突破4.2  直線、圓的位置關(guān)系課時(shí)訓(xùn)練【基礎(chǔ)鞏固】1．（多選題）（2020遼寧盤錦二中高二期中）在同一直角坐標(biāo)系中,直線y=ax+a2與圓(x+a)2+y2=a2的位置不可能為(　　)   【答案】ABD【解析】由題意,可得a2>0,直線y=ax+a2顯然過點(diǎn)(0,a2),故ABD均不可能.2.直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)A．[2,6]      B．[4,8]C．[ ,3]  D．[2，3]【答案】A　【解析】 圓心(2,0)到直線的距離d＝＝2，所以點(diǎn)P到直線的距離d1∈[，3]．根據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2,0)，B(0，－2)，所以AB＝2，所以△ABP的面積S＝|AB|d1＝d1.因?yàn)?/span>d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．3.（貴州遵義四中2019屆質(zhì)檢）直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(　　)A．相交  B．相切   C．相離  D．不確定【答案】A　【解析】 (1)由題意知圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<，故直線l與圓相交．4.（四川綿陽中學(xué)2019屆模擬）經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作圓x2＋y2＝5的切線，則切線方程為(　　)A.x＋y－5＝0  B.x＋y＋5＝0  C．2x＋y－5＝0  D．2x＋y＋5＝0【答案】C　【解析】 點(diǎn)M(2,1)滿足圓x2＋y2＝5，所以點(diǎn)M(2,1)在圓上．經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作圓x2＋y2＝5的切線，則M(2,1)為切點(diǎn)，切點(diǎn)和圓心連線的斜率為，則切線斜率為－2，切線方程為y－1＝－2(x－2)，整理得2x＋y－5＝0.故選C.5．（2020湖南衡陽二中高二月考）已知過點(diǎn)P(2,2) 的直線與圓相切, 且與直線垂直, 則（ ）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】設(shè)過點(diǎn)的直線的斜率為，則直線方程，即，由于和圓相切，故，得，由于直線與直線，因此，解得，故答案為C.6.直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝__________.【答案】2【解析】 由x2＋y2＋2y－3＝0得x2＋(y＋1)2＝4.所以圓心C(0，－1)，半徑r＝2.圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2.7.已知圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長是.若直線與圓C相切于點(diǎn)，則=___________，=___________．【答案】，【解析】由題意可知，把代入直線AC的方程得，此時(shí).8．（湖南省湘潭一中2019屆期中）直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是________．【答案】[2,6]【解析】圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C(2,0)，半徑為r＝，點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，且圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知條件可得AB＝2，所以△ABP面積的最大值為×AB×dmax＝6，△ABP面積的最小值為×AB×dmin＝2.綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]．
【能力提升】9.（2020山西師大附中高二期中）如下圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在某位置時(shí),拱頂離水面2 m,水面寬12 m,當(dāng)水面下降1 m后,水面寬為　　　　　 m. 【答案】   2 【解析】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過拱頂?shù)呢Q線為縱軸,建立直角坐標(biāo)系,如下圖所示:由題意可知:設(shè)圓的方程為:x2+(y+r)2=r2(其中r為圓的半徑),因?yàn)楣绊旊x水面2 m,水面寬12 m,所以設(shè)A(6,-2),代入圓的方程中,得r=10,所以圓的方程為:x2+(y+10)2=100,當(dāng)水面下降1 m后,設(shè)A'(x0,-3)(x0>3)代入圓的方程中,得x0=,所以此時(shí)水面寬2 m.10．（多選題）（2020·江蘇連云港高二期末）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB＝AC＝4，點(diǎn)B(－1，3)，點(diǎn)C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．圓M上點(diǎn)到直線的最小距離為2B．圓M上點(diǎn)到直線的最大距離為3C．若點(diǎn)（x，y）在圓M上，則的最小值是D．圓與圓M有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是【答案】ACD【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在線段BC的垂直平分線上，即△ABC的“歐拉線”即為線段BC的垂直平分線，由點(diǎn)B(－1,3)，點(diǎn)C(4,－2)可得線段BC的中點(diǎn)為，且直線的BC的斜率，所以線段BC的垂直平分線的斜率，所以線段BC的垂直平分線的方程為即，又圓M：的圓心為，半徑為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以圓M：，對(duì)于A、B，圓M的圓心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，最大距離為，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令即，當(dāng)直線與圓M相切時(shí)，圓心到直線的距離為，解得或，則的最小值是，故C正確；對(duì)于D，圓圓心為，半徑為，若該圓與圓M有公共點(diǎn)，則即，解得，故D正確.故選：ACD.11．（安徽省合肥一中2019屆模擬）已知圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝6，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1)．若兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，則圓O2的方程為(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32【答案】C　【解析】設(shè)圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)．因?yàn)閳AO1的方程為x2＋(y＋1)2＝6，所以直線AB的方程為4x＋4y＋r2－10＝0.圓心O1到直線AB的距離d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.12．（福建省三明一中2019屆模擬）已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為(　　)A．7    B．6     C．5    D．4【答案】B　【解析】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m，因?yàn)?/span>∠APB＝90°，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離．因?yàn)?/span>|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值為6.
