中考總復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理(提高) 鞏固練習(xí) 【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．（2011湖北黃石）將一個有45度角的三角板的直角頂點C放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點A在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，如圖，則三角板的最大邊的長為（    ）.　A. 3cm 　　　B. 6cm　　　 C. 3cm 　　　D. 6cm
    2．在△中，若，則△是（    ）.
　　. 銳角三角形 　 . 鈍角三角形　　　 . 等腰三角形 　 . 直角三角形3. 如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當(dāng)PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為（    ）.
　　A. 　　　 B. 　　　 C.　　　D.3
　　
 4如圖，分別以直角的三邊為直徑向外作半圓．設(shè)直線左邊陰影部分的面積為，右邊陰影部分的面積和為，則（   ?。?
　
　　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．無法確定5（2012?濟(jì)寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P坐標(biāo)為（-2，3），以點O為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點A，則點A的橫坐標(biāo)介于（　?。?A. -4和-3之間      B．3和4之間    C．-5和-4之間    D．4和5之間6（2012?寧波）勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（　　）.A.90     B．100       C．110           D．121  二、填空題7. 如圖，在由12個邊長都為1且有一個銳角是60°的小菱形組成的網(wǎng)格中，點P是其中的一個頂點，以點P為直角頂點作格點直角三角形（即頂點均在格點上的三角形），請你寫出所有可能的直角三角形斜邊的長________．
　 8. 如圖，已知點F的坐標(biāo)為(3，0)，點A、B分別是某函數(shù)圖象與x軸，y軸的交點，點P是此圖像上的一動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，PF的長為d，且d與x之間滿足關(guān)系：d=5－x(0≤x≤5),則結(jié)論：①AF=2； ②BF=5； ③OA=5； ④OB=3中，正確結(jié)論的序號是______________.
　　9.如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一點P，使EP＋BP最短． EP＋BP的最小值是_______．10.勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G，F(xiàn)在邊PQ上，那么△PQR的周長等于_________________.11．觀察下列一組數(shù)：列舉：3、4、5，猜想：32=4+5；列舉：5、12、13，猜想：52=12+13；列舉：7、24、25，猜想：72=24+25；…
列舉：13、b、c，猜想：132=b+c；
請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結(jié)合相關(guān)知識求得b=_____,c=________.12.如圖，正方體的棱長為2，O為AD的中點，則O，A1，B三點為頂點的三角形面積為________________．三、解答題13. 作長為、、的線段.   14.如圖A、B為兩個村莊，AB、BC、CD為公路，BD為田地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直。現(xiàn)要從點E處開設(shè)通往村莊A、村莊B的一條電纜，現(xiàn)在共有兩種鋪設(shè)方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A．經(jīng)測量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．已知：地下電纜的修建費(fèi)為2萬元／千米，水下電纜的修建費(fèi)為4萬元／千米．
求：1)河寬AD(結(jié)果保留根號)；
    2)公路CD的長;
　　3)哪種方案鋪設(shè)電纜的費(fèi)用低?請說明理由。
　　
　15.如圖，菱形ABCD的邊長為12cm，∠A=60°，點P從點A出發(fā)沿線路AB?BD做勻速運(yùn)動，點Q從點D同時出發(fā)沿線路DC?CB?BA做勻速運(yùn)動．
（1）已知點P，Q運(yùn)動的速度分別為2cm/秒和2.5cm/秒，經(jīng)過12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點，試判斷△AMN的形狀，并說明理由；
（2）如果（1）中的點P、Q有分別從M、N同時沿原路返回，點P的速度不變，點Q的速度改為vcm/秒，經(jīng)過3秒后，P、Q分別到達(dá)E、F兩點，若△BEF與題（1）中的△AMN相似，試求v的值．16．劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；圖②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實驗：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D與點A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸________.．（填“不變”、“變大”或“變小”）
（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：
問題①：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行？
問題②：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？
問題③：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請說明理由．
請你分別完成上述三個問題的解答過程． 【答案與解析】一．選擇題1.【答案】D.【解析】過點A作AH垂直于紙帶邊沿于點H，
　　　　　在直角△AHC中，∵AH=3，∠ACH=30°，
　　　　　∴AC=2AH=6,
　　　　　再在等腰直角△ABC中，∵AC=6, ∠B=45°，
　　　　　∴AB=.
　　　　　故選D.2．【答案】D.【解析】因為=4，所以，
　　　　　，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形, 答案選D.3．【答案】C．【解析】如圖，過D點作DE⊥BC于E,則DE=AB，AD=BE,EC=BC－BE=3
　　　　　在Rt△CDE中，DE=,
　　　　　延長AB至F，使AB=BF，連接DF，交BC于P點，連接AP，
　　　　　這時候PA+PD取最小值，
　　　　　∵AD∥BC，B是AF中點，
　　　　　∴
　　　　　在Rt△ABP中，AP=
　　　　　∵
　　　　　∴=,故選C.4．【答案】A.【解析】圓的面積為，設(shè)三條邊長為a,b,c,分別表示三塊陰影部分面積，用勾股定理即可.5．【答案】A．【解析】∵點P坐標(biāo)為（-2，3），
∴OP=，
∵點A、P均在以點O為圓心，以O(shè)P為半徑的圓上，
∴OA=OP=，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4．
∵點A在x軸的負(fù)半軸上，
∴點A的橫坐標(biāo)介于-4和-3之間．
故選A．6．【答案】 C.二．填空題7．【答案】2，，，4，.【解析】如下圖，可能的直角三角形斜邊長有2，，，4，.
