（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)46中考總復(fù)習(xí)：圖形的變換（提高）珍藏版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

中考總復(fù)習(xí)：圖形的變換--知識講解（提高）【考綱要求】1.通過具體實例認識軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)，探索它們的基本性質(zhì)；2.能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；3.探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性質(zhì)及其相關(guān)性質(zhì).4.探索圖形之間的變換關(guān)系（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合）；5.利用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合進行圖案設(shè)計；認識和欣賞軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用.【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、平移變換1. 平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小．【要點詮釋】（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)．2．平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)角相等．【要點詮釋】（1）要注意正確找出“對應(yīng)線段，對應(yīng)角”，從而正確表達基本性質(zhì)的特征；（2）“對應(yīng)點所連的線段平行且相等”，這個基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可作為平移作圖的依據(jù)．考點二、軸對稱變換1．軸對稱與軸對稱圖形
　軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應(yīng)點，叫做對稱點.
　軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.
2．軸對稱變換的性質(zhì)
　　①關(guān)于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.
　　②如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線.
　　③兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.
　　④如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.
3．軸對稱作圖步驟
　　①找出已知圖形的關(guān)鍵點，過關(guān)鍵點作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點的對稱點．
　　②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點即得所作圖形.
４．翻折變換：圖形翻折問題是近年來中考的一個熱點，其實質(zhì)是軸對稱問題，折疊重合部分必全等，折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸，互相重合的兩點（對稱點）連線必被折痕垂直平分.【要點詮釋】翻折的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等，折疊圖形中有相似三角形，常用勾股定理.考點三、旋轉(zhuǎn)變換
1．旋轉(zhuǎn)概念：把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.
２．旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)
　　圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.
３．旋轉(zhuǎn)作圖步驟
　　①分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角.
　　②分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點.
　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點和旋轉(zhuǎn)中心所連線段,從而作出圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點.
　　④ 按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對應(yīng)點.【要點詮釋】１．圖形變換與圖案設(shè)計的基本步驟
①確定圖案的設(shè)計主題及要求；
②分析設(shè)計圖案所給定的基本圖案；
③利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱對基本圖案進行變換，實現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機組合；
④對圖案進行修飾，完成圖案.2．平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱之間的聯(lián)系
　　一個圖形沿兩條平行直線翻折（軸對稱）兩次相當于一次平移，沿不平行的兩條直線翻折兩次相當于一次旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角等于兩直線交角的2倍. 【典型例題】類型一、平移變換1. 如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
（1）證明△A′AD′≌△CC′B；
（2）若∠ACB=30°，試問當點C′在線段AC上的什么位置時，四邊形ABC′D′是菱形，并請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；
（2）由已知可推出四邊形ABC′D′是平行四邊形，只要再證明一組鄰邊相等即可確定四邊形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=AC，AB=AC，從而得到AB=BC′，所以四邊形ABC′D′是菱形．【答案與解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．
∴∠D′A′C′=∠BCA．
∴△A′AD′≌△CC′B．
（2）解：當點C′是線段AC的中點時，四邊形ABC′D′是菱形．
理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴C′D′=CD=AB．
由（1）知AD′=C′B．
∴四邊形ABC′D′是平行四邊形．
在Rt△ABC中，點C′是線段AC的中點，
∴BC′=AC．
而∠ACB=30°，
∴AB=AC．
∴AB=BC′．
∴四邊形ABC′D′是菱形．【總結(jié)升華】本題考查了平移的性質(zhì)特點以及全等的判定和菱形的判定，注意對這兩個判定定理的準確掌握，考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)的能力．2．操作與探究：
（1）對數(shù)軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對應(yīng)的點向右平移1個單位，得到點P的對應(yīng)點P′．點A，B在數(shù)軸上，對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段A′B′，其中點A，B的對應(yīng)點分別為A′，B′．如圖1，若點A表示的數(shù)是-3，則點A′表示的數(shù)是________；若點B′表示的數(shù)是2，則點B表示的數(shù)是_____；已知線段AB上的點E經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點E′與點E重合，則點E表示的數(shù)是__________．

（2）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，對正方形ABCD及其內(nèi)部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標都乘以同一個實數(shù)a，將得到的點先向右平移m個單位，再向上平移n個單位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其內(nèi)部的點，其中點A，B的對應(yīng)點分別為A′，B′．已知正方形ABCD內(nèi)部的一個點F經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點F′與點F重合，求點F的坐標．
    【思路點撥】（1）根據(jù)題目規(guī)定，以及數(shù)軸上的數(shù)向右平移用加計算即可求出點A′，設(shè)點B表示的數(shù)為a，根據(jù)題意列出方程求解即可得到點B表示的數(shù)，設(shè)點E表示的數(shù)為b，根據(jù)題意列出方程計算即可得解；
（2）先根據(jù)向上平移橫坐標不變，縱坐標加，向右平移橫坐標加，縱坐標不變求出平移規(guī)律，然后設(shè)點F的坐標為（x，y），根據(jù)平移規(guī)律列出方程組求解即可．【答案與解析】（1）點A′：-3×+1=-1+1=0，
設(shè)點B表示的數(shù)為a，則a+1=2，解得a=3，
設(shè)點E表示的數(shù)為b，則b+1=b，解得b=；
故答案為：0；3；.
