多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則的應(yīng)用
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則
一塊長(zhǎng)方形的菜地，長(zhǎng)為a，寬為m.現(xiàn)將它的長(zhǎng)增加b，寬增加n，求擴(kuò)大后的菜地面積. 先按題意畫(huà)圖，結(jié)合圖形考慮有幾種計(jì)算方法？
方法一：擴(kuò)大后菜地的長(zhǎng)是a＋b，寬是m＋n，所以它的面積是_________________. 方法二：先算4塊小長(zhǎng)方形的面積，再求總面積，擴(kuò)大后菜地的面積是_________________. 因此，有(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn.
上面的運(yùn)算還可以把(a＋b)看作一個(gè)整體運(yùn)用分配律，再根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則，得(a＋b)(m＋n)＝(a＋b)m＋(a＋b)n＝am＋bm＋an＋bn.(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn.
1. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則： 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．用字母表示為：(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn.
要點(diǎn)精析：(1)該法則的本質(zhì)是將多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式最終轉(zhuǎn)化為幾個(gè)單項(xiàng)式乘積的和的形式．(2)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，結(jié)果仍為多項(xiàng)式，但通常有同類(lèi)項(xiàng)合并，在合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．
拓展：本法則也適用于多個(gè)多項(xiàng)式相乘，那就是按順序先將前兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，再把乘積和第三個(gè)多項(xiàng)式相乘，依次類(lèi)推．2. 易錯(cuò)警示：(1)在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，容易漏乘項(xiàng)．(2)在計(jì)算結(jié)果中還有同類(lèi)項(xiàng)沒(méi)有合并．
計(jì)算：(1)(－2x－1)(3x－2)； (2)(ax＋b)(cx＋d).
(1) (－2x－1)(3x－2)＝(－2x)·3x＋(－2x)·(－2)＋(－1)·3x＋(－1)×(－2)＝－6x2＋4x－3x＋2＝－6x2＋x＋2.
(2)(ax＋b)(cx＋d)＝ax·cx＋ax·d＋b·cx＋b·d ＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd.
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，為了做到不重不漏，可以用“箭頭法”標(biāo)注求解．如計(jì)算 時(shí)，可在草稿紙上進(jìn)行如下標(biāo)注： 根據(jù)箭頭指示，結(jié)合對(duì)象，即可得到－3x·2x， 把各項(xiàng)相加，繼續(xù)求解即可．
1　計(jì)算(x－1)(2x＋3)的結(jié)果是(　　)A．2x2＋x－3 B．2x2－x－3C．2x2－x＋3 D．x2－2x－3
2　下列多項(xiàng)式相乘結(jié)果為a2－3a－18的是(　　)A．(a－2)(a＋9) B．(a＋2)(a－9)C．(a＋3)(a－6)　　 D．(a－3)(a＋6)
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則的應(yīng)用
先化簡(jiǎn)，再求值：(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中：x＝－1，y＝2.
先分別對(duì)兩組多項(xiàng)式相乘，并將第二個(gè)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的結(jié)果先用括號(hào)括起來(lái)，再去括號(hào)，最后再合并同類(lèi)項(xiàng)．
原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－(2x2－8xy－xy＋4y2)＝x2＋xy－6y2－(2x2－9xy＋4y2)＝x2＋xy－6y2－2x2＋9xy－4y2＝－x2＋10xy－10y2.當(dāng)x＝－1，y＝2時(shí)，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－61.
多項(xiàng)式乘法與加減相結(jié)合的混合運(yùn)算，通常先算出相乘的結(jié)果，再進(jìn)行加減運(yùn)算，運(yùn)算中特別要注意括號(hào)的運(yùn)用和符號(hào)的變化，當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式相減時(shí)，后一個(gè)多項(xiàng)式通常用括號(hào)括起來(lái)，這樣可以避免運(yùn)算結(jié)果出錯(cuò)．
若(x＋4)(x－6)＝x2＋ax＋b，求a2＋ab的值．
應(yīng)先將等式左邊計(jì)算出來(lái)，再與等式右邊各項(xiàng)對(duì)比，得出結(jié)果．因?yàn)?x＋4)(x－6)＝x2－6x＋4x－24＝x2－2x－24，所以x2－2x－24＝x2＋ax＋b，因此a＝－2，b＝－24.所以a2＋ab＝(－2)2＋(－2)×(－24)＝52.
解答本題關(guān)鍵是利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則化簡(jiǎn)左邊式子，然后根據(jù)等式左右兩邊相等時(shí)“對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等”來(lái)確定出待定字母的值進(jìn)行求解．
已知(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)的展開(kāi)式中不含x3和x2項(xiàng)． (1)求m，n的值；(2)當(dāng)m，n取第(1)小題的值時(shí)，求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值．
(1) (x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)＝x5－3x4＋(m＋4)x3＋(n－3m)x2＋(4m－3n)x＋4n，根據(jù)展開(kāi)式中不含x2和x3項(xiàng)得：解得： 即m＝－4，n＝－12；
(2)因?yàn)?m＋n)(m2－mn＋n2)＝m3－m2n＋mn2＋m2n－mn2＋n3＝m3＋n3，當(dāng)m＝－4，n＝－12時(shí)，原式＝(－4)3＋(－12)3＝－64－1 728＝－1 792.
1　若(x－1)(x＋3)＝x2＋mx＋n，那么m，n的值分別是(　　)A．m＝1，n＝3 B．m＝2，n＝－3C．m＝4，n＝5 D．m＝－2，n＝3
2　(中考·佛山)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，則m＋n＝(　　)A．1 B．－2 C．－1 D．2
1. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要按一定的順序進(jìn)行，做到不重不漏．2. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)每一項(xiàng)都包含符號(hào)，在計(jì)算時(shí)先準(zhǔn)確地確定積的符號(hào)．3. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的結(jié)果若含有同類(lèi)項(xiàng)，必須合并同類(lèi)項(xiàng)．在合并同類(lèi)項(xiàng)之前的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．

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8.2 整式乘法

版本： 滬科版

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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