　　8．【答案】①； ②； ③ .【解析】令x=0得到d=5,此時點P與點B重合，BF=5，由勾股定理的OB=4.令x=5得到d=2,此時點P與點A重合，可得AO=5，AF=2.9．【答案】5.【解析】根據(jù)正方形的對稱性可知：BP＝DP，連接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，    即最短距離EP＋BP也就是ED．    ∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，    ∴AD＝4，根據(jù)勾股定理得： ．    ∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距離EP＋BP＝5．10．【答案】27+13．【解析】在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，進(jìn)而由等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及三角函數(shù)就可求得QR的長，在直角△QRP中運(yùn)用三角函數(shù)即可得到RP、QP的長，就可求出△PQR的周長．11.【答案】 84,85.【解析】認(rèn)真觀察三個數(shù)之間的關(guān)系：首先發(fā)現(xiàn)每一組的三個數(shù)為勾股數(shù)，第一個數(shù)為從3開始連續(xù)的奇數(shù)，第二、三個數(shù)為連續(xù)的自然數(shù)；進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)的平方是第二、三個數(shù)的和；最后得出第n組數(shù)為（2n+1），（），（），由此規(guī)律解決問題．12．【答案】.【解析】直角△AA1O和直角△OBA中，利用勾股定理可以得到OA1=OB=，
在直角△A1AB中，利用勾股定理得A1B=2，過點O作高，交A1B與M，連接AM，
則△AOM是直角三角形，則AM=A1B=，OM==，
∴△OA1B的面積=A1B?OM=．三.綜合題13．【解析】作法：如圖所示
　　　　　　　　　　
　?。?）作直角邊為1（單位長度）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊；
　　（2）作以AB為一條直角邊，另一直角邊為1的Rt。斜邊為；
　　（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、、、的長      度就是、、、.14．【解析】1).過B作BF⊥AD交DA延長線于F，
　　　　　在Rt△ABF中，可知∠BAF=60°，AB，
　　　　　∴ BF=6，，
　　　　　在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
　　　　　∴ DF=BF=6，
　　　　　∴
　　　　　2).過B作BG⊥CD于G，則BG=6，BC=10，有CG=8，
　　　　　∴ DC=CG+DG=14.
　　　　　3).設(shè)CE=x，則方案一、二費(fèi)用分別為：
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　由可解得
　　　　　∴ 當(dāng)＜CE＜14時，方案一較??；
　　　　　當(dāng)0＜CE＜時，方案二較省；
　　　　　當(dāng)CE=時，方案一、二均可．15．【解析】（1）∵∠A=60°，AD=AB=12，
∴△ABD為等邊三角形，故BD=12，
又∵VP=2cm/s
∴SP=VPt=2×12=24（cm），
∴P點到達(dá)D點，即M與D重合vQ=2.5cm/s SQ=VQt=2.5×12=30（cm），
∴N點在AB之中點，即AN=BN=6（cm），
∴∠AND=90°即△AMN為直角三角形；
（2）VP=2m/s t=3s
∴SP=6cm，
∴E為BD的中點，
又∵△BEF與△AMN相似，
∴△BEF為直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°，
①Q到達(dá)F1處：SQ=BP-BF1=6-=3（cm），故VQ==1（cm/秒）；
②Q到達(dá)F2處：SQ=BP+=9，故VQ===3（cm/秒）；
③Q到達(dá)F3處：SQ=6+2BP=18，故VQ===6（cm/秒）．16. 【解析】（1）變??；
（2）問題①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm
∴AC=12
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4
∴DF=4cm
連接FC，設(shè)FC∥AB
∴∠FCD=∠A=30°∴在Rt△FDC中，DC=4
∴AD=AC-DC=12-4
∴AD=12-4時，F(xiàn)C∥AB；
問題②：設(shè)AD=x，在Rt△FDC中，F(xiàn)C2=DC2+FD2=（12-x）2+16
∵AC=12cm，DE=4cm，
∴AD≤8cm，
（I）當(dāng)FC為斜邊時，
由AD2+BC2=FC2得，x2+62=（12-x）2+16，x=；
（II）當(dāng)AD為斜邊時，
由FC2+BC2=AD2得，（12-x）2+16+62=x2，x=＞8（不合題意舍去）；
（III）當(dāng)BC為斜邊時，
由AD2+FC2=BC2得，x2+（12-x）2+16=36，x2-24x+160=0，
方程無解，
∴由（I）、（II）、（III）得，當(dāng)x=時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形；
另解：BC不能為斜邊，
∵FC＞CD，∴FC+AD＞12
∴FC、AD中至少有一條線段的長度大于6，
∴BC不能為斜邊，
∴由（I）、（II）、（III）得，當(dāng)x=cm時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形；
問題③：解法一：不存在這樣的位置，使得∠FCD=15,°
理由如下：
假設(shè)∠FCD=15°
∵∠EFC=30°
作∠EFC的平分線，交AC于點P
則∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°
∴PD=4，PC=PF=2FD=8
∴PC+PD=8+4＞12
∴不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°;
解法二：不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°
假設(shè)∠FCE=15°AD=x
由∠FED=45°
得∠EFC=30°
作EH⊥FC，垂足為H．
∴HE=EF=2
CE=AC-AD-DE=8-x
且FC2=（12-x）2+16
∵∠FDC=∠EHC=90°
∠DCF為公共角
∴△CHE∽△CDF
∴=又（）2=（）2=
∴（）2=，即=整理后，得到方程x2-8x-32=0
∴x1=4-4＜0（不符合題意，舍去）
x2=4+4＞8（不符合題意，舍去）
∴不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°．  

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