（2）根據(jù)題意得，，解得，
設(shè)點F的坐標為（x，y），
∵對應(yīng)點F′與點F重合，
∴x+=x，y+2=y，解得x=1，y=4，所以，點F的坐標為（1，4）．【總結(jié)升華】耐心細致的讀懂題目信息是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，若將邊長為的兩個互相重合的正方形紙片沿對角線翻折成等腰直角三角形后，再抽出一個等腰直角三角形沿移動，若重疊部分的面積是，則移動的距離等于          .【答案】根據(jù)題意得：AB∥A′B′，BC∥B′C′，
∴∠A′PC=∠B=90°，
∵∠A=∠CA′P=∠ACP=45°，
∴△A′PC是等腰直角三角形，
∵△A′PC的面積是1cm2，
∴S△A′PC=A′P?PC=1（cm2），
∴A′P=PC=cm，
∴A′C=2cm，
由于原等腰直角三角形的斜邊是2cm，
所以平移的距離是：2-2（cm）．類型二、軸對稱變換3．已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合.(1)如果折痕FG分別與AD、AB交與點F、G(如圖1)，，求DE的長； (2)如果折痕FG分別與CD、AB交與點F、G(如圖2)，△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長．【思路點撥】本題涉及到的知識點有翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系．【答案與解析】（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°．
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得EF=AF=．∴DF=AD-AF=．
在Rt△DEF中，DE=．（2）設(shè)AE與FG交于O，取AD的中點M，連結(jié)并延長MO，交BC于N．由軸對稱的性質(zhì)得AO=EO． ∴MN∥DE，MO=DE．∵∠D=90°，AD∥BC， ∴四邊形MNCD是矩形，MN=CD=AB=2．設(shè)DE=x，則ON=2-x．∵△AED的外接圓與BC相切，∴ON是△AED的外接圓的半徑．∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，∴12+x2=（4-x）2，解得x=．∴DE=，OE=2-x=．由軸對稱的性質(zhì)得AE⊥FG．∴∠FOE=∠D=90°．又∵∠OEF=∠DEA，∴△FEO∽△AED，∴．∴把OE=，DE=，AD=2代入解得FO=．易證△FEO≌△GAO，∴FO=GO，∴FG=2FO=，即折痕FG的長是．【總結(jié)升華】本題通過矩形紙片折疊，利用軸對稱圖形的性質(zhì)，在豐富的圖形關(guān)系中，考查學(xué)生獲取信息和利用所得信息認識新事物的能力，本題對圖形折疊前后的不變量的把握、直線與圓位置關(guān)系的準確理解、方程思想的運用意識和策略等具有可再抽象性．舉一反三：【變式】如圖所示，有一塊面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別為AD、BC的邊上中點，將C點折至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ．
（1）求MP的長；
（2）求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于.     【答案】（1）解：連接BP、PC，由折法知點P是點C關(guān)于折痕BQ的對稱點．
∴BQ垂直平分PC，BC=BP．
又∵M、N分別為AD、BC邊上的中點，且四邊形ABCD是正方形，
∴BP=PC．
∴BC=BP=PC．
∴△PBC是等邊三角形．
∵PN⊥BC于N，BN=NC=BC=，∠BPN=×∠BPC=30°，
∴PN=，MP=MN-PN=．
（2）證明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．
在Rt△BCQ中，QC=BC?tan30°=1×=，
∴PQ=．
∴以PQ為邊的正方形的面積為．4.已知：矩形紙片中，AB=26厘米，厘米，點E在AD上，且厘米，點P是AB邊上一動點，按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點P與點E重合，展開紙片得折痕（如圖（1）所示）；步驟二，過點P作交所在的直線于點Q，連結(jié)QE（如圖（2）所示）；（1）無論點P在AB邊上任何位置，都有PQ           QE（填“＞”、“=”、“＜”號）（2）如圖（3）所示，將矩形紙片放在直角坐標系中，按上述步驟一、二進行操作：①當點P在A點時，與交于點點的坐標是（            ，            ）；②當厘米時，與交于點，點的坐標是（             ，           ）；③當厘米時，在圖（3）中畫出，（不要求寫畫法）并求出與的交點的坐標；（3）點P在在運動過程中，與形成一系列的交點，…觀察，猜想：眾多的交點形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達式.   （1）            （2）（3）【思路點撥】（1）根據(jù)折疊的特點可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．
（2）過點E作EG⊥Q3P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．設(shè)Q3G=x，則Q3E=Q3P=x+6．利用Rt△Q3EG中的勾股定理可知x=9，Q3P=15．即Q3（12，15）．
（3）根據(jù)上述的點的軌跡可猜測這些點形成的圖象是一段拋物線，利用待定系數(shù)法可解得函數(shù)關(guān)系式：y=x2+3（0≤x≤26）．
【答案與解析】（1）由折疊的特點可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．
（2）①（0，3）；②（6，6）．
③畫圖，如圖所示．
過點E作EG⊥Q3P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．
∴GP=6，EG=12．
設(shè)Q3G=x，則Q3E=Q3P=x+6．
在Rt△Q3EG中，∵EQ32=EG2+Q3G2
∴x=9．
∴Q3P=15．
∴Q3（12，15）（3）這些點形成的圖象是一段拋物線．
