（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)42總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計算（提高）珍藏版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

中考總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計算—知識講解（提高）【考綱要求】1．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；
2．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識解決問題的能力.
【知識網(wǎng)絡(luò)】     【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1) 正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.
　　(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.
　　(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.
　　(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑.）
　　(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.
2、正多邊形與圓的關(guān)系：
　　(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形.
　　(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.
　（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.
3、正多邊形性質(zhì)：
　　(1)任何正多邊形都有一個外接圓.
　　(2) 正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.
要點(diǎn)詮釋：（1）正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.
（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.
考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計算
1．圓中有關(guān)計算
　　圓的面積公式：，周長.
　　圓心角為、半徑為R的弧長.
　　圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.
　　弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.
　　圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.
　　圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.弓形的面積（1）由弦及其所對的劣弧組成的圖形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所對的優(yōu)弧組成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.  要點(diǎn)詮釋：
　　(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；
　　(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
　　(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；
　　(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.
【典型例題】類型一、正多邊形有關(guān)計算 1．如圖，矩形ABCD中，AB=4，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心的⊙O與弧AE，邊AD，DC都相切．把扇形BAE作一個圓錐的側(cè)面，該圓錐的底面圓恰好是⊙O，則AD的長為（　?。?/span> A.4  B.      C.  D.5【思路點(diǎn)撥】首先求得弧AE的長，然后利用弧AE的長正好等于圓的底面周長，求得⊙O的半徑，則BE的長加上半徑即為AD的長．【答案】D；【解析】解：∵AB=4，∠B=90°，∴，∵圓錐的底面圓恰好是⊙O，∴⊙O的周長為2π，∴⊙O的半徑為1，∴AD=BC=BE+EC=4+1=5.故選D．【總結(jié)升華】本題考查了圓錐的計算及相切兩圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記弧長的計算公式.舉一反三：【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計算自主學(xué)習(xí)7】【變式1】如圖，兩個相同的正六邊形，其中一個正多邊形的頂點(diǎn)在另一個正多邊形外接圓圓心O處．求重疊部分面積與陰影部分面積之比.        【答案】解：連結(jié)OA、OB、OC，設(shè)OA′交AB于K，OE′交CD于H，∵∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，∠COH=120°-∠KOC，∴∠AOK=∠COH，又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，∴△AOK≌△COH，由△AOK≌△COH，得S五邊形OKBCH=S四邊形ABCO=2S△OBC，∴S陰影=S正六邊形ABCDEF-S五邊形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.S五邊形OKBCH：S陰影=      .                                                     即重疊部分面積與陰影部分面積之比為： .   【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計算自主學(xué)習(xí)8】【變式2】已知：正十邊形的半徑是R，求證：它的邊長為.            【答案】證明：作∠OAB的平分線AM交OB于M，則∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°，      ∴OM=MA=AB，則△ABM∽△OAB得：用R，a10分別表示OA，AB，BM，代入以上比例式整理得a102+ Ra10-R2=0,解關(guān)于a10的一元二次方程得（負(fù)值已舍去）.   