中考總復(fù)習(xí)：多邊形與平行四邊形-鞏固練習(xí)（提高） 【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．如圖，四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面積是，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（    ）
　　A．49cm 　　　B．43cm　　　 C．41cm 　　　D．46cm
 2．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=4，點(diǎn)E、F是中線AD上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是：(    ) A. ；　　　 B.2；　　　 C.3； 　　　D.4．
 3. 已知點(diǎn)A(2，0)、點(diǎn)B(，0)、點(diǎn)C(0，1)，以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)不可能在(    )A．第一象限 　　　B．第二象限　　　 C．第三象限　　　 D．第四象限4.(2011·安徽)如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上，若P到BD的距離為，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(　　)A．1     B．2     C．3     D．45.如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE，AB相交于點(diǎn)G，若∠BAC=30°，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為平行四邊形；③AD=4AG；
④△DBF≌△EFA．其中正確結(jié)論的是（     ）．A． ①②③④ 　　　B．  ①③④　　　C．②③④　　　 D． ①②④
 6 .如圖,在□ABCD中,E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)， AC分別交BE、DF于G、H， 則下列結(jié)論： ① △ABE≌△CDF； ②AG=GH=HC； ③ EG=； ④S△ABE =3S△AGE． 其中正確的結(jié)論有（    ）． 
　　A． 1個(gè) 　　　B． 2個(gè) 　　　C．3個(gè)　　　 D． 4個(gè)
 二、填空題7. 如圖，口ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點(diǎn)A正好落在CD上的點(diǎn)F，若△FDE的周長(zhǎng)為8，△FCB的周長(zhǎng)為22，則FC的長(zhǎng)為_(kāi)_______.　8. 如圖, E、F分別是□ABCD 的兩邊AB、CD的中點(diǎn), AF交DE于P, BF交CE于Q,則PQ與AB的關(guān)系是______.　9. 如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，AD=8，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AE與BF的交點(diǎn)，點(diǎn)N是CF與DE的交點(diǎn)，則四邊形ENFM的周長(zhǎng)是__________．
　
10.（2011?梅州）凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)記作an（n≥4），例如：a4=2，那么：①a5=_____；②a6-a5=____ ；③an+1-an=____．（n≥4，用n含的代數(shù)式表示）11.①如圖（1）,四邊形ABCD中，AB∥E1F1∥CD，AD∥BC，則圖中共有________個(gè)平行四邊形；
　　　　　　
②如圖（2），四邊形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥CD，AD∥BC，則圖中共有________個(gè)平行四邊形；
③如圖（3），四邊形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，AD∥BC，則圖中共有________個(gè)平行四邊形；一般地，若四邊形ABCD中，E1，E2，E3，…，都是AD上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…，都是BC上的點(diǎn)，且AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥…∥∥CD，AD∥BC，則圖中共有________平行四邊形.12.如圖所示，①中多邊形（邊數(shù)為12）是由正三角形“擴(kuò)展”而來(lái)的，②中多邊形是由正方形“擴(kuò)展”而來(lái)的，…，依此類推，則由正n邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為_(kāi)__________.三、解答題13.問(wèn)題再現(xiàn)：現(xiàn)實(shí)生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至于服裝面料設(shè)計(jì)中隨處可見(jiàn)．在八年級(jí)課題學(xué)習(xí)“平面圖形的鑲嵌”中，對(duì)于單種多邊形的鑲嵌，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問(wèn)題、今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問(wèn)題的切入點(diǎn)，提出其中幾個(gè)問(wèn)題，共同來(lái)探究．
我們知道，可以單獨(dú)用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面．如圖中，用正方形鑲嵌平面，可以發(fā)現(xiàn)在一個(gè)頂點(diǎn)O周圍圍繞著4個(gè)正方形的內(nèi)角．試想：如果用正六邊形來(lái)鑲嵌平面，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍應(yīng)該圍繞著3個(gè)正六邊形的內(nèi)角．
問(wèn)題提出：如果我們要同時(shí)用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設(shè)計(jì)出幾種不同的組合方案？
問(wèn)題解決：
猜想1：是否可以同時(shí)用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？
分析：我們可以將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決、從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于分析能同時(shí)用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)．具體地說(shuō)，就是在鑲嵌平面時(shí)，一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞的各個(gè)正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角．
驗(yàn)證1：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有x個(gè)正方形和y個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角．根據(jù)題意，可得方程：90x+?y=360，整理得：2x+3y=8，
我們可以找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為．
結(jié)論1：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著1個(gè)正方形和2個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以同時(shí)用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌．
猜想2：是否可以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？若能，請(qǐng)按照上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，并寫出所有可能的方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
驗(yàn)證2：_______；結(jié)論2：_______．
上面，我們探究了同時(shí)用兩種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分組合方案，相信同學(xué)們用同樣的方法，一定會(huì)找到其它可能的組合方案．
問(wèn)題拓廣：請(qǐng)你仿照上面的研究方式，探索出一個(gè)同時(shí)用三種不同的正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌的方案，并寫出驗(yàn)證過(guò)程．
猜想3：_______；
驗(yàn)證3：_______；
結(jié)論3：_______．    14. 如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）若BC＞CD且AB=AD，請(qǐng)?jiān)趫D上畫出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個(gè)正方形，并說(shuō)明理由；
（3）若CD=6，BC=8，S四邊形ABCD=49，求AB的值．     15.（2011?廈門）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止，   則從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，△BEP為等腰三角形？   16．（2012?廣州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，求CE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)60°＜α＜90°時(shí)，
①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②連接CF，當(dāng)CE2-CF2取最大值時(shí)，求tan∠DCF的值．   【答案與解析】一．選擇題1.【答案】D.2．【答案】A.3.【答案】C．　　　　4．【答案】B.【解析】如圖所示，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由題意得AE＝BD＝AB＝2＞，∴在邊AB和AD上各存在一個(gè)點(diǎn)P到BD的距離為.∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝45°.又∠ADC＝90°，
∴∠CDF＝45°.∴CF＝CD＝×＝1＜，∴在邊BC和CD上不存在符合題意的點(diǎn)P.綜上所述. 5．【答案】A.【解析】先證 ΔADF≌ΔABC,可得DF=AC=AE.∵DF∥AE 且DF=AE∴四邊形ADFE為平行四邊形，即①②③④是正確的.6．【答案】D .二．填空題7．【答案】7.【解析】由題意知x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22，所以a=7.