函數(shù)關(guān)系式：y=x2+3（0≤x≤26）．【總結(jié)升華】本題是一道幾何與函數(shù)綜合題，它以“問題情境--建立模型--解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，通過動點P在AB上的移動構(gòu)造探究性問題，讓學(xué)生在“操作、觀察、猜想、建模、驗證”活動過程中，提高動手能力，培養(yǎng)探究精神，發(fā)展創(chuàng)新思維．類型三、旋轉(zhuǎn)變換5．把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖1，當射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時AP?CQ的值為__________．將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，則AP?CQ的值是否會改變？（填“會”或“不會”）此時AP?CQ的值為__________．（不必說明理由）
（2）在（1）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2、圖3供解題用）
（3）在（1）的條件下，PQ能否與AC平行？若能，求出y的值；若不能，試說明理由．
   【思路點撥】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，故可得出△APD∽△CDQ，故可得出結(jié)論；
（2）由于三角板DEF的旋轉(zhuǎn)角度不能確定，故應(yīng)分0°＜α≤45°與45°＜α＜90°時兩種情況進行討論，即可求出MG及MQ的值，進而可得出結(jié)論；
（3）在圖（2）的情況下，根據(jù)PQ∥AC時，BP=BQ，即可求出x的值，進而得出結(jié)論．【答案與解析】（1）8，不會，8；
∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜邊中點為O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．
∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a，
∠CDQ=90°-a，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴，
∴AP?CQ=AD?CD=AD2=（AC）2=8．
（2）當0°＜α≤45°時，如圖2，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
   ∵O是斜邊的中點，
   ∴DM=DN=2，
   ∵CQ=x，則AP=，
∴S△APD=??2=，S△DQC=x×2=x，
∴y=8--x（2≤x＜4），
當45°＜α＜90°時，如圖3，過點D作DG⊥BC于G，DG=2
∵CQ=x，AP=，
∴BP=-4,
∵，
即，MG=,
∴MQ=+（2-x）=,∴y=（0＜x＜2）；（3）在圖（2）的情況下，
   ∵PQ∥AC時，BP=BQ，
   ∴AP=QC,
   ∴x=，解得x=2，
∴當x=2時，y=8--2=8-4．【總結(jié)升華】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．6 . 如圖①，小慧同學(xué)把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點^按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后．她提出了如下問題：    問題①：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OA BC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程；   問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是_______________?   請你解答上述兩個問題．   【思路點撥】求出正方形OABC翻轉(zhuǎn)時點O的軌跡弧長, 再求面積即可.要理解的是第4次旋轉(zhuǎn)，頂點O沒有移動.【答案與解析】解：問題①：如圖，正方形紙片經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動所形成的圖形是三段圓弧，    所以頂點O在此運動過程中經(jīng)過的路程為.     頂點 O在此運動過程中所形成的圖形與直線圍成圖形的面積為. 正方形紙片經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動經(jīng)過的路程為： .        問題②：∵ 正方形紙片每經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動   經(jīng)過的路程均為：.又，而是正方形紙片第4+1次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動經(jīng)過的路程.∴正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過81次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是.【總結(jié)升華】本題涉及到分類歸納，圖形的翻轉(zhuǎn)，扇形弧長和面積.舉一反三：【變式】如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個底角為60°．正方形ABCD的邊長為1，它的一邊AD在MN上，且頂點A與M重合．現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾，翻滾到有一個頂點與Q重合即停止?jié)L動． (1)請在所給的圖中，用尺規(guī)畫出點A在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖； (2)求正方形在整個翻滾過程中點A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．【答案】(1) 點A在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖如圖：     (2) 弧AA1與AD，A1D圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為1）=；弧A1A2與A1D，DN，A2N圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為）＋正方形的面積（邊長為1）=；弧A2A3與A2N，NA3圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為1）=；       其他三塊小面積分別與以上三塊相同.       ∴點A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S為：           .

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