4．3　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系 【課程標(biāo)準(zhǔn)】(1)了解反函數(shù)的定義．(2)了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．  新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教 材 要 點(diǎn)知識點(diǎn)一　反函數(shù)的定義(1)定義：如果在函數(shù)y＝f(x)中，給定值域中________________，只有________與之對應(yīng)，那么x是y的函數(shù)，這個函數(shù)稱為y＝f(x)的反函數(shù)．(2)記法：y＝f－1(x). 狀元隨筆　1.函數(shù)f(x)＝x2有反函數(shù)嗎？為什么？提示：沒有．若令y＝f(x)＝1，則x＝±1，即x值不唯一，不符合反函數(shù)的定義．2．什么樣的函數(shù)一定有反函數(shù)？提示：單調(diào)函數(shù)． 知識點(diǎn)二　反函數(shù)的求法對調(diào)y＝f(x)中的x與y，然后從x＝f(y)中求出y得到．知識點(diǎn)三　函數(shù)與其反函數(shù)的性質(zhì)的關(guān)系(1)圖象：關(guān)于直線y＝x對稱；(2)定義域、值域：原函數(shù)的________與其反函數(shù)的________相同；原函數(shù)的________與其反函數(shù)的________相同．(3)單調(diào)性：原函數(shù)與其反函數(shù)的單調(diào)性________． 知識點(diǎn)四　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax對數(shù)函數(shù)y＝logax定義域________________值域________________單調(diào)性0<a<1時，為________；a>1時，為________ 狀元隨筆　指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax，一個函數(shù)的定義域是另一個函數(shù)的值域，而且它們的單調(diào)性相同．   基 礎(chǔ) 自 測1．函數(shù)f(x)＝log4x與g(x)＝4x的圖象(　　)A．關(guān)于x軸對稱　     B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點(diǎn)對稱　　     D．關(guān)于直線y＝x對稱2．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝(　　)A．　　　 B．log2x    C．x　　 D．2x－23．若函數(shù)f(x)＝2x的反函數(shù)為f－1(x)，則f－1(1)＝________．4．若函數(shù)y＝f(x)的圖象位于第一、二象限，則它的反函數(shù)y＝f－1(x)的圖象位于(　　)A．第一、二象限　     B．第三、四象限C．第二、三象限　　     D．第一、四象限  課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1　判斷函數(shù)是否有反函數(shù)(邏輯推理)例1　下列函數(shù)中，存在反函數(shù)的是(　　)A．xx>0x＝0x<0f(x)10－1 B．xx是有理數(shù)x是無理數(shù)g(x)10 C．x12345h(x)－12042 D．x12345l(x)－2－1034      方法歸納判定函數(shù)存在反函數(shù)的方法(1)逐一考查值域中函數(shù)值對應(yīng)的自變量的取值，如果都是唯一的，則函數(shù)的反函數(shù)存在．(2)確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，如果函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)的反函數(shù)存在．(3)利用原函數(shù)的解析式，解出自變量x，如果x是唯一的，則函數(shù)的反函數(shù)存在．  跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列函數(shù)是否存在反函數(shù)．(1)y＝－2；(2)y＝－2x2＋4x，x∈(1，＋∞).           題型2　求函數(shù)的反函數(shù)例2　求下列函數(shù)的反函數(shù)．1．判斷函數(shù)是否單調(diào)．2．求出x.3．推導(dǎo)出f －1(x)的解析式．(1)y＝()x(2)y＝5x＋1.     方法歸納求給定解析式的函數(shù)的反函數(shù)的步驟(1)求出原函數(shù)的值域，這就是反函數(shù)的定義域；(2)從y＝f(x)中解出x；(3)x，y互換并注明反函數(shù)的定義域．  跟蹤訓(xùn)練2　求下列函數(shù)的反函數(shù)．1．函數(shù)在定義域內(nèi)的值域．2．求x.3．解出f －1(x).(1)y＝2x＋3；(2)y＝x；(3)y＝－1；(4)y＝0.2x＋1(x≤1).    題型3　反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例3　(1)已知函數(shù)y＝ax＋b的圖象過點(diǎn)(1，4)，其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2，0)，求a，b的值．　函數(shù)與反函數(shù)圖象上相應(yīng)點(diǎn)關(guān)于y＝x對稱．      (2)若函數(shù)f(x)＝，則f－1(2)的值為(　　) 反函數(shù)的自變量值即原函數(shù)的函數(shù)值．A．5　　　 B．－5C．     D. 4     方法歸納利用反函數(shù)的性質(zhì)解題互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱是反函數(shù)的重要性質(zhì)，由此可得互為反函數(shù)圖象上任一成對的相應(yīng)點(diǎn)也關(guān)于y＝x對稱，所以若點(diǎn) (a，b)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，則點(diǎn)(b，a)必在其反函數(shù)y＝f－1(x)的圖象上．  跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的圖象過點(diǎn)(1，7)，其反函數(shù)f－1(x)的圖象過點(diǎn)(4，0)，求f(x)的表達(dá)式．兩點(diǎn)關(guān)于y＝x對稱．       (2)已知函數(shù)f(x)＝1＋2lg x，則f(1)＋f－1(1)＝(　　)A．0　　　B．1    C．2　　　D．3  題型4　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象間的關(guān)系(1)由lg a＋lg b＝0得ab＝1.(2)f(x)與y(x)互為反函數(shù)．