中考總復(fù)習(xí)：特殊的四邊形—知識(shí)講解（提高） 【考綱要求】1. 會(huì)識(shí)別矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定解決問題．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)和判定，會(huì)用性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定  四邊形 性       質(zhì) 判      定   邊 角 對(duì)角線 矩形 對(duì)邊平行且相等 四個(gè)角是直角 相等且互相平分1、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；2、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；3、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形中心、軸對(duì)稱圖形 菱形 四條邊相等 對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)垂直且互相平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、四條邊都相等的四邊形是菱形；3、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 .中心對(duì)稱圖形  正方形 四條邊相等 四個(gè)角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對(duì)角線垂直的矩形是正方形3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形4、對(duì)角線相等的菱形是正方形中心、軸對(duì)稱圖形  等腰梯形 兩底平行，兩腰相等 同一底上的兩個(gè)角相等 相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；3、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.軸對(duì)稱圖形【要點(diǎn)詮釋】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們具有平行四邊形的一切性質(zhì).考點(diǎn)二、中點(diǎn)四邊形相關(guān)問題中點(diǎn)四邊形的概念：把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．若中點(diǎn)四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線互相垂直；
若中點(diǎn)四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線相等；
若中點(diǎn)四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線互相垂直且相等．【要點(diǎn)詮釋】中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的對(duì)角線的位置和數(shù)量關(guān)系決定．
考點(diǎn)三、重心
1.線段的中點(diǎn)是線段的重心；三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍.
平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的重心。【典型例題】類型一、特殊的平行四邊形的應(yīng)用1.（2012?湛江）如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF、再以對(duì)角線AE為邊作笫三個(gè)正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的邊長記為a1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，…，an，則an=___________． 【思路點(diǎn)撥】求a2的長即AC的長，根據(jù)直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以計(jì)算，同理計(jì)算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an-1=（）n-1，可以找出規(guī)律，得到第n個(gè)正方形邊長的表達(dá)式．【答案】（）n-1.【解析】∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴a2=a1=，同理a3=a2=2，,
a4=a3=2，…
由此可知：an=an-1=（）n-1故答案為：（）n-1.【總結(jié)升華】考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了學(xué)生找規(guī)律的能力，本題中找到an的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．舉一反三： 【高清課堂: 多邊形與特殊平行四邊形  例4】【變式】(2011德州)長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為­­­­________． 【答案】或.2．O是△ABC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連接，如果DEFG能構(gòu)成四邊形，
(1)如圖，當(dāng)O點(diǎn)在△ABC內(nèi)部時(shí)，判斷四邊形DEFG是什么特殊的四邊形，并證明．(2)若四邊形DEFG為矩形，O點(diǎn)所在位置應(yīng)滿足什么條件？畫出圖形并說明理由．(3)若四邊形DEFG為菱形，O點(diǎn)所在位置應(yīng)滿足什么條件？畫出圖形并說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（2）分析：四邊形DEFG是平行四邊形．若要四邊形DEFG為矩形，需要EF⊥FG．（3）分析：四邊形DEFG是平行四邊形．若要四邊形DEFG為菱形，需要EF=FG．【答案與解析】（1）四邊形DEFG是平行四邊形．
　　    證明：∵D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，
　　　　　∴，且．
　　　　　同理，，且．
　　　　　∴，且．
　　　　　∴四邊形DEFG是平行四邊形．
　（2）
　解：當(dāng)AO⊥BC時(shí)，四邊形DEFG是矩形．
　　　連接OA，易知，．
　　　所以AO⊥BC時(shí)，EF⊥FG，此時(shí)平行四邊形DEFG為矩形．
（3）　　　　　　　　　　　
　　解：當(dāng)AO=BC時(shí)，四邊形DEFG是菱形．
　　　　連接OA，可知，．
　　　　所以當(dāng)AO=BC時(shí)，EF=FG，此時(shí)平行四邊形DEFG是菱形．【總結(jié)升華】重點(diǎn)考查了特殊平行四邊形的判定.類型二、梯形的應(yīng)用3．（2011?資陽）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點(diǎn)E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)F與B重合，求CE的長；
（2）若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長；
（3）設(shè)CE=x，BF=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出結(jié)果可）．【思路點(diǎn)撥】（1）先證明四邊形ABED為矩形，CE=BC-AD，繼而即可求出答案；
（2）設(shè)AF=CE=x，則HE=x-3，BF=7-x，再通過證明△BEF∽△HDE，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，然后代入求解即可；
（3）綜合（1）（2）兩種情況，然后代入求出解析式即可．【答案與解析】（1）∵F與B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，
∴BE=AD=9，
∴CE=12-9=3．
 （2）作DH⊥BC于H，則DH=AB=7，CH=3．
設(shè)AF=CE=x，
∵F在線段AB上，
∴點(diǎn)E在線段BH上，CH=3，CE=x，
∴HE=x-3，BF=7-x，
∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，
∴∠BEF=∠HDE，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BEF∽△HDE
∴=，
∴=，
整理得x2-22x+85=0，
（x-5）（x-17）=0，
∴x=5或17，
經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的解，但x=17不合題意，舍去．
∴x=CE=5．
（3）作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12， CE=x，BF=y，
∴則HE=x-3，BF=y，
當(dāng)3≤x≤12時(shí)，
易證△BEF∽△HDE，
∴=，
∴y=-x2+x-，
當(dāng)0≤x＜3，
易證△BEF∽△HDE，
則HE=3-x，BF=y，
∴=，