【高考真題】13. (2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)A．[2,6]      B．[4,8]C．[ ,3]  D．[2，3]【答案】A　【解析】 圓心(2,0)到直線的距離d＝＝2，所以點(diǎn)P到直線的距離d1∈[，3]．根據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2,0)，B(0，－2)，所以AB＝2，所以△ABP的面積S＝|AB|d1＝d1.因?yàn)?/span>d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．14．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)A．[2,6]      B.[4,8]C．[，3] D．[2，3]【答案】A　【解析】設(shè)圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，則圓心C(2,0)，r＝，所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為＝2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知條件可得|AB|＝2，所以△ABP面積的最大值為|AB|·dmax＝6，△ABP面積的最小值為|AB|·dmin＝2.綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]．15．(2018·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離．當(dāng)θ，m變化時(shí)，d的最大值為(　　)A．1   B．2C．3   D．4【答案】C【解析】解法一：由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝，cosθ－msinθ＝，令sinα＝，cosα＝，∴cosθ－msinθ＝sin(α－θ)，∴d≤＝＝1＋，∴當(dāng)m＝0時(shí)，dmax＝3，故選C．解法二：∵cos2θ＋sin2θ＝1，∴P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，又x－my－2＝0表示過點(diǎn)(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(diǎn)(－1,0)到直線x＝2的距離即為d的最大值．故選C．16．(2017·全國卷Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為(　　)A．2   B．C．   D．【答案】 A【解析】由題意可知圓的圓心為(2,0)，半徑為2.因?yàn)殡p曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，且雙曲線的一條漸近線與圓相交所得的弦長為2，所以＝，所以＝.故離心率e＝ ＝＝2.故選A．17.(2016·山東卷)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　 　)A．內(nèi)切   B．相交C．外切   D．相離【答案】B【解析】法一：由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(－a，a)．∵圓M截直線所得線段長度為2，∴＝2.又a＞0，∴a＝2.∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2.又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1，∴|MN|＝＝.∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，∴兩圓相交．法二：由題知圓M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝，所以2＝2，解得a＝2，圓M，圓N的圓心距|MN|＝，兩圓半徑之差為1，故兩圓相交．18.(2018·全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝__________.【答案】2【解析】 由x2＋y2＋2y－3＝0得x2＋(y＋1)2＝4.所以圓心C(0，－1)，半徑r＝2.圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2.19.(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)，當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值．【解析】 (1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐標(biāo)為(0,1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況． (2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為y－＝x2.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂線方程為x＝－.聯(lián)立又x＋mx2－2＝0，  可得所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r＝.故過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為2＝3，即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值．20．(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2，則|CD|＝4_.【解析】由題意可知直線l過定點(diǎn)(－3, )，該定點(diǎn)在圓x2＋y2＝12上，不妨設(shè)點(diǎn)A(－3, )，由于|AB|＝2，r＝2，所以圓心到直線AB的距離為d＝ ＝3，又由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝3，解得m＝－，所以直線l的斜率k＝－m＝，即直線l的傾斜角為30°.如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為點(diǎn)H，所以|CH|＝2.在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝＝4. 

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修2電子課本

4.2 直線、圓的位置關(guān)系

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級(jí)： 必修2

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