例4　已知lg a＋lg b＝0，函數(shù)f(x)＝ax與函數(shù)g(x)＝－logbx的圖象可能是(　　)     方法歸納利用反函數(shù)的性質(zhì)識圖指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，二者的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，在有關(guān)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象知識問題中利用這一性質(zhì)，結(jié)合平移翻轉(zhuǎn)等可以很方便地解決問題．   跟蹤訓(xùn)練4　y＝log2x的反函數(shù)是y＝f－1(x)，則函數(shù)y＝f－1(1－x)的圖象是下圖中的(　　)  狀元隨筆　1.先求出f －1(x).2．再求f －1(－x).3．最后求出f －1(1－x).                                           4．3　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系新知初探·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一1．(1)任意一個y的值　唯一的x知識點(diǎn)三(2)定義域　值域　值域　定義域　(3)相同知識點(diǎn)四R　(0，＋∞)　(0，＋∞)　R　減函數(shù)　增函數(shù)[基礎(chǔ)自測]1．解析：∵g(x)＝22x＝4x，∴函數(shù)f(x)＝log4x與g(x)＝22x互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．答案：D2．解析：由于函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的反函數(shù)，則f(x)＝logax，則f(2)＝loga2＝1，解得a＝2，因此，f(x)＝log2x.答案：B3．解析：令2x＝1，則x＝0，所以f－1(1)＝0.答案：04．解析：結(jié)合函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于y＝x對稱得出，即可得出反函數(shù)位于第一、四象限．答案：D課堂探究·素養(yǎng)提升例1　【解析】　對A，因?yàn)?/span>f(x)＝1時，x為任意的正實(shí)數(shù)，即對應(yīng)的x不唯一，因此f(x)的反函數(shù)不存在；對B，因?yàn)?/span>g(x)＝1時，x為任意的有理數(shù)，即對應(yīng)的x不唯一，因此g(x)的反函數(shù)不存在；對C，因?yàn)?/span>h(x)＝2時，x＝2或x＝5，即對應(yīng)的x不唯一，因此h(x)的反函數(shù)不存在；對D，因?yàn)?/span>l(x)的值域?yàn)?/span>{－2，－1，0，3，4}中任意一個值，都只有唯一的x與之對應(yīng)，因此l(x)的反函數(shù)存在．【答案】　D跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)y＝－2是由函數(shù)y＝向左平移1個單位，向下平移2個單位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是減函數(shù)，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x值與之對應(yīng)，所以函數(shù)存在反函數(shù)．(2)y＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，對稱軸為x＝1，在(1，＋∞)上是減函數(shù)，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x值與之對應(yīng)，所以函數(shù)存在反函數(shù)．例2　【解析】　(1)由y＝()x得y＞0，對調(diào)其中的x和y，得x＝()y，解得y＝x，所以f－1(x)＝x(x＞0)．(2)對調(diào)x與y得x＝5y＋1(x∈R)，化簡得y＝，所以f－1(x)＝(x∈R)．跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)由y＝2x＋3得x＝y－，所以函數(shù)y＝2x＋3的反函數(shù)是y＝x－.(2)y＝x的底數(shù)是，它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y＝.(3)y＝－1的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函數(shù)為函數(shù)y＝ (x＋1)(x>－1)．(4)因?yàn)?/span>y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，即y＝log0.2(x－1)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以y＝log0.2(x－1)的定義域?yàn)?/span>{x|x≥1.2}，即函數(shù)y＝0.2x＋1(x≤1)的反函數(shù)是y＝log0.2(x－1)(x≥1.2)．例3　【解析】　(1)方法一　∵y＝ax＋b的圖象過點(diǎn)(1，4)，∴a＋b＝4，①由y＝ax＋b得ax＝y－b，∴x＝loga(y－b)，交換x，y得y＝loga(x－b)，將點(diǎn)(2，0)代入y＝loga(x－b)得loga(2－b)＝0，∴2－b＝1.②由①②解得方法二　∵y＝ax＋b的圖象過點(diǎn)(1，4)，∴a＋b＝4.①又∵y＝ax＋b的反函數(shù)圖象過點(diǎn)(2，0)，∴點(diǎn)(0，2)在原函數(shù)y＝ax＋b的圖象上，∴a0＋b＝2.②聯(lián)立①②得(2)令＝2，所以x＝－5，所以f－1(2)＝－5.【答案】　(1)見解析　(2)B跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)∵y＝f－1(x)的圖象過點(diǎn)(4，0)，∴y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(0，4)，∴1＋b＝4，∴b＝3，又∵f(x)＝ax＋b的圖象過點(diǎn)(1，7)，∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.(2)根據(jù)題意：f(1)＝1＋2lg 1＝1，若f(x)＝1＋2lg x＝1，解得x＝1，則f－1(1)＝1，故f(1)＋f－1(1)＝1＋1＝2.答案：(1)見解析　(2)C例4　【解析】　∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，則b＝，從而g(x)＝－logbx＝logax，故g(x)與f(x)＝ax互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y＝x對稱．結(jié)合選項可知選B.【答案】　B跟蹤訓(xùn)練4　解析：∵y＝log2x的反函數(shù)為y＝f－1(x)＝2x，則y＝f－1(1－x)＝21－x＝2·2－x＝2·，故排除A，B.又此函數(shù)圖象過(0，2)，故正確答案為C.答案：C

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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