課后素養(yǎng)落實(六)　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)y＝log3x的反函數(shù)是(　　)A．y＝logx　　　　　 B．y＝3xC．y＝ D．y＝x3B　[∵y＝log3x，∴3y＝x，∴函數(shù)y＝log3x的反函數(shù)是y＝3x，故選B．]2．函數(shù)y＝3x(0＜x≤2)的反函數(shù)的定義域為(　　)A．(0，＋∞) B．(1,9]C．(0,1) D．[9，＋∞)B　[由于反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域，∵0＜x≤2，∴y＝3x∈(1,9]，故y＝3x(0＜x≤2)的反函數(shù)的定義域為(1,9]．]3．函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的反函數(shù)y＝f－1(x)的定義域為(　　)A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)C　[y＝f－1(x)的定義域即為原函數(shù)的值域，∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.]4．函數(shù)y＝ex＋1的反函數(shù)是(　　)A．y＝1＋ln x (x>0) B．y＝1－ln x (x>0)C．y＝－1－ln x (x>0) D．y＝－1＋ln x (x>0)D　[由y＝ex＋1得x＋1＝ln y，即x＝－1＋ln y，所以所求反函數(shù)為y＝－1＋ln x (x>0)．故選D．]5．設(shè)a＝，b＝，c＝logx，若x>1，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)A．a<b<c B．b<c<aC．c<a<b D．b<a<cC　[∵x>1，∴a＝<＝，b＝>＝1，∴0<a<b，而y＝logx是減函數(shù)，∴logx<log1＝0.∴c<a<b.故選C．]二、填空題6．已知函數(shù)f(x)＝1＋logax，y＝f－1(x)是函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)，若y＝f－1(x)的圖像過點(2,4)，則a的值為________．4　[因為y＝f－1(x)的圖像過點(2,4)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖像過點(4,2)，又因為f(x)＝1＋logax，所以2＝1＋loga4，即a＝4.]7．函數(shù)f(x)＝的反函數(shù)為g(x)，那么g(x)的圖像一定過點________．(1,0)　[f(x)＝的反函數(shù)為g(x)＝logx，所以g(x)的圖像一定過點(1,0)．]8．已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋a)的反函數(shù)為y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，則實數(shù)a＝________.3　[函數(shù)f(x)＝log2(x＋a)的反函數(shù)為y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，則2＝log2(1＋a)，解得a＝3.]三、解答題9．求函數(shù)y＝2x＋1(x<0)的反函數(shù)．[解]　因為y＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2.所以1<y<2.由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)．所以f－1(x)＝log2(x－1)(1<x<2)．10．設(shè)方程2x＋x－3＝0的根為a，方程log2x＋x－3＝0的根為b，求a＋b的值．[解]　將方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如圖可知，a是指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖像與直線y＝－x＋3交點A的橫坐標(biāo)，b是對數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像與直線y＝－x＋3交點B的橫坐標(biāo)．由于函數(shù)y＝2x與y＝log2x互為反函數(shù)，所以它們的圖像關(guān)于直線y＝x對稱，由題意可得出A，B兩點也關(guān)于直線y＝x對稱，于是A，B兩點的坐標(biāo)為A(a，b)，B(b，a)．而A，B都在直線y＝－x＋3上，所以b＝－a＋3(A點坐標(biāo)代入)，或a＝－b＋3(B點坐標(biāo)代入)，故a＋b＝3.11．將y＝2x的圖像________，再作關(guān)于直線y＝x對稱的圖像，可得到函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖像(　　)A．先向上平移一個單位長度B．先向右平移一個單位長度C．先向左平移一個單位長度D．先向下平移一個單位長度D　[將y＝2x向下平移一個單位得到y＝2x－1，再作關(guān)于直線y＝x對稱的圖像即可得到．故選D．]12．(多選題)已知f(x)＝則下列結(jié)論正確的是(　　)A．f(f(1))＝ B．f(f(－1))＝C．f(f(0))＝ D．f＝2 019ACD　[f(f(1))＝f＝＝，選項A正確；f(f(－1))＝f(2)＝0≠，選項B不正確；f(f(0))＝f(1)＝，選項C正確；f＝f＝＝2log22 019＝2 019，選項D正確．]13．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax(a>0且a≠1)滿足f(27)＝3，則f－1(log92)的值是__________．　[∵f(27)＝3，∴loga27＝3，解得a＝3.∴f(x)＝log3x，∴f－1(x)＝3x.所以f－1(log92)＝3＝3＝.]14．把下面不完整的命題補充完整，并使其成為真命題．若函數(shù)f(x)＝3＋log2x的圖像與g(x)的圖像關(guān)于________對稱，則函數(shù)g(x)＝________.(注：填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可，不必考慮所有可能的情形)[答案]　①x軸?。?/span>3－log2x②y軸　3＋log2(－x)③原點?。?/span>3－log2(－x)④直線y＝x　2x－3(答案不唯一，寫出符合題意的一種即可)15．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．[解]　(1)要使函數(shù)有意義，必須ax－1>0，得ax＞1．當(dāng)a>1時，x>0；當(dāng)0<a<1時，x<0.∴當(dāng)a>1時，f(x)的定義域為(0，＋∞)；當(dāng)0<a<1時，f(x)的定義域為(－∞，0)．(2)當(dāng)a>1時，設(shè)0<x1<x2，則1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴loga(ax1－1)<loga(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2)．故當(dāng)a>1時，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；類似地，當(dāng)0<a<1時，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．(3)令y＝loga(ax－1)，則ay＝ax－1，∴x＝loga(ay＋1)．∴f－1(x)＝loga(ax＋1)．由f(2x)＝f－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，∴a2x－1＝ax＋1，解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，∴x＝loga2.

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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