中考總復(fù)習(xí)：特殊三角形—知識(shí)講解（提高） 【考綱要求】【高清課堂：等腰三角形與直角三角形   考綱要求】1．了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會(huì)識(shí)別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定．2. 能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題．3. 會(huì)運(yùn)用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2．性質(zhì)：
　　(1)具有三角形的一切性質(zhì)；
　　(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角)；
　　(3)頂角的平分線(xiàn)，底邊中線(xiàn)，底邊上的高互相重合(三線(xiàn)合一)；
　　(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°．
　要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>等邊三角形中高線(xiàn)，中線(xiàn)，角平分線(xiàn)三線(xiàn)合一，共有三條.3．判定：
　　(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；
　　(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；
　　(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．
　要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>
　　(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；
　　(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形．考點(diǎn)二、直角三角形1.直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性質(zhì)：
　(1)直角三角形中兩銳角互余；
　(2)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；
　(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°；
　(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；
　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；
　(6)直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）直角三角形中，SRt△ABC=ch=ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高；（2）圓內(nèi)接三角形，當(dāng)一條邊為直徑時(shí)，該三角形是直角三角形．3．判定：
　　(1)兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；
　　(2)一條邊上的中線(xiàn)等于該邊的一半，則這條邊所對(duì)的角是直角，這個(gè)三角形是直角三角形；
　　(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊為斜邊．【典型例題】類(lèi)型一、等腰三角形1．六邊形ABCDEF的每個(gè)內(nèi)角都為120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】考慮到每個(gè)內(nèi)角為120°,則每個(gè)外角均為60°,可通過(guò)構(gòu)造等邊三角形來(lái)求邊長(zhǎng)及面積．【答案與解析】 延長(zhǎng)BC、ED交于M，DE、AF交于N，F(xiàn)A、CB交于P．∵∠EDC=∠DCB=120° ∴∠DCM=∠CDM=60°，∴△MDC為等邊三角形∠M=60°，同理△BAP，△EFN均為等邊三角形．∠M=∠N=60° ∴△MNP為等邊三角形，MD=MC=6，PB=PA=1，NE=NF=EF，MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2．FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，∴周長(zhǎng)為1+9+6+8+2+13=39．【總結(jié)升華】考點(diǎn)是多邊形外角和內(nèi)角的關(guān)系.舉一反三： 【變式】把腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形折疊兩次后，得到的一個(gè)小三角形的周長(zhǎng)是________．
　　　　　　　
 【答案】.2．已知: 如圖, 菱形ABCD中, E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，BE=DF．
　　(1)求證:AE=AF．
　　(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求證：△AEF為等邊三角形．
      【思路點(diǎn)撥】菱形的定義和性質(zhì).【答案與解析】    (1)∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D ，
　　　　　　　　　　又∵BE=DF，∴≌ ．
　　　　　　　　　　∴AE=AF．
　　　　　　　　 (2)連接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD，
　　　　　　　　　∵AB=BC=CD=DA , ∴△ABC和△ACD都是等邊三角形．
　　　　　　　　　∴, ．
　　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　　又∵AE=AF ∴是等邊三角形．【總結(jié)升華】此題涉及到三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì). 舉一反三：【高清課堂：等腰三角形與直角三角形   例4】【變式】如圖，△ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，使AE=BD，連接CE、DE. 求證：CE=DE.       【答案】延長(zhǎng)BD到F，使DF＝BC，連接EF，∵等邊△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，∴BF＝BE，∴等邊△BEF，∴EF＝BE，∠F＝∠B，∴△BCE≌△FDE（SAS）．∴CE＝DE．類(lèi)型二、直角三角形3．△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D為AB邊上一點(diǎn)．
　 　　求證：(1)△ACE≌△BCD； (2)．
　　　　　　　　　　　
　　　　【思路點(diǎn)撥】判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，首先要根據(jù)條件判斷運(yùn)用哪個(gè)判定定理.【答案與解析】(1) ∵ ，
　　　　　　∴ ，
　　　　　　即 ．
　　　　　　 　　∵ ，
　　　　　　 　　∴ △BCD≌△ACE．
　　　　　　 (2) ∵ ，
　　　　　　 　　∴ ．
　　　　　　　　 ∵ △BCD≌△ACE，
　　　　　　 　　∴ ，
　　　　　　 　　∴ ．
　　　　　　 　　∴ ．【總結(jié)升華】該題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有全等三角形的判定及勾股定理.4．如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分別交CE，AE于點(diǎn)G、H.試猜測(cè)線(xiàn)段AE和BD的位置和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
　　　　　　　　　　　　  【思路點(diǎn)撥】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,為證明全等提供了等線(xiàn)段的條件.【答案與解析】猜測(cè) AE＝BD，AE⊥BD.
