4.3　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)(教師獨(dú)具)1．了解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，弄清它們的圖像間的對(duì)稱關(guān)系．(重點(diǎn))2．利用圖像比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的差異．3．利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．(難點(diǎn))1．通過(guò)反函數(shù)概念及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像間的關(guān)系學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．借助指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng).圖中給出了指數(shù)函數(shù)y＝2x，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像，解決下面的問(wèn)題：問(wèn)題：(1)y＝2x圖像上的點(diǎn)(0,1)與y＝log2x圖像上的點(diǎn)(1,0)關(guān)于哪一條直線對(duì)稱？(2)y＝2x圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)都在y＝log2x的圖像上嗎？反過(guò)來(lái)，y＝log2x圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)都在y＝2x的圖像上嗎？(3)如何由y＝2x變換出y＝log2x?[提示]　(1)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．(2)都在y＝log2x的圖像上，都在y＝2x的圖像上．(3)y＝2xx＝log2yy＝log2x.知識(shí)點(diǎn)1　反函數(shù)的概念與記法1．反函數(shù)的概念一般地，如果在函數(shù)y＝f(x)中，給定值域中任意一個(gè)y的值，只有唯一的x與之對(duì)應(yīng)，那么x是y的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為y＝f(x)的反函數(shù)，此時(shí)，稱y＝f(x)存在反函數(shù)．2．反函數(shù)的記法函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)通常用y＝f－1(x)表示．如何準(zhǔn)確理解反函數(shù)的定義？[提示]　(1)反函數(shù)的定義域和值域正好是原函數(shù)的值域和定義域．(2)對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y＝f(x)，不一定總有反函數(shù)，只有當(dāng)一個(gè)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，這個(gè)函數(shù)才存在反函數(shù)．如y＝x2＋1(x∈R)就沒(méi)有反函數(shù)，因?yàn)樗?/span>R上不是單調(diào)函數(shù)．(3)反函數(shù)也是函數(shù)，因?yàn)樗虾瘮?shù)的定義．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)函數(shù)y＝的反函數(shù)是y＝logx. (　　)(2)函數(shù)y＝log3x的反函數(shù)的值域?yàn)?/span>R. (　　)(3)函數(shù)y＝ex的圖像與y＝lg x的圖像關(guān)于y＝x對(duì)稱． (　　)[提示]　(1)×.函數(shù)y＝的反函數(shù)是y＝logx(x>0)．(2)×.函數(shù)y＝log3x的反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域，故y＝log3x的反函數(shù)的值域?yàn)?/span>(0，＋∞)．(3)×.互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以函數(shù)y＝ex的圖像與y＝ln x的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，函數(shù)y＝lg x的圖像與y＝10x的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．[答案]　(1)×　(2)×　(3)×知識(shí)點(diǎn)2　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)．(2)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．2.若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)等于(　　)A．log2x　　　　　 B．C．logx D．2x－2A　[y＝ax的反函數(shù)為f(x)＝logax，則1＝loga2，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.]3.函數(shù)y＝x＋3的反函數(shù)為__________．y＝x－3(x∈R)　[由y＝x＋3，得x＝y－3，x，y互換得y＝x－3，所以原函數(shù)的反函數(shù)為y＝x－3(x∈R)．] 類型1　求函數(shù)的反函數(shù)【例1】　(對(duì)接教材P31例2)求下列函數(shù)的反函數(shù)．(1)y＝；(2)y＝5x＋1；(3)y＝x2(x≤0)．[解]　(1)由y＝，得x＝logy，且y>0，∴f－1(x)＝logx(x>0)．(2)由y＝5x＋1，得x＝，∴f－1(x)＝(x∈R)．(3)由y＝x2得x＝±.因?yàn)?/span>x≤0，所以x＝－.所以f－1(x)＝－(x≥0)．求反函數(shù)的一般步驟有哪幾步？[提示]　(1)求值域：由函數(shù)y＝f(x)求y的范圍．(2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x不唯一，要根據(jù)條件中x的范圍決定取舍，只取一個(gè)．(3)得反函數(shù)：將x，y互換得y＝f－1(x)，注意定義域得反函數(shù)．