§4.2  直線、圓的位置關(guān)系§4.2.1  直線與圓的位置關(guān)系一、教材分析    學(xué)生在初中的學(xué)習中已了解直線與圓的位置關(guān)系,并知道可以利用直線與圓的交點的個數(shù)以及圓心與直線的距離d與半徑r的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系,但是,在初中學(xué)習時,利用圓心與直線的距離d與半徑r的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法卻以結(jié)論性的形式呈現(xiàn).在高一學(xué)習了解析幾何以后,要考慮的問題是如何掌握由直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法.解決問題的方法主要是幾何法和代數(shù)法.其中幾何法應(yīng)該是在初中學(xué)習的基礎(chǔ)上,結(jié)合高中所學(xué)的點到直線的距離公式求出圓心與直線的距離d后,比較與半徑r的關(guān)系從而作出判斷.適可而止地引進用聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為二次方程判別根的“純代數(shù)判別法”,并與“幾何法”欣賞比較,以決優(yōu)劣,從而也深化了基本的“幾何法”.含參數(shù)的問題、簡單的弦的問題、切線問題等綜合問題作為進一步的拓展提高或綜合應(yīng)用,也適度地引入課堂教學(xué)中,但以深化“判定直線與圓的位置關(guān)系”為目的,要控制難度.雖然學(xué)生學(xué)習解析幾何了,但把幾何問題代數(shù)化無論是思維習慣還是具體轉(zhuǎn)化方法,學(xué)生仍是似懂非懂,因此應(yīng)不斷強化,逐漸內(nèi)化為學(xué)生的習慣和基本素質(zhì).二、教學(xué)目標1．知識與技能（1）理解直線與圓的位置的種類；（2）利用平面直角坐標系中點到直線的距離公式求圓心到直線的距離；（3）會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.（二）過程與方法設(shè)直線l：ax + by + c = 0，圓C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：（1）當d＞r時，直線l與圓C相離；（2）當d＝r時，直線l與圓C相切；（3）當d＜r時，直線l與圓C相交；3．情態(tài)與價值觀讓學(xué)生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.三、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：直線與圓的位置關(guān)系的幾何圖形及其判斷方法.教學(xué)難點：用坐標法判斷直線與圓的位置關(guān)系.四、課時安排2課時五、教學(xué)設(shè)計　第1課時（一）導(dǎo)入新課思路1.平面解析幾何是高考的重點和熱點內(nèi)容,每年的高考試題中有選擇題、填空題和解答題,考查的知識點有直線方程和圓的方程的建立、直線與圓的位置關(guān)系等,本節(jié)主要學(xué)習直線與圓的關(guān)系.思路2.(復(fù)習導(dǎo)入)(1)直線方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零).(2)圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r.(3)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F＞0)，圓心為(-,-),半徑為. （二）推進新課、新知探究、提出問題①初中學(xué)過的平面幾何中,直線與圓的位置關(guān)系有幾類？②在初中,我們怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？③如何用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系呢？④判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾種方法？它們的特點是什么？討論結(jié)果：①初中學(xué)過的平面幾何中,直線與圓的位置關(guān)系有直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交三種.②直線與圓的三種位置關(guān)系的含義是:直線與圓的位置關(guān)系公共點個數(shù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系圖形相交兩個d＜r相切只有一個d=r相離沒有d＞r③方法一,判斷直線l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解；方法二,可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.④直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法：幾何方法步驟：1°把直線方程化為一般式,求出圓心和半徑.2°利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離.3°作判斷：當d＞r時,直線與圓相離；當d=r時,直線與圓相切;當d＜r時,直線與圓相交.代數(shù)方法步驟：1°將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組.2°利用消元法,得到關(guān)于另一個元的一元二次方程.3°求出其判別式Δ的值.4°比較Δ與0的大小關(guān)系,若Δ＞0,則直線與圓相離；若Δ=0,則直線與圓相切;若Δ＜0,則直線與圓相交.