類型二、正多邊形與圓綜合運(yùn)用2．如圖所示，AB是半圓的直徑，AB＝2r，C、D為半圓的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積．   【思路點(diǎn)撥】圖中陰影部分是一個不規(guī)則圖形，可利用C、D是半圓的三等分點(diǎn)，得到，從而有∠CDA＝∠DAB，進(jìn)而CD∥AB，故有△ACD與△OCD的面積相等，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD的面積．【答案與解析】解：連接OC、OD、CD．∵ ，∴ ∠CDA＝∠DAB．∴ CD∥AB，∴ ．∴ ．又∵ ∠COD＝∠AOB＝60°，∴ ．【總結(jié)升華】本題容易誤認(rèn)為陰影部分是扇形，對扇形的定義、圖形理解不準(zhǔn)確，此陰影部分為不規(guī)則圖形，應(yīng)利用等積轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形——扇形．舉一反三：【變式】如圖所示，在△ABC中，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于E，交AC于F，點(diǎn)P是⊙A上的一點(diǎn)，且∠EPF＝40°，則圖中陰影部分的面積是(    )         A．    B．    C．    D．【答案】連接AD，則AD⊥BC，陰影部分面積．故．答案：B   3．有一個兩直角邊分別為15cm和20cm的直角三角形，若繞一邊旋轉(zhuǎn)一周，可得到幾種幾何體？你能分別求出其全面積嗎？【思路點(diǎn)撥】可將直角三角形繞邊長為15cm的直角邊旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是底面半徑為20cm，錐高為15cm的圓錐體；繞邊長為20cm的直角邊旋轉(zhuǎn)一周，可得底面半徑為15cm，錐高為20cm的圓錐體；繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，可得兩個圓錐的組合體，按這三種情況分別計算全面積即可．【答案與解析】解：三種．由圖①可知，以AC＝15cm為軸旋轉(zhuǎn)一周，則其全面積．由圖②可知，以BC＝20為軸旋轉(zhuǎn)一周，則其全面積．如圖③所示，以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得一個圓錐組合體，其全面積S是上下兩個錐體的側(cè)面積之和．作CD⊥AB于D，則，∴ ，即底面半徑為12cm．∴ S＝π×12×20+π×12×15＝240π+180π＝420π(cm2)．【總結(jié)升華】利用面積公式計算時，要仔細(xì)分析題意，找準(zhǔn)已知量和未知量，特別注意全面考慮問題，分情況逐一計算，防止漏解． 4．如圖所示，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6cm的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是多少？【思路點(diǎn)撥】小貓所經(jīng)過的路程要最短，應(yīng)該求圓錐側(cè)面展開后兩點(diǎn)B、P之間的線段長度.【答案與解析】解：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，展開后圓心角度數(shù)為n°，則底面圓的周長為2πr，側(cè)面展開圖的弧長為，∴ ．∵ 軸截面△ABC為等邊三角形，∴ AB＝BC，即．∴ r＝3．∴ ．∴ n＝180，即其側(cè)面展開圖為半圓，如圖所示，則△ABP為直角三角形，BP為最短路線．在Rt△ABP中，．答：小貓所經(jīng)過的最短路程為．【總結(jié)升華】將所求問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間線段最短的問題，充分利用圓錐底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長溝通空間元素與平面元素之間的關(guān)系． 5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，O為對角線BD的中點(diǎn)，分別以O(shè)B，OD為直徑作⊙O1，⊙O2．(1)求⊙O1的半徑；    (2)求圖中陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】連接O1E，求出一個小弓形的面積再乘以4即可.【答案與解析】解：(1)在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，∴ ．∴ ⊙O1的半徑為，即⊙O1的半徑為．(2)連接O1E，∵ BD為正方形ABCD的對角線，∴ ∠ABO＝45°．∵ O1E＝O1B，∴ ∠BEO1＝∠EBO2＝45°．∴ ∠BO1E＝90°．∴ ．根據(jù)圖形的對稱性得 S1＝S2＝S3＝S4，∴ ．【總結(jié)升華】求陰影部分面積時，一般要將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積求差或和.舉一反三：【變式】已知：如圖所示，水平地面上有一面積為30πcm2的扇形AOB，半徑OA＝6cm，且OA與地面垂直．在沒有滑動的情況下，將扇形向右滾動至OB與地面垂直為止，求O點(diǎn)移動的距離．【答案】解：觀察圖形可知O點(diǎn)移動距離即為扇形滾動距離，而扇形滾動距離為優(yōu)弧的弧長．∵ ，∴ ．    答：O點(diǎn)移動的距離為10π cm． 6．如圖，已知在⊙O中，，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側(cè)面，請你出這個圓錐的底面圓的半徑．【思路點(diǎn)撥】   （1）陰影部分是一個扇形，扇形圓心角∠BOD＝2∠BOC＝2×2×30°＝120°，只需通過解直角三角形求出OB的長，即可利用扇形面積求出陰影部分面積．（2）扇形弧長是圓錐的底面周長，由條件求出的長l，利用可求出半徑r的長．【答案與解析】解：(1)過O作OE⊥AB于E，則．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，．∴ ．又∵ OA＝OB，∴ ∠ABO＝30°．∴ ∠BOC＝60°．∵ AC⊥BD，∴ ．∴ ∠COD＝∠BOC＝60°．∴ ∠BOD＝120°．∴ ．(2)設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，∴ ．∴ ．【總結(jié)升華】用扇形圍成圓錐，扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是圓錐的底面周長.

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