提醒：求反函數(shù)時(shí)，若原函數(shù)y＝f(x)的定義域有限制條件，其反函數(shù)的定義域只能是根據(jù)原函數(shù)的值域來(lái)求．1．(1)已知函數(shù)y＝ex的圖像與函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則(　　)A．f(2x)＝e2x(x∈R)B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0)C．f(2x)＝2ex(x∈R)D．f(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)(2)求函數(shù)y＝0.2x＋1(x≤1)的反函數(shù)．(1)D　[由題意知函數(shù)y＝ex與函數(shù)y＝f(x)互為反函數(shù)，y＝ex>0，所以f(x)＝ln x(x>0)．則f(2x)＝ln(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)．](2)[解]　由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)，對(duì)換x，y得y＝log0.2(x－1)．∵原函數(shù)中x≤1，y≥1.2，∴反函數(shù)的定義域?yàn)?/span>[1.2，＋∞)，因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函數(shù)是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)． 類型2　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像之間的關(guān)系【例2】　(1)已知a>0，且a≠1，則函數(shù)y＝ax與y＝logax的圖像只能是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　D(2)當(dāng)a>1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖像是圖中的(　　)A　　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　　D(1)C　(2)A　[(1)y＝ax與y＝logax的單調(diào)性一致，故排除A、B；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，排除D；當(dāng)a＞1時(shí)，C正確．(2)因?yàn)?/span>a>1時(shí)，y＝a－x＝,0<<1是減函數(shù)，恒過(guò)(0,1)點(diǎn)，y＝logax為增函數(shù)，恒過(guò)(1,0)點(diǎn)，故選A．]互為反函數(shù)的圖像有什么特點(diǎn)？[提示]　(1)互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)．(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性一致．(3)若一奇函數(shù)有反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)．2．(1)已知函數(shù)f(x)＝ax＋b的圖像過(guò)點(diǎn)(1,7)，其反函數(shù)f－1(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,0)，則f(x)的表達(dá)式為(　　)A．4x＋3　　B．3x＋4　　C．5x＋2　　D．2x＋5(2)若函數(shù)y＝的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則a的值為______．(1)A　(2)－1　[(1)∵f(x)的反函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(4,0)，∴f(x)的圖像過(guò)(0,4)，又f(x)＝ax＋b的圖像過(guò)點(diǎn)(1,7)，所以有方程組∴a＝4且b＝3，故f(x)的表達(dá)式為4x＋3，選A．(2)由y＝可得x＝，則原函數(shù)的反函數(shù)是y＝，所以＝，得a＝－1．] 類型3　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用1．觀察函數(shù)y＝2x與y＝log2x的圖像，指出兩個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)有怎樣的差異？[提示]　根據(jù)圖像，可以看到，在區(qū)間[1，＋∞)內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝2x隨著x的增長(zhǎng)，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度逐漸加快，而對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的增長(zhǎng)速度逐漸變得很緩慢．2．你能列表對(duì)底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)從多個(gè)方面分析它們的差異嗎？[提示]　 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)圖像定義域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R性質(zhì)當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1；在R上是增函數(shù)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0；在(0，＋∞)上是增函數(shù)【例3】　已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0.(1)求a的值，并判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函數(shù)；(3)對(duì)任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2.[思路探究]　(1)判斷奇偶性?奇偶性定義．(2)求反函數(shù)?反解，改寫，標(biāo)注定義域．(3)對(duì)數(shù)不等式?構(gòu)建不等式組?解不等式組?得出解集．