反之也成立. （三）應(yīng)用示例思路1例1  已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓的位置關(guān)系.如果相交,求出它們的交點坐標.活動:學(xué)生思考或交流,回顧判斷的方法與步驟,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,必要時提示,對學(xué)生的思維作出評價;方法一,判斷直線l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解；方法二,可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.解法一:由直線l與圓的方程,得消去y,得x2-3x+2=0,因為Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0,所以直線l與圓相交,有兩個公共點.解法二：圓x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心C的坐標為(0,1),半徑長為,圓心C到直線l的距離d==＜.所以直線l與圓相交,有兩個公共點.由x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程①,得y1=0;把x2=1代入方程①,得y2=3.所以直線l與圓相交有兩個公共點,它們的坐標分別是(2,0)和(1,3).點評:比較兩種解法,我們可以看出,幾何法判斷要比代數(shù)法判斷快得多,但是若要求交點,仍需聯(lián)立方程組求解. 例2  已知圓的方程是x2+y2=2,直線y=x+b,當b為何值時,圓與直線有兩個公共點,只有一個公共點沒有公共點.活動:學(xué)生思考或交流,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,必要時提示,對學(xué)生的思維作出評價.我們知道,判斷直線l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解,或依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.反過來,當已知圓與直線的位置關(guān)系時,也可求字母的取值范圍,所求曲線公共點問題可轉(zhuǎn)化為b為何值時,方程組有兩組不同實數(shù)根、有兩組相同實根、無實根的問題.圓與直線有兩個公共點、只有一個公共點、沒有公共點的問題,可轉(zhuǎn)化為b為何值時圓心到直線的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問題.解法一:若直線l：y=x+b和圓x2+y2=2有兩個公共點、只有一個公共點、沒有公共點,則方程組有兩個不同解、有兩個相同解、沒有實數(shù)解,消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,所以Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=16-4b2.所以,當Δ=16-4b2＞0,即-2＜b＜2時,圓與直線有兩個公共點；當Δ=16-4b2=0,即b=±2時,圓與直線只有一個公共點；當Δ=16-4b2＜0,即b＞2或b＜-2時,圓與直線沒有公共點.解法二：圓x2+y2=2的圓心C的坐標為(0,0),半徑長為2,圓心C到直線l:y=x+b的距離d=.當d＞r時,即＞,即|b|＞2,即b＞2或b＜-2時,圓與直線沒有公共點;當d=r時,即=,即|b|=2,即b=±2時,圓與直線只有一個公共點；當d＜r時,即＜,即|b|＜2,即-2＜b＜2時,圓與直線有兩個公共點.點評：由于圓的特殊性,判斷圓與直線的位置關(guān)系,多采用圓心到直線的距離與半徑的大小進行比較的方法,而以后我們將要學(xué)習的圓錐曲線與直線位置關(guān)系的判斷,則需要利用方程組解的個數(shù)來判斷.變式訓(xùn)練    已知直線l過點P(4,0),且與圓O：x2+y2=8相交,求直線l的傾斜角α的取值范圍.解法一：設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因為直線l與圓O相交,所以圓心O到直線l的距離小于半徑,即＜2,化簡得k2＜1,所以-1＜k＜1,即-1＜tanα＜1.當0≤tanα＜1時,0≤α＜；當-1＜tanα＜0時,＜α＜π.所以α的取值范圍是［0,)∪(,π).解法二：設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),由,消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0.因為直線l與圓O相交,所以Δ=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)＞0,化簡得k2＜1.(以下同解法一)點評:涉及直線與圓的位置關(guān)系的問題,常可運用以上兩種方法.本題若改為選擇題或填空題,也可利用圖形直接得到答案. 思路2例1  已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)的切線方程.活動:學(xué)生思考討論,教師提示學(xué)生解題的思路,引導(dǎo)學(xué)生回顧直線方程的求法,既考慮通法又考慮圖形的幾何性質(zhì).此切線過點(x0,y0),要確定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系數(shù)法(或直接求解).直線與圓相切的幾何特征是圓心到切線的距離等于圓的半徑,切線與法線垂直.解法一:當點M不在坐標軸上時,設(shè)切線的斜率為k,半徑OM的斜率為k1,因為圓的切線垂直于過切點的半徑,所以k=-.因為k1=所以k=-.所以經(jīng)過點M的切線方程是y-y0=-(x-x0).整理得x0x+y0y=x02+y02.又因為點M(x0,y0)在圓上,所以x02+y02=r2.