§4.2.2  圓與圓的位置關(guān)系一、教材分析    本節(jié)課研究圓與圓的位置關(guān)系,重點(diǎn)是研究兩圓位置關(guān)系的判斷方法,并應(yīng)用這些方法解決有關(guān)的實(shí)際問題.教材是在初中平面幾何對圓與圓的位置關(guān)系的初步分析的基礎(chǔ)上結(jié)合前面學(xué)習(xí)的點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系,得到圓與圓的位置關(guān)系的幾何方法,用代數(shù)的方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓,是平面幾何問題的深化,它將是以后處理圓錐曲線的常用方法.因此,增加了用代數(shù)方法來分析位置關(guān)系,這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化等解析幾何思想方法及辯證思維能力,其基本思維方法和解決問題的技巧對今后整個圓錐曲線的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義.根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ),學(xué)習(xí)的自覺性和主動性,自主學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)能力,平時的學(xué)習(xí)養(yǎng)成的善于觀察、分析和思考的習(xí)慣,同時由于本節(jié)課從內(nèi)容結(jié)構(gòu)與思維方法上與直線與圓的位置關(guān)系相似,學(xué)生對上節(jié)課內(nèi)容掌握較好,從而本節(jié)課從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看不會存在太多的障礙,因而教學(xué)方法可以是引導(dǎo)學(xué)生從類比直線與圓位置關(guān)系來自主研究圓與圓的位置關(guān)系.二、教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能（1）理解圓與圓的位置的種類；（2）利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求兩圓的連心線長；（3）會用連心線長判斷兩圓的位置關(guān)系.2．過程與方法設(shè)兩圓的連心線長為l，則判斷圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)l ＞r1+r2時，圓C1與圓C2相離；（2）當(dāng)l = r1+r2時，圓C1與圓C2外切；（3）當(dāng)|r1 – r2|＜l＜r1+r2時，圓C1與圓C2相交；（4）當(dāng)l = |r1– r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)切；（5）當(dāng)l＜|r1 – r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)含.3．情態(tài)與價值觀讓學(xué)生通過觀察圖形，理解并掌握圓與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：求弦長問題,判斷圓和圓的位置關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)：判斷圓和圓的位置關(guān)系.四、課時安排1課時五、教學(xué)設(shè)計（一）導(dǎo)入新課思路1.平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？判斷兩圓的位置關(guān)系的步驟及其判斷方法如下:第一步：計算兩圓的半徑R,r；第二步：計算兩圓的圓心距O1O2,即d；第三步：根據(jù)d與R,r之間的關(guān)系,判斷兩圓的位置關(guān)系.兩圓的位置關(guān)系：外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含d＞R+rd=R+r|R-r|＜d＜R+rd=|R-r|d＜|R-r|    在解析幾何中,我們用代數(shù)的方法如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？這就是我們本堂課研究的課題,教師板書課題圓與圓的位置關(guān)系.思路2.前面我們學(xué)習(xí)了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系,那么,圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？教師板書課題:圓與圓的位置關(guān)系.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題①初中學(xué)過的平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有幾種？②判斷兩圓的位置關(guān)系,你有什么好的方法嗎？③你能在同一個直角坐標(biāo)系中畫出兩個方程所表示的圓嗎？④根據(jù)你所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個圓的位置關(guān)系.如何把這些直觀的事實(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言呢？⑤如何判斷兩個圓的位置關(guān)系呢？⑥若將兩個圓的方程相減,你發(fā)現(xiàn)了什么？⑦兩個圓的位置關(guān)系是否可以轉(zhuǎn)化為一條直線與兩個圓中的一個圓的關(guān)系的判定呢？活動：    教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的知識、舉例,并對學(xué)生活動進(jìn)行評價；學(xué)生回顧知識點(diǎn)時,可互相交流.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書中的相關(guān)內(nèi)容,注意個別輔導(dǎo),解答學(xué)生疑難,并引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)解題的方法.