　　　　　　理由如下：
　　　　　　∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
　　　　　　∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．
　　　　　　∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
　　　　　　∴AC＝CD，CE＝CB．
　　　　　　∴△ACE≌△DCB（SAS）．
　　　　　　∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．
　　　　　　∵∠AFC＝∠DFH，
　　　　　　∴∠DHF＝∠ACD＝90°，
　　　　　　∴AE⊥BD．【總結(jié)升華】兩條線(xiàn)段的關(guān)系包括數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩種.舉一反三：【變式】 .以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個(gè)等腰直角三角形的面積Sn=________.【答案】.類(lèi)型三、綜合運(yùn)用5 .（2012?牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過(guò)程如下：            如圖①，連接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH．又∵，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如圖②，P為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上，且P到直線(xiàn)AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=______.點(diǎn)P到AB邊的距離PE=________.【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用面積證明可使問(wèn)題簡(jiǎn)便，（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．【答案與解析】（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH，∵=+，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．分兩種情況：①P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)時(shí)，如圖②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案為7；4或10．【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，難度適中.6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．
（1）如圖1，E為線(xiàn)段DC上任意一點(diǎn)，將線(xiàn)段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段DF，連結(jié)CF，過(guò)點(diǎn)F作 ，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)H．判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明．
（2）如圖2，若E為線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明．
　　　　　　　　
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件判斷FH=FC,要證FH=FC一般就要證三角形全等.【答案與解析】（1）FH與FC的數(shù)量關(guān)系是：．
　　　　　     　         延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，
　　　　　　　　由題意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．
　　　　　　　　∴DG∥CB．
　　　　　　　　∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，
　　　　　　　　∴點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，且．
　　　　　　　　∴DG為的中位線(xiàn)．
　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　∵AC=BC，
　　　　　　　　∴DC=DG．
　　　　　　　　∴DC- DE =DG- DF．
　　　　　　　　即EC =FG．
　　　　　　　　∵∠EDF =90°，，
　　　　　　　　∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．
　　　　　　　 ∴∠1 =∠2．
　　　　　　　　∵與都是等腰直角三角形，
　　　　　　　　∴∠DEF =∠DGA = 45°．
　　　　　　　 ∴∠CEF =∠FGH = 135°．
　　　　　　　 ∴△CEF ≌△FGH．
　　　　　　　　∴ FH=FC．
　　       （2）FH與FC仍然相等． 【總結(jié)升華】對(duì)于特殊三角形的判定及性質(zhì)要記住并能靈活運(yùn)用，注重積累解題思路和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問(wèn)題的能力和培養(yǎng).舉一反三：【高清課堂：等腰三角形與直角三角形   例7】【變式】如圖， △ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B,C,D在一條直線(xiàn)上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①tan∠AEC=;  ②S⊿ABC+S⊿CDE≥S⊿ACE ; ③BM⊥DM;④BM=DM.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（    ）A.1個(gè)     B.2個(gè)    C.3個(gè)    D.4個(gè)      【答案】D.  

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