所以所求的切線方程是x0x+y0y=r2.當點M在坐標軸上時,可以驗證上面的方程同樣適用.解法二:設(shè)P(x,y)為所求切線上的任意一點,當P與M不重合時,△OPM為直角三角形,OP為斜邊,所以OP2=OM2+MP2,即x2+y2=x02+y02+(x-x0)2+(y-y0)2.整理得x0x+y0y=r2.可以驗證,當P與M重合時同樣適合上式,故所求的切線方程是x0x+y0y=r2.解法三:設(shè)P(x,y)為所求切線上的任意一點,當點M不在坐標軸上時,由OM⊥MP得kOM·kMP=-1,即·=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以驗證,當點M在坐標軸上時,P與M重合,同樣適合上式,故所求的切線方程是x0x+y0y=r2.點評:如果已知圓上一點的坐標,我們可直接利用上述方程寫出過這一點的切線方程.變式訓(xùn)練    求過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點M(x0,y0)的圓的切線方程.解:設(shè)x0≠a,y0≠b,所求切線斜率為k,則由圓的切線垂直于過切點的半徑,得k=,所以所求方程為y-y0=(x-x0),即(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=(x0-a)2+(y0-b)2.又點M(x0,y0)在圓上,則有(x0-a)2+(y0-b)2=r2.代入上式,得(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r2.當x0=a,y0=b時仍然成立,所以過圓C:( x-a)2+(y-b)2=r2上一點M(x0,y0)的圓的切線方程為(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r2. 例2  從點P(4,5)向圓(x－2)2＋y2=4引切線,求切線方程.活動:學(xué)生思考交流,提出解題的方法,回想直線方程的求法,先驗證點與圓的位置關(guān)系,再利用幾何性質(zhì)解題.解:把點P(4,5)代入(x－2)2＋y2=4,得(4－2)2＋52=29＞4,所以點P在圓(x－2)2＋y2=4外.設(shè)切線斜率為k,則切線方程為y－5=k(x－4),即kx－y＋5－4k=0.又圓心坐標為(2,0),r=2.因為圓心到切線的距離等于半徑,即　　=2,k=.所以切線方程為21x－20y＋16=0.當直線的斜率不存在時還有一條切線是x=4.點評:過圓外已知點P(x,y)的圓的切線必有兩條,一般可設(shè)切線斜率為k,寫出點斜式方程,再利用圓心到切線的距離等于半徑,寫出有關(guān)k的方程.求出k,因為有兩條,所以應(yīng)有兩個不同的k值,當求得的k值只有一個時,說明有一條切線斜率不存在,即為垂直于x軸的直線,所以補上一條切線x=x1.變式訓(xùn)練    求過點M(3,1),且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線l的方程.解:設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,因為圓心(1,0)到切線l的距離等于半徑2,所以=2,解得k=-.所以切線方程為y-1=-(x-3),即3x+4y-13=0.當過點M的直線的斜率不存在時,其方程為x=3,圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑2,故直線x=3也符合題意.所以直線l的方程是3x+4y-12=0或x=3. 例3  (1)已知直線l：y=x+b與曲線C：y=有兩個不同的公共點,求實數(shù)b的取值范圍；(2)若關(guān)于x的不等式＞x+b解集為R,求實數(shù)b的取值范圍.圖1解:(1)如圖1(數(shù)形結(jié)合),方程y=x+b表示斜率為1,在y軸上截距為b的直線l；方程y=表示單位圓在x軸上及其上方的半圓,當直線過B點時,它與半圓交于兩點,此時b=1,直線記為l1；當直線與半圓相切時,b=,直線記為l2.直線l要與半圓有兩個不同的公共點,必須滿足l在l1與l2之間(包括l1但不包括l2),所以1≤b＜,即所求的b的取值范圍是［1,).(2)不等式＞x+b恒成立,即半圓y=在直線y=x+b上方,當直線l過點(1,0)時,b=-1,所以所求的b的取值范圍是(-∞,-1).點評:利用數(shù)形結(jié)合解題,有時非常方便直觀. （四）知能訓(xùn)練本節(jié)練習2、3、4. （五）拓展提升圓x2+y2=8內(nèi)有一點P0(-1,2),AB為過點P0且傾斜角為α的弦.(1)當α=時,求AB的長；(2)當AB的長最短時,求直線AB的方程.解:(1)當α=時,直線AB的斜率為k=tan=-1,所以直線AB的方程為y-2=-(x+1),即y=-x+1.解法一：(用弦長公式)由消去y,得2x2-2x-7=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=1,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=·=·=.解法二：(幾何法)弦心距d=,半徑r=2,弦長|AB|=2.(2)當AB的長最短時,OP0⊥AB,因為kOP0=-2,kAB=,直線AB的方程為y-2=(x+1),即x-2y+5=0. （六）課堂小結(jié)(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法:幾何法和代數(shù)法.(2)求切線方程. （七）作業(yè)習題4.2  A組1、2、3. 

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4.2 直線、圓的位置關(guān)系

版本： 人教版新課標A

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