 8．【答案】PQ∥AB,PQ=AB .9．【答案】4+4 ．10．【答案】5；4；n-1．【解析】①五邊形有5條對(duì)角線；②六邊形有9條對(duì)角線，9-5=4；
③n邊形有 條對(duì)角線，n+1邊形有條對(duì)角線，
an+1-an=-=n-1． 11.【答案】①3 ;②6 ;③10，.12．【答案】n（n+1）．【解析】∵①正三邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)是12=3×4，②正四邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)是20=4×5，
③正五邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為30=5×6，
④正六邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為42=6×7，
∴正n邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為n（n+1）．三.綜合題13．【解析】用正六邊形來(lái)鑲嵌平面，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍應(yīng)該圍繞著3個(gè)正六邊形的內(nèi)角．
驗(yàn)證2：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有a個(gè)正三角形和b個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，
根據(jù)題意，可得方程：60a+120b=360．
整理得：a+2b=6，
可以找到兩組適合方程的正整數(shù)解為和結(jié)論2：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形的內(nèi)角或者圍繞著4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌．
猜想3：是否可以同時(shí)用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？
驗(yàn)證3：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有m個(gè)正三角形、n個(gè)正方形和c個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角．
根據(jù)題意，可得方程：60m+90n+120c=360，
整理得：2m+3n+4c=12，
可以找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為
結(jié)論3：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著1個(gè)正三角形、2個(gè)正方形和1個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以同時(shí)用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌．（說(shuō)明：本題答案不惟一，符合要求即可．）14．【解析】（1）∵∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，∴∠ABC+∠ADC=180°．∵∠A=90°，∴∠C=360°-90°-180°=90°；（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．則線段AE把四邊形ABCD分成△ABE和四邊形AECD兩部分，把△ABE以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則被分成的兩部分重新拼成一個(gè)正方形．過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CD的延長(zhǎng)線于F，∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF．
∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF．∴四邊形AECF是正方形；
（3）解法1：連接BD，
∵∠C=90°，CD=6，BC=8，Rt△BCD中，BD==10
又∵S四邊形ABCD=49，∴S△ABD=49-24=25．
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD垂足為M，
∴S△ABD=×BD×AM=25．∴AM=5．
又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△DAM．∴=．
設(shè)BM=x，則MD=10-x，
∴=．解得x=5．∴AB=5．
解法2：連接BD，∠A=90°．
設(shè)AB=x，AD=y，則x2+y2=102，①
∵xy=25，∴xy=50．②
由①，②得：（x-y）2=0．
∴x=y．2x2=100．∴x=5．15．【解析】證明：∵在△ABC和△CDA中,∴△ABC≌△CDA，∴AD=BC，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′
由勾股定理得：AC=4cm，
即AB、CD間的最短距離是4cm，
∵AB=3cm，AE=AB，∴AE=1cm，BE=2cm，
設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)，△BEP是等腰三角形，
當(dāng)P在BC上時(shí)，
①BP=EB=2cm，t=2時(shí)，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，作PM⊥AB于M，∴BM=ME=BE=1cm
∵cos∠ABC===，∴BP=cm，
t=時(shí)，△BEP是等腰三角形；③BE=PE=2cm，
作EN⊥BC于N，則BP=2BN，
∴cosB==，∴=，BN=cm，
∴BP=，∴t=時(shí)，△BEP是等腰三角形；
當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD間的最短距離是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，
當(dāng)P在AD上時(shí)，只能BE=EP=2cm，
過(guò)P作PQ⊥BA于Q，
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠QAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠Q=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
設(shè)PQ=4xcm，AQ=3xcm，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，
∴x=，AP=5x=cm，
∴t=5+5+3-=，
答：從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)2s或s或s或s時(shí)，△BEP為等腰三角形．16. 【解析】（1）∵α=60°，BC=10，
∴sinα=，即sin60°==，
解得CE=5；
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵F為AD的中點(diǎn)，∴AF=FD，
 在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF，
在△AFG和△CFD中，，
∴△AFG≌△DFC（AAS），
∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，
∴EF=GF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，
∴AG=5，AF=AD=BC=5，
∴AG=AF，∴∠AFG=∠G，
在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（對(duì)頂角相等），
∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整數(shù)k=3，使得∠EFD=3∠AEF；
②設(shè)BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，
在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2，
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x，
∵CF=GF（①中已證），
∴CF2=（CG）2=CG2=（200-20x）=50-5x，
∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-（x-）2+50+，
∴當(dāng)x=，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，CE2-CF2取最大值，
此時(shí)，EG=10-x=10-=，
CE===，
所以，tan∠DCF=tan∠G===．  

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