中考總復(fù)習(xí)：全等三角形—知識(shí)講解 【考綱要求】1. 掌握全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3. 善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等，靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、基本概念1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>全等三角形的周長(zhǎng)、面積相等；對(duì)應(yīng)的高線(xiàn)，中線(xiàn)，角平分線(xiàn)相等.3.全等三角形的判定方法（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)；（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）；（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)；（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL).考點(diǎn)二、靈活運(yùn)用定理三角形全等是證明線(xiàn)段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀匾慕窍嗟?、線(xiàn)段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線(xiàn)段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)．應(yīng)用三角形全等的判別方法注意以下幾點(diǎn)：1. 條件充足時(shí)直接應(yīng)用判定定理要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>在證明與線(xiàn)段或角相等的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要先證明線(xiàn)段或角所在的兩個(gè)三角形全等.這種情況證明兩個(gè)三角形全等的條件比較充分，只要認(rèn)真觀(guān)察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個(gè)三角形全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等．2. 條件不足，會(huì)增加條件用判定定理要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>此類(lèi)問(wèn)題實(shí)際是指條件開(kāi)放題，即指題中沒(méi)有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充三角形全等的條件．解這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案．3. 條件比較隱蔽時(shí)，可通過(guò)添加輔助線(xiàn)用判定定理要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí)，可通過(guò)添加輔助線(xiàn)作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等．常見(jiàn)的幾種輔助線(xiàn)添加： ①遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”；②遇到三角形的中線(xiàn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”；③遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理或逆定理；④過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；⑤截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段與特定線(xiàn)段相等，或是將某條線(xiàn)段延長(zhǎng)，使之與特定線(xiàn)段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分之類(lèi)的題目．【典型例題】類(lèi)型一、全等三角形1．如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，BP=AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB．求證：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．
　　　【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題．【答案與解析】證明：     （1）∵BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，
　　　　　　 ∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．
　　　　　　 ∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，
　　　　　　 ∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.
　　　　　　 (2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，
　　　　　　 ∵∠PAD+∠P=90°，
　　　　　　 ∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．
　　　　　　 ∴AP⊥AQ．【總結(jié)升華】在確定全等條件時(shí)，注意隱含條件的尋找.舉一反三：【高清課堂：全等三角形  例8】【變式】如圖，已知中，，是高和的交點(diǎn)，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為（    ）. A．   B． 4       C．  D．    【答案】B.類(lèi)型二、靈活運(yùn)用定理2．如圖，已知AD為△ABC的中線(xiàn)，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF.【思路點(diǎn)撥】將所求的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)或相關(guān)聯(lián)的三角形中進(jìn)行求解．【答案與解析】證明：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，  ∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM. 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，              ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，   ∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，   ∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中   ∴△EDF≌△MDF（SAS）,   ∴EF＝MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）,   ∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）, ∴BE＋CF＞EF.【總結(jié)升華】當(dāng)涉及到有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中.舉一反三：【變式】如圖所示，AD是△ABC的中線(xiàn)，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求證：AC=BF.      【答案】證明：延長(zhǎng)AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，
　　　　　∵ D為BC中點(diǎn)，
　　　　　∴ BD=DC，
　　　　　在△ADC和△HDB中
　　　　　，
　　　　　∴ △ADC≌△HDB(SAS)，
　　　　　∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，
　　　　　∵ EA=EF，
　　　　　∴ ∠HAE=∠AFE，
　　　　　又∵ ∠BFH=∠AFE，
　　　　　∴ BH=BF，
　　　　　∴ BF=AC．3．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC平分∠BAD，AB＞AD，試判斷AB-AD與CD-CB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
　　　　【思路點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形中大邊對(duì)應(yīng)大角的關(guān)系．【答案與解析】AB-AD＞CD-CB；證明：在A(yíng)B上取一點(diǎn)E，使得AE=AD，連結(jié)CE．
　　　　　 ∵AC平分∠BAD，
　　　　　 ∴∠1=∠2．
