要點(diǎn)梳理　　1．比和比例的有關(guān)概念：　　 (1)第四比例項(xiàng)：若 或a∶b＝c∶d，那么d叫做a、b、c 的第四比例項(xiàng) ．　　 (2)比例中項(xiàng)：若 或a∶b＝b∶c，那么b叫做a、c的比例中項(xiàng)．　　 (3)黃金分割：把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較長(zhǎng)線段(AC)是原線段(AB)與較短線段(BC)的比例中項(xiàng)，就叫做把這條線段黃金分割．即AC2＝AB·BC，2．比例的基本性質(zhì)及定理：　　3．平行線分線段成比例定理：　　(1)三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；　　(2)平行于三角形一邊截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；　
　　(3)如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊；　　(4)平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例．4．相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形．相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做兩個(gè)相似三角形的相似比 ．5．相似三角形的判定：　　(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所截得的三角形與原三角形相似；　　(2)兩角對(duì)應(yīng)相等；　　(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等；　　(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例；　　(5)直角三角形中，斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例；　　(6)直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形都與原三角形相似．6．相似三角形性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．7．直角三角形相似的判定及成比例的線段：　　如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．
如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，則有下列結(jié)論．(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD；(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；(5)AB·CD＝AC·BC. 　　證明比例式或等積式的方法主要有“三點(diǎn)定型”法：　(1)橫向定形：欲證 橫向觀察，比例式中分子的兩條線段是AB和BC，三個(gè)字母A、B、C恰為△ABC的頂點(diǎn)；分母的兩條線段是DE和EF，三個(gè)字母D、E、F恰為△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)．因此只需證△ABC∽△DEF；　　(2)縱向定形：欲證 縱向觀察，比例式中左邊的比兩條線段AB和BC中的三個(gè)字母A、B、C恰為△ABC的頂點(diǎn)；右邊的比兩條線段DE和EF中的三個(gè)字母D、E、F恰為△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)．因此只需證△ABC∽△DEF；　　
(3)由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒(méi)有相同點(diǎn)的情況，此時(shí)可考慮運(yùn)用等線、等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形，這種方法就是等量代換法．在證明比例式時(shí)，常常要用到中間比．四個(gè)解題技巧　　判定兩個(gè)三角形相似的常規(guī)思考過(guò)程是：　　(1)先找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，一般這個(gè)條件比較簡(jiǎn)單；　　(2)若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，則判斷相等角的兩夾邊是否對(duì)應(yīng)成比例；　　(3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例；　　(4)若題目出現(xiàn)平行線，則直接運(yùn)用預(yù)備定理得出相似的三角形．五種基本思路　　(1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的基本定理；　　(2)條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角(用判定定理1)或再找?jiàn)A邊成比例(用判定定理2)；　　(3)條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；　　(4)條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；　　(5)條件中若有等腰三角形，可找頂角相等，或找一對(duì)底角相等，或找底和腰對(duì)應(yīng)成比例．
考點(diǎn)鞏固測(cè)試 1.如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是 (　　) 解析　分析可以看出圖中△ABC是鈍角三角形，其鈍角為135°，且?jiàn)A這個(gè)角的兩邊的比為2∶ ＝ ∶1，只有A選項(xiàng)中的三角形符合條件．根據(jù)相似三角形的判定定理，它們是相似三角形．感悟提高 此題考查相似三角形的判定知識(shí)及觀察能力．　變式測(cè)試1　如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.　　求證：△ADE∽△EFC. 　　證明　∵DE∥BC，EF∥AB，　　∴∠AED＝∠C，∠A＝∠CEF，　　∴△ADE∽△EFC.
2.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD. 　　(1)請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出圖中另外一對(duì)相等的角；　　(2)若AC＝6，BC＝9，試求梯形ABCD的中位線的長(zhǎng)度．　　 解　(1)∵AD∥BC，　　∴∠DAC＝∠BCA.　　(2)∵∠B＝∠ACD，∠BCA＝∠DAC，　　 ∴△BCA∽△CAD，　　∴AC2＝BC·AD，即62＝9·AD，AD＝4，　　∴梯形ABCD的中位線＝?(AD＋BC)＝?×(4＋9)＝6.5.　　答：梯形ABCD的中位線的長(zhǎng)度是6.5.感悟提高　　本題主要考查相似三角形的判定、性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用等．
變式測(cè)試2　如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E是AB的中點(diǎn)，且CE⊥DE.　(1)請(qǐng)你判斷△ADE與△BEC是否相似，并說(shuō)明理由；　(2)若AD＝1，BC＝2，求AB的長(zhǎng)． 　　解　(1)相似，理由如下：　　∵AD∥BC，∠B＝90°，　　∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°，　　∴∠ADE＋∠AED＝90°.　　∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∠AED＋∠BEC＝90°，　　∴∠ADE＝∠BEC.　　又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC.　　(2)∵△ADE∽△BEC，　　∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝?AB，　　∴AE2＝AD·BC＝1×2＝2，AE＝　　∴AB＝2AE＝ 答：AB的長(zhǎng)為
3.　如圖，矩形PQMN內(nèi)接于△ABC，矩形周長(zhǎng)為24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面積． 　　解　在矩形PQMN中，PN∥＝ QM，　　∴△APN∽△ABC.　　∵AD⊥BC，∴AE⊥PN，　　設(shè)ED＝x，　　∵矩形PQMN周長(zhǎng)為24，∴PQ＋PN＝12，　　∴PN＝12－x，AD＝16＋x，　　 x2＋4x－32＝0，　　解得x1＝4，x2＝－8(舍去)，　　∴AD＝16＋4＝20，　　∴S△ABC＝?BC·AD＝?×10×20＝100.　　答：△ABC的面積是100.感悟提高　　本題考查的關(guān)鍵是“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高線之比等于它們的相似比”．
變式測(cè)試3　(2013·懷化) 如圖，△ABC是一張銳角三角形的硬紙片．AD是邊BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm.從這張硬紙片剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC、AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.　(1)求證：　(2)求這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng)． 　　解　(1)證明：∵四邊形EFGH為矩形，　　∴EF∥GH，∴∠AHG＝∠ABC.　　又∵∠HAG＝∠BAC，　　∴△AHG∽△ABC，　　(2)設(shè)HE＝x，　　則HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x，　　由(1)可知，　　解得x＝12，2x＝24.　　∴矩形EFGH的周長(zhǎng)為2×(12＋24)＝72 cm.
4.　如圖，在8×8的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫(huà)出△OAB的一個(gè)位似圖形，使兩個(gè)圖形以O(shè)為位似中心，且所畫(huà)圖形與△OAB的位似比為2∶1.解:分別延長(zhǎng)AO、BO到A′，B′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝2∶1.如圖，△OA′B′即為所求．感悟提高　　如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比稱為位似比．位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比叫做相似比．
變式測(cè)試4　如圖，在長(zhǎng)為10 cm、寬為6 cm的矩形中，截去一個(gè)矩形，使得留下的矩形(圖中陰影部分)與原矩形相似，則留下的矩形的面積是多少？ 　　解　由題意，可知矩形ABCD∽矩形CDEF，　　　　∴DE＝3.6，　　∴S矩形CDEF＝6×3.6＝21.6 cm2.

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