∴y=x2－x＋．【總結(jié)升華】本題考查直角梯形的知識(shí)，同時(shí)考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道小的綜合題，注意對(duì)這些知識(shí)的熟練掌握并靈活應(yīng)用．舉一反三：【變式】（2011?臺(tái)灣）如圖為菱形ABCD與正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD與GH相交于I點(diǎn)，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，則梯形HEDI的面積為（　　）.　　　　　　Ａ．　　　Ｂ．　　?。茫?0-　　?。模?0+　　【答案】B.類型三、特殊四邊形與其他知識(shí)結(jié)合的綜合運(yùn)用【高清課堂: 多邊形與特殊平行四邊形  例7】4. 如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，為CD邊上的點(diǎn)，=3．將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕分別與AD，BC邊交于點(diǎn)M，N．   （1）求BN的長；（2）求四邊形ABNM的面積.        【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AM=A′M，BN=B′N，BN=B′N=x，則CN=9-x，再利用勾股定理求出即可；（2）首先求出NC的長，即可得出BN，利用角相等三角函數(shù)值就相等，即可求出AM，即可得出答案．【答案與解析】如圖．（1）由題意，點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′分別關(guān)于直線MN對(duì)稱，
∴AM=A′M，BN=B′N．
設(shè)BN=B′N=x，則CN=9-x．
∵正方形ABCD，∴∠C=90°．
∴CN2+B′C2=B′N2．
∵B′C=3，
∴（9-x）2+32=x2．
解得x=5,∴BN=5．
（2）∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，∠A=90°．
∵點(diǎn)M，N分別在AD，BC邊上，
∴四邊形ABNM是直角梯形．
∵BN=B′N=5，BC=9，
∴NC=4．
∴sin∠1=，tan∠1=．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．
∴sin∠3=sin∠1=，
在Rt△DB′P中，∵∠D=90°，DB′=DC-B′C=6，sin∠3==，
∴PB′=，
∵A′B′=AB=9，
∴A′P=A′B′-PB′=，
∵∠4=∠3，
∴tan∠4=tan∠3=，
在Rt△A′MP中，∵∠A′=∠A=90°，A′P=，tan∠4==，
∴A'M=2．
∴S梯形ABNM=（AM+BN）×AB=×（2+5）×9=．【總結(jié)升華】此題主要考查了折疊問題與解直角三角形以及正方形的知識(shí)，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，以及解直角三角形時(shí)相等的角三角函數(shù)值相等．5．（2012?自貢）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．
（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担?/span>【思路點(diǎn)撥】（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得=,故根據(jù)S四邊形AECF =+=+=即可解題；當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又根據(jù)=S四邊形AECF-，則△CEF的面積就會(huì)最大．【答案與解析】（1）證明：連接AC，如下圖所示，
 ∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD為等邊三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；
（2）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
則S△ABE=S△ACF，
故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH=2，
S四邊形AECF=S△ABC=BC?AH=BC?=，
由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．
故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，
又S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF，則此時(shí)△CEF的面積就會(huì)最大．
∴S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF=-××=．【總結(jié)升華】考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計(jì)算，求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵，有一定難度．6.（2012?蘇州）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，在移動(dòng)過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4cm，3cm，設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)y=3時(shí)相應(yīng)x的值；
（2）記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1-S2是常數(shù)；
（3）當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長． 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S2，然后作差即可．
（3）延長PD交AC于點(diǎn)Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長度．【答案與解析】（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，
∴=，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=，
∴GD=3-，AG=4-，
∴=，即y=，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=，
當(dāng)y=3時(shí)，=3，解得x=2.5，
經(jīng)檢驗(yàn)的x=2.5是分式方程的根．故x的值為2.5；
（2）∵S1=GP?GD=??（3-）=，
S2=GD?CD=（3-x）×1=，
∴S1-S2=-=即為常數(shù)；
（3）延長PD交AC于點(diǎn)Q．
 ∵正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，
∴3-x=，
化簡得：x2-5x+5=0．
解得：x=，
∵0≤x≤2.5，
∴x=，
在Rt△DGP中，PD==（3-x）=．【總結(jié)升華】此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是用移動(dòng)的時(shí)間表示出有關(guān)線段的長度，然后運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．舉一反三：【變式】如圖，E是矩形ABCD邊BC的中點(diǎn)，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分別為F，H．
（1）當(dāng)矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時(shí)，四邊形PHEF是矩形？請予以證明；
（2）在（1）中，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，矩形PHEF變?yōu)檎叫?？為什么?/span>
 【答案】（1）AD=2AB．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD；
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴AB=BE=EC=CD；
則△ABE、△DCE是等腰Rt△；
∴∠AEB=∠DEC=45°；
∴∠AED=90°；
四邊形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四邊形PFEH是矩形；
（2）點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，矩形PHEF變?yōu)檎叫?；理由如下?/span>
由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；
∴∠FAP=∠HDP=45°；
又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，
∴Rt△AFP≌Rt△DHP；
∴PF=PH；
在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.    

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