考點(diǎn)一　平行線分線段成比例【主干必備】1.平行線分線段成比例定理:兩條直線被一組平行線所截,所得_______________成比例.?
2.平行線分線段成比例定理的推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得________________成比例.?
【微點(diǎn)警示】(1)注意對(duì)應(yīng)性:如圖,AB∥CD∥EF,則可得 等多個(gè)比例式,其對(duì)應(yīng)關(guān)系可簡(jiǎn)述為:
(2)注意輔助線:為了充分利用平行線分線段成比例定理及其推論,在已知線段比值的情況下往往過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作某一線段的平行線.
【核心突破】例1(2018·梧州中考)如圖,AG∶GD=4∶1,BD∶DC=2∶3,則AE∶EC的值是(　 　)A.3∶2B.4∶3C.6∶5D.8∶5
【明·技法】應(yīng)用平行線分線段成比例解決問(wèn)題的技巧(1)若已知條件中有平行線,求兩條線段的比,可直接應(yīng)用平行線分線段成比例定理求解.(2)若已知條件中無(wú)平行線,但告知線段的比,可先通過(guò)作平行線創(chuàng)造應(yīng)用定理的條件.
【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·杭州中考)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在AB和AC上,DE∥BC,M為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),連接AM交DE于點(diǎn)N,則(　 　)
2.(2019·淮安中考)如圖,l1∥l2∥l3,直線a,b與l1,l2,l3分別相交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F.若AB=3,DE=2,BC=6,則EF=________.?
考點(diǎn)二　相似三角形的判定與性質(zhì)【主干必備】
【微點(diǎn)警示】(1)根據(jù)條件快選判定:有平行線一般用判定1,網(wǎng)格中三角形相似一般用判定2或判定3,有公共角、對(duì)頂角或圓中的三角形一般用判定4.(2)注意面積特殊之處:相似三角形對(duì)應(yīng)線段比、周長(zhǎng)比都等于相似比,唯獨(dú)面積比等于相似比的平方.
【核心突破】命題角度1:相似三角形的判定例2(2018·臨安中考)如圖,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是(　 　)
命題角度2:相似三角形的性質(zhì)例3(2019·常德中考)如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,圖中所有三角形均相似,其中最小的三角形面積為1,△ABC的面積為42,則四邊形DBCE的面積是(　 　)A.20　　　B.22　　　C.24　　　D.26
命題角度3:相似三角形的判定與性質(zhì)例4(2019·涼山州中考)如圖,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,過(guò)點(diǎn)B作BM∥CD交AD于M.連接CM交DB于N.(1)求證:BD2=AD·CD.(2)若CD=6,AD=8,求MN的長(zhǎng).
【自主解答】(1)∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°,∴△ABD∽△BCD,∴ ,∴BD2=AD·CD.(2)略
【明·技法】1.判定三角形相似的“五個(gè)基本思路”(1)條件中若有平行線,可采用相似三角形的預(yù)備定理.(2)條件中若有一對(duì)等角,可再找一對(duì)等角或再找?jiàn)A這對(duì)等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.
(3)條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例,可找?jiàn)A角相等.(4)條件中若有一對(duì)直角,可考慮再找一對(duì)等角或證明夾直角的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例.(5)條件中若有等腰三角形,可找頂角相等,或一對(duì)底角相等,或找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.
2.相似三角形性質(zhì)的三個(gè)應(yīng)用(1)利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等計(jì)算角的度數(shù).(2)利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例確定已知線段和未知線段的關(guān)系,建立方程求出未知線段的長(zhǎng)或解決與比例式(等積式)有關(guān)的證明問(wèn)題.
(3)利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,周長(zhǎng)比等于相似比求三角形的面積或周長(zhǎng).
【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·上海崇明區(qū)模擬)如圖,如果∠BAD=∠CAE,那么添加下列一個(gè)條件后,仍不能確定△ABC∽△ADE的是 (　 　)
2.(2019·巴中中考)如圖?ABCD,F為BC中點(diǎn),延長(zhǎng)AD至E,使DE∶AD=1∶3,連接EF交DC于點(diǎn)G,則S△DEG∶S△CFG= (　 　)A.2∶3　　　B.3∶2　　　C.9∶4　　　D.4∶9
3.(2019·自貢中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)E,DE=????????.?
4.(易錯(cuò)警示題)如圖,∠ACB=∠ADC=90°,AC= ,AD=2.當(dāng)這兩個(gè)直角三角形相似時(shí),AB的長(zhǎng)為_(kāi)________.?
