lgax的定義域和值域是互換的.
3.函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y=lgax(a>0且a≠1)的單調(diào)性一致嗎?
提示 當(dāng)00且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=lgax(a>0且a≠1)互為反函數(shù),它們的圖象和性質(zhì)對比如下表:
過關(guān)自診1.[2023廣西百色高一?？糫設(shè)a∈R,若f(x)=lg2(x+a)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,1),則a=(　　)A.7B.3C.1D.-1
解析 ∵f(x)=lg2(x+a)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,1),∴f(x)=lg2(x+a)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),∴f(1)=lg2(1+a)=3,解得a=7.故選A.
2.函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)存在,若點(diǎn)(2,1)在y=f(x)的圖象上,則其反函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)　　　　　　　　.?3.函數(shù)y=ln(2x)的反函數(shù)是　　　　　　　　　.?
【例1】 求下列函數(shù)的反函數(shù):(1)f(x)= ;(2)f(x)=5x+1.
規(guī)律方法　求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1(x)的主要步驟(1)令y=f(x),對調(diào)其中的x和y,得x=f(y);(2)從x=f(y)中解出y=φ(x);(3)寫出反函數(shù)f-1(x)的解析式.簡記為“一換、二解、三寫”.
變式訓(xùn)練1[北師大版教材例題]寫出下列對數(shù)函數(shù)的反函數(shù):(1)y=lg x;(2)
解 因為對數(shù)函數(shù)y=lg x的底數(shù)是10,所以它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=10x.
探究點(diǎn)二　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系
【例2】 (1)已知a>0且a≠1,則函數(shù)y=ax與y=lga(-x)的圖象可能是(　　)
解析 (方法一)首先,曲線y=ax只可能在x軸上方,y=lga(-x)只可能在y軸左邊,從而排除A,C.其次,從單調(diào)性著眼.y=ax與y=lga(-x)的單調(diào)性正好相反,又可排除D.故選B.(方法二)若00,且a≠1)的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,3),則f(lg28)=(　　)A.-1B.1C.2D.3
解析 依題意,函數(shù)f(x)=lgax(a>0,且a≠1)的反函數(shù)是y=ax,即函數(shù)y=ax的圖象過點(diǎn)(1,3),則a=3,f(x)=lg3x,于是得f(lg28)=lg3(lg28)=lg33=1,所以f(lg28)=1.故選B.

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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