[解]　(1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝.因?yàn)?/span>f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)為奇函數(shù)．(2)因?yàn)?/span>f(x)＝y＝＝1－，所以2x＝(－1<y<1)，所以f－1(x)＝log2(－1<x<1)．(3)因?yàn)?/span>f－1(x)>log2，即log2>log2，所以所以所以當(dāng)0<k<2時(shí)，原不等式的解集為{x|1－k<x<1}；當(dāng)k≥2時(shí)，原不等式的解集為{x|－1<x<1}．(變結(jié)論)本例中的條件不變，如何判斷f－1(x)的單調(diào)性，并給出證明．[解]　由原題解答知：f－1(x)＝log2(－1<x<1)．任?。?/span>1<x1<x2<1，則令t(x)＝＝＝－1＋，所以t(x1)－t(x2)＝－＝－＝＝.因?yàn)椋?/span>1<x1<x2<1，所以1－x1>0,1－x2>0，x1－x2<0，所以t(x1)－t(x2)<0，t(x1)<t(x2)，所以log2t(x1)<log2t(x2)，即f－1(x1)<f－1(x2)，所以函數(shù)f－1(x)為(－1,1)上的增函數(shù)．解對(duì)數(shù)不等式的常見解法(1)借助對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為真數(shù)的不等式，最后與定義域取交集即得原不等式的解集．(2)底數(shù)中若含有變量，一定要注意底數(shù)大于0且不等于1，并注意與1的大小的討論．1．若函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(1,5)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像必過(guò)點(diǎn)(　　)A．(1,1) B．(1,5)　　　C．(5,1)　　　 D．(5,5)C　[原函數(shù)與它的反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，因?yàn)?/span>y＝f(x)的反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(1,5)，而點(diǎn)(1,5)關(guān)于y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(5,1)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖像必過(guò)點(diǎn)(5,1)．]2．函數(shù)y＝log3 x的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，則其反函數(shù)的值域是(　　)A．(0，＋∞) B．RC．(－∞，0) D．(0,1)A　[由原函數(shù)與反函數(shù)間的關(guān)系知，反函數(shù)的值域?yàn)樵瘮?shù)的定義域．]3．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，a)，則f(x)＝(　　)A．log2x B．logxC． D．x2B　[因?yàn)?/span>y＝ax的反函數(shù)為y＝logax.又此函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，a)，因此loga＝a，解得a＝，所以f(x)＝logx.]4．下列函數(shù)中，反函數(shù)是其自身的函數(shù)為(　　)A．f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)B．f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)C．f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)D．f(x)＝，x∈(0，＋∞)D　[f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的反函數(shù)為f－1(x)＝，x∈[0，＋∞)；f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)的反函數(shù)為f－1(x)＝，x∈(－∞，＋∞)；f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)的反函數(shù)為f－1(x)＝ln x，x∈(0，＋∞)；只有f(x)＝，x∈(0，＋∞)的反函數(shù)仍為f－1(x)＝，x∈(0，＋∞)．]5．已知f(x)＝2x＋b的反函數(shù)為f－1(x)，若y＝f－1(x)的圖像過(guò)點(diǎn)Q(5,2)，則b＝________.1　[f－1(x)的圖像過(guò)Q(5,2)，則f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,5)，則f(2)＝5，即22＋b＝5，解得b＝1．]回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問(wèn)題：1．互為反函數(shù)的圖像間有怎樣的關(guān)系？[提示]　若函數(shù)y＝f(x)(定義域?yàn)?/span>A，值域?yàn)?/span>B)存在反函數(shù)y＝f－1(x)，則(1)y＝f(x)與y＝f－1(x)的圖像不一定有交點(diǎn)，若有交點(diǎn)，它們的交點(diǎn)不一定在直線y＝x上．(2)若b＝f(a)，則a＝f－1(b)，f－1[f(a)]＝a，f[f－1(b)]＝b.(3)若f(x)＝f－1(x)?f(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．2．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是什么？[提示]　本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是求反函數(shù)時(shí)忘記寫反函數(shù)的定義域．

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

4.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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