一、選擇題
1．下列三個命題：
（1）0是的真子集；
（2）函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)；
（3）存在反函數(shù)的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù).
正確的個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函數(shù)f（x）=2x的反函數(shù)為y=g（x），則g（）的值為（ ）
A．B．1C．12D．2
3．若函數(shù)的圖像位于第一、二象限，則它的反函數(shù)的圖像位于（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限
4．函數(shù)是（，且）的反函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．10 B．-1 C．2 D．-2
6．如果函數(shù)的反函數(shù)是增函數(shù)，那么函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函數(shù)，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．已知f（x）=ax，g（x）=lgax（a＞0，且a≠1），若f（3）?g（3）＜0，那么f（x）與g（x）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知a＞1，函數(shù)y=ax與y=lga（-x）的圖象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．若函數(shù)（，且）在上的最大值為4，且函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．已知函數(shù)，函數(shù)是的反函數(shù)，若正數(shù)滿足，則的值等于（ ）
A．4B．8C．16D．64
二、填空題
13．函數(shù)的反函數(shù)是______．
14．函數(shù)且的反函數(shù)過點(diǎn)，則______．
15．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)的圖象上，則 ______．
16．給出下列四個結(jié)論
函數(shù)的最大值為；
已知函數(shù)且在上是減函數(shù)，則a的取值范圍是；
在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱；
在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱．
其中正確結(jié)論的序號是______．
三、解答題
17．已知集合A={x|lg2（2x-4）≤1），B={y|y=（）x，x}，求A∩B．
18．已知函數(shù).
（1）求的反函數(shù)；
（2）若，求的取值范圍.
19．已知且
（1）求的取值范圍
（2）在(1)的條件下,求函數(shù)的最大值和最小值.
20．已知函數(shù)的反函數(shù)為，．
（1）求的解析式，并指出的定義域；
（2）設(shè)，求函數(shù)的零點(diǎn).
21．已知函數(shù)的最大值與最小值之和為a2+a+1（a＞1）．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)g（x）=f（x）-3在[1，2]的零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由．
22．已知函數(shù)，.
（1）解不等式：；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)的反函數(shù)為，且，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，試比較與的大小.
第四章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)
4.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
一、選擇題
1．下列三個命題：
（1）0是的真子集；
（2）函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)；
（3）存在反函數(shù)的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù).
正確的個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
（1）因?yàn)?不是一個集合，所以0是的真子集說法錯誤.
（2）令，但是，所以（2）的結(jié)論錯誤.
（3）函數(shù)的反函數(shù)為：，此函數(shù)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).
故選：A
2．已知函數(shù)f（x）=2x的反函數(shù)為y=g（x），則g（）的值為（ ）
A．B．1C．12D．2
【答案】A
【解析】
∵由，得
∴原函數(shù)的反函數(shù)為，
則．
故選：A．
3．若函數(shù)的圖像位于第一、二象限，則它的反函數(shù)的圖像位于（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限
【答案】D
【解析】
結(jié)合函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于得出，即可得出反函數(shù)位于第一、四象限，即可.
4．函數(shù)是（，且）的反函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
∵函數(shù)是（，且）的反函數(shù)，
∴，
∴,對錯；
，對；
，對，故選D．
5．若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．10 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【解析】
與關(guān)于對稱為的反函數(shù)

本題正確選項(xiàng)：
6．如果函數(shù)的反函數(shù)是增函數(shù)，那么函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函數(shù)的反函數(shù)是增函數(shù)，
為增函數(shù)，，
為減函數(shù)，可排除；
又排除，故選C.
7．已知函數(shù)，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
根據(jù)題意：
若，解可得，則
故
本題正確選項(xiàng)：
8．已知f（x）=ax，g（x）=lgax（a＞0，且a≠1），若f（3）?g（3）＜0，那么f（x）與g（x）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，
f（x）=ax，g（x）=lgax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上單調(diào)性相同，可排除B、D，再由關(guān)系式f（3）?g（3）＜0可排除A.
故選：C．
9．已知a＞1，函數(shù)y=ax與y=lga（-x）的圖象只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因?yàn)?，所以函?shù)是增函數(shù)，排除選項(xiàng)；
而函數(shù)的定義域?yàn)?，且在定義域內(nèi)為減函數(shù)，排除，
故選B．
10．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由題意得4x-≤lgax在上恒成立，
即當(dāng)時，函數(shù)的圖象不在y=lgax圖象的上方，
由圖知：當(dāng)a＞1時，函數(shù)的圖象在y=lgax圖象的上方；
當(dāng)0＜a＜1時， ，解得 ．
故選：A．