考點(diǎn)三　相似三角形的實(shí)際應(yīng)用【主干必備】應(yīng)用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟:(1)畫圖:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境,畫出幾何圖形.(2)判定:判定幾何圖形中有哪些三角形相似,必要時(shí)通過(guò)作輔助線構(gòu)造出相似三角形.
(3)性質(zhì):運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)得到包含已知線段和未知線段的比例式.(4)結(jié)論:通過(guò)解方程得到未知線段(或圖形周長(zhǎng)、面積),結(jié)合所求寫出實(shí)際問(wèn)題答案.
【核心突破】例5(2018·陜西中考)周末,小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門前小河的寬.測(cè)量時(shí),他們選擇了河對(duì)岸岸邊的一棵大樹,將其底部作為點(diǎn)A,在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B,使得AB與河岸垂直,并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC,再在AB的延長(zhǎng)線上選擇點(diǎn)D,豎起標(biāo)桿DE,使得點(diǎn)E與點(diǎn)C,A共線.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,測(cè)得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.測(cè)量示意圖如圖所示.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息,求河寬AB.
【思路點(diǎn)撥】由BC∥DE,可得 ,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.
【自主解答】∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴AB=17(m),經(jīng)檢驗(yàn):AB=17是分式方程的解.答:河寬AB的長(zhǎng)為17 m.
【明·技法】運(yùn)用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟1.由實(shí)際問(wèn)題抽象出幾何圖形.2.根據(jù)幾何圖形判定得出相似三角形.3.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到方程.
4.解方程求出有關(guān)線段長(zhǎng)度.5.寫出實(shí)際問(wèn)題的答案.
【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·畢節(jié)中考)如圖,在一塊斜邊長(zhǎng)30 cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一個(gè)正方形CDEF,點(diǎn)D在邊BC上,點(diǎn)E在斜邊AB上,點(diǎn)F在邊AC上,若AF∶AC=1∶3,
則這塊木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面積為 (　 　)A.100 cm2　 B.150 cm2　 C.170 cm2　 D.200 cm2
2.(生活情境題)如圖,王明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB,他調(diào)整自己的位置,設(shè)法使斜邊DF保持水平,并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上,已知紙板的兩條邊DF=50 cm,EF=30 cm,測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5 m,CD=20 m,則樹高AB為_(kāi)____________.?
3.(2019·西安蓮湖區(qū)模擬)如圖,陽(yáng)光通過(guò)窗口照到某個(gè)房間內(nèi),豎直窗框AB在地面上留下的影子長(zhǎng)度DE=1.8 m,已知點(diǎn)E到窗下墻角的距離CE=3.9 m,窗框底邊離地面的距離BC=1.4 m,試求窗框AB的長(zhǎng).
【解析】連接AB,由于陽(yáng)光是平行光線,即AE∥BD,所以∠AEC=∠BDC.又因?yàn)椤螩是公共角,所以△AEC∽△BDC,
從而有 .又AC=AB+BC,DC=EC-ED,EC=3.9 m,ED=1.8 m,BC=1.4 m,于是有 ,解得AB=1.2 m.答:窗框AB的長(zhǎng)為1.2 m.
考點(diǎn)四　位似【主干必備】
【微點(diǎn)警示】(1)注意位似和相似的關(guān)系:位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形.(2)注意位似中心的位置:位似中心可能在圖形外,也可能在圖形內(nèi)或圖形上.
(3)注意關(guān)于原點(diǎn)的位似:在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)圖形關(guān)于原點(diǎn)的位似圖形有兩個(gè),一個(gè)同象限,一個(gè)異象限.
【核心突破】例6(2019·濱州中考)在平面直角坐標(biāo)系中,△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,4),B(-4,0),O(0,0).以原點(diǎn)O為位似中心,把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的 ,得到△CDO,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是_____________________.?
(-1,2)或(1,-2)
【明·技法】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)的位似變化求點(diǎn)的坐標(biāo)的要點(diǎn)(1)先明確已知點(diǎn)的坐標(biāo)及相似比.(2)區(qū)分原圖形與位似圖形是同側(cè)還是異側(cè).(3)分別把橫、縱坐標(biāo)與相似比(或相似比的相反數(shù))相乘.
【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·河池中考)如圖,以點(diǎn)O為位似中心,將△OAB放大后得到△OCD,OA=2,AC=3,則 =___.?
2.(2019·巴中中考)△ABC在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中如圖所示.

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