　　　　　 ∵在△ACE和△ACD中，
　　　　　
　　　　　 ∴△ACE≌△ACD．
　　　　　 ∴CD=CE．
　　　　　 ∵在△BCE中，BE＞CE-CB，
　　　　　 即AB-AE＞CE-CB，
　　　　　 ∴AB-AD＞CD-CB．【總結(jié)升華】本題也可以延長(zhǎng)AD到E，使得AE=AB，連結(jié)CE．涉及幾條線(xiàn)段的大小關(guān)系時(shí)，用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法構(gòu)造全等三角形是常用的方法．舉一反三：【變式】如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．【答案】     證明：∵AB＞AC，在A(yíng)B上截取AE＝AC，連接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD．  【思路點(diǎn)撥】在A(yíng)C上取AF=AE，連接OF，即可證得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再證得∠COF=∠COD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得結(jié)論．【答案與解析】在A(yíng)C上取AF=AE，連接OF，       ∵AD平分∠BAC、
∴∠EAO=∠FAO，
在△AEO與△AFO中，
∵
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴∠AOE=∠AOF；
∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=（180°-∠B）=60°則∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；
∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（對(duì)頂角相等）
則∠COF=60°，
∴∠COD=∠COF，
又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，
∴△FOC≌△DOC（ASA），
∴DC=FC，
∵AC=AF+FC，
∴AC=AE+CD．【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、綜合運(yùn)用5 .已知△ABC，分別以AB、BC、CA為邊向形外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE、等邊三角形ACF．　(1)如圖1，當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，請(qǐng)你寫(xiě)出滿(mǎn)足圖中條件的四個(gè)正確的結(jié)論；
　　　　　　      
　　(2)如圖2，當(dāng)△ABC中只有∠ACB=60°時(shí)，請(qǐng)你證明：
【思路點(diǎn)撥】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可寫(xiě)出結(jié)論．
（2）要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△ACF的面積相等，則過(guò)A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，就可創(chuàng)造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可．【答案與解析】解：（1）DE=EF；DF=EF；∠D=∠E=∠F；A、B、C分別為DF、DE、EF的中點(diǎn)．
（2）證明：過(guò)A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，
∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF，
∴AF∥MC，
∴四邊形AMCF是平行四邊形，即,
又∵FA=FC，
∴四邊形AMCF是菱形，
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，
∵在△BAC與△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△BAC≌△EMC，
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM
∴∠BAC=∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM
∴△ABC≌△ADM（SAS）．故△ABC≌△MEC≌△ADM，，∴AB=ME=AD=DB，DM=EC=BE ．∴四邊形DBEM是平行四邊形，則，∴即．【總結(jié)升華】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及平行四邊形的判定和全等三角形的判定，難度很大，有利于培養(yǎng)學(xué)生鉆研和探索問(wèn)題的精神．舉一反三：【高清課堂：全等三角形  例9】【變式】如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四邊形ACDE是平行四邊形，連結(jié)CE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BD交CE于點(diǎn)G，連結(jié)BE. 下列結(jié)論中：① CE=BD；  ② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB；   ④ CD·AE=EF·CG；一定正確的結(jié)論有(    ) ．A．1個(gè)       B．2個(gè)     C．3個(gè)       D．4個(gè)       【答案】D.6．如圖，已知△ABC.（1）請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D、E(BC的中點(diǎn)除外)，連結(jié)AD、AE，寫(xiě)出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；（2）請(qǐng)你根據(jù)使(1)成立的相應(yīng)條件，證明AB+AC＞AD+AE．【思路點(diǎn)撥】考查了三角形面積的求法，全等三角形的判定以及三角形三邊的關(guān)系．本題（2）中通過(guò)構(gòu)建全等三角形將已知和所求條件轉(zhuǎn)化到相關(guān)的三角形中是解題的關(guān)鍵．【答案與解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面積相等.（2）取DE的中點(diǎn)O，連結(jié)AO并延長(zhǎng)到F點(diǎn)，使得FO=AO，連結(jié)EF，CF．
　　　　　　　　在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,
　　可證△ADO≌△FEO．
　　所以AD=FE．
　　因?yàn)锽D=CE，DO=EO，
　　所以BO=CO.
　　同理可證△ABD≌△FCO，
　　所以AB=FC.
　　延長(zhǎng)AE交CF于G點(diǎn),
　　在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，
　　在△EFG中，EG+FG＞EF,
　　可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,
　　即AC+CF＞AE+EF,
　　所以AB+AC＞AD+AE.【總結(jié)升華】正確構(gòu)造全等和利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊的結(jié)論是關(guān)鍵.舉一反三：【變式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；(3)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問(wèn)：DE、AD、BE有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．　　【答案】(1)證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，
        ∴∠DAC=∠BCE．
        又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，
        ∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE．
又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△ADC≌△CEB．
∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=AD-BE．（3）證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE．
又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△ADC≌△CEB．
∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=BE-AD．  

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