11．若函數(shù)（，且）在上的最大值為4，且函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，據(jù)此可知：，滿足題意；
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，據(jù)此可知：，不合題意；
故，函數(shù)單調(diào)遞增，
若函數(shù)在上是減函數(shù)，則，據(jù)此可得.
本題選擇A選項(xiàng).
12．已知函數(shù)，函數(shù)是的反函數(shù)，若正數(shù)滿足，則的值等于（ ）
A．4B．8C．16D．64
【答案】B
【解析】
由函數(shù)，函數(shù)是的反函數(shù)，
則，
所以，
故選：B．
二、填空題
13．函數(shù)的反函數(shù)是______．
【答案】
【解析】
由得，即：，
又原函數(shù)的值域是，
函數(shù)的反函數(shù)是．
故答案為：．
14．函數(shù)且的反函數(shù)過點(diǎn)，則______．
【答案】3
【解析】
由函數(shù)，且的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
可得：圖象過點(diǎn)，
，
又，．
故答案為：3．
15．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)的圖象上，則 ______．
【答案】
【解析】
根據(jù)題意：令，所以，此時，所以定點(diǎn)坐標(biāo)是，
所以指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)，所以.
故答案為.
16．給出下列四個結(jié)論
函數(shù)的最大值為；
已知函數(shù)且在上是減函數(shù)，則a的取值范圍是；
在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱；
在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱．
其中正確結(jié)論的序號是______．
【答案】
【解析】
對于，函數(shù)的最大值為1，的最小值為，錯誤；
對于，函數(shù)且在上是減函數(shù)，
，
解得a的取值范圍是，錯誤；
對于，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于x軸對稱，錯誤；
對于，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，正確．
綜上，正確結(jié)論的序號是．
故答案為：．
三、解答題
17．已知集合A={x|lg2（2x-4）≤1），B={y|y=（）x，x}，求A∩B．
【答案】
【解析】
由lg2（2x-4）≤1，可得00.
∴B=.
∴．
18．已知函數(shù).
（1）求的反函數(shù)；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由得
互換、得：
∴函數(shù)的反函數(shù)是.
（2）由得
由，得
因?yàn)椋?，解?br>由
19．已知且
（1）求的取值范圍
（2）在(1)的條件下,求函數(shù)的最大值和最小值.
【答案】（1）．（2）f（x）min．f（x）max＝12．
【解析】
（1）由2x≤256得x≤8，lg2x得x，∴．
（2）由（1）得，
lg2x）2（1+）=（1+），
∴f（x）＝（1+）＝（lg2x+）2，
當(dāng)lg2x，f（x）min．
當(dāng)lg2x＝3，f（x）max＝12．
20．已知函數(shù)的反函數(shù)為，．
（1）求的解析式，并指出的定義域；
（2）設(shè)，求函數(shù)的零點(diǎn).
【答案】(1) 定義域?yàn)?(2)見解析
【解析】
（1），，
解不等式組可得的定義域?yàn)?
（2）函數(shù)的零點(diǎn)是方程的解.
，
因?yàn)?，所以?br>所以，即的值域?yàn)?
若，則方程無解；
若，則，所以，方程有且只有一個解；
若，則，所以，方程有兩個解.
綜上所述：
若，則無零點(diǎn)；
若，則有且只有一個零點(diǎn)；
若，則有兩個零點(diǎn).
21．已知函數(shù)的最大值與最小值之和為a2+a+1（a＞1）．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)g（x）=f（x）-3在[1，2]的零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由．
【答案】（1）；（2）一個零點(diǎn).
【解析】
（1）函數(shù)在a＞1時單調(diào)遞增，
又函數(shù)的最大值與最小值之和為a2+a+1．
∴f（1）+f（2）=0+a+lga2+a2=a2+a+1，解得a=2．
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）=lg2x+2x．
可得函數(shù)f（x）在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，
可得g（x）=f（x）-3在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，最多有一個零點(diǎn)．
∵g（1）=f（1）-3=2-3=-1＜0，g（2）=f（2）-3=-3=2＞0，
可得函數(shù)在[1，2]內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)．
22．已知函數(shù)，.
（1）解不等式：；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)的反函數(shù)為，且，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，試比較與的大小.
【答案】（1）或；（2）；（3）.
【解析】
（1）由，得或，
即或，
解得，
所以原不等式的解集為．
（2）令，得．
令，由，得，
則，其中．
令，則在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（3）由題意得，即，
因此，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，
所以，解得，
所以，，
因此．
另法：，
所以．

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4.3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系

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