學(xué)生觀察圖形并思考,發(fā)表自己的解題方法.教師應(yīng)該關(guān)注并發(fā)現(xiàn)有多少學(xué)生利用“圖形”求解,對這些學(xué)生應(yīng)該給予表揚(yáng).同時強(qiáng)調(diào),解析幾何是一門數(shù)與形結(jié)合的學(xué)科.啟發(fā)學(xué)生利用圖形的特征,用代數(shù)的方法來解決幾何問題.教師指導(dǎo)學(xué)生利用兩個圓的圓心坐標(biāo)、半徑長、連心線長的關(guān)系來判別兩個圓的位置.學(xué)生互相探討、交流,尋找解決問題的方法,并能通過圖形的直觀性,利用平面直角坐標(biāo)系的兩點(diǎn)間距離公式尋求解題的途徑.討論結(jié)果：①初中學(xué)過的平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有五類,分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.②判斷兩圓的位置關(guān)系,我們可以類比直線與圓的位置關(guān)系的判定,目前我們只有初中學(xué)過的幾何法,利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系判斷.③略.④根據(jù)所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個圓的位置關(guān)系.用幾何的方法說就是圓心距(d)與兩圓半徑(r,R)的和與差之間的關(guān)系.⑤判斷兩個圓的位置關(guān)系.一是可以利用幾何法,即兩個圓的圓心坐標(biāo)、半徑長、連心線長的關(guān)系來判別兩個圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長為l,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：1°當(dāng)d＞R+r時,圓C1與圓C2外離；2°當(dāng)d=R+r時,圓C1與圓C2外切；3°當(dāng)|R-r|＜d＜R+r時,圓C1與圓C2相交；4°當(dāng)d=|R-r|時,圓C1與圓C2內(nèi)切；5°當(dāng)d＜|R-r|時,圓C1與圓C2內(nèi)含；    二是看兩圓的方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的情況,解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組.若方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解,則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解,則兩圓相切；若無實(shí)數(shù)解,兩圓相離.總結(jié)比較兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn).幾何方法：直觀,容易理解,但不能求出交點(diǎn)坐標(biāo).代數(shù)方法：1°只能判斷交點(diǎn),并不能準(zhǔn)確的判斷位置關(guān)系(有一個交點(diǎn)時不能判斷內(nèi)切還是外切,無交點(diǎn)時不能判斷內(nèi)含還是外離).2°優(yōu)點(diǎn)是可以求出公共點(diǎn).⑥若將兩個圓的方程相減,得到一個一元一次方程,既直線方程,由于它過兩圓的交點(diǎn),所以它是相交兩圓的公共弦的方程.⑦兩個圓的公共點(diǎn)的問題可以化歸為這條公共直線與兩個圓中的一個圓的公共點(diǎn)的判定問題.由點(diǎn)到直線的距離公式來判斷. （三）應(yīng)用示例思路1例1  已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判斷兩圓的位置關(guān)系.活動:學(xué)生思考交流,教師引導(dǎo)提示,判斷兩圓的位置關(guān)系有兩種基本的方法,要合理使用.方法一看兩圓的方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的情況,方法二利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系判斷.解:方法一:圓C1與圓C2的方程聯(lián)立得到方程組①-②得x+2y-1=0,                                                           ③由③得y=,把上式代入①并整理得x2-2x-3=0.                               ④方程④的判別式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有兩個不等的實(shí)數(shù)根,即圓C1與圓C2相交.方法二:把圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+1)2+(y+4)2=25與(x-2)2+(y-2)2=10.圓C1的圓心是點(diǎn)(-1,-4),半徑長r1=5;圓C2的圓心是點(diǎn)(2,2),半徑長r2=.圓C1與圓C2的連心線的長為=3,圓C1與圓C2的半徑長之和為r1+r2=5+,半徑長之差為r1-r2=5-.而5-＜3＜5+,即r1-r2＜3＜r1+r2,所以圓C1與圓C2相交,它們有兩個公共點(diǎn)A、B.點(diǎn)評:判斷兩圓的位置關(guān)系,一般情況下,先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,利用幾何法判斷較為準(zhǔn)確直觀.變式訓(xùn)練    判斷下列兩圓的位置關(guān)系,如果兩圓相交,請求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x2+y2+6x-7=0與x2+y2+6y-27=0.解:(1)根據(jù)題意,得兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4,兩圓的圓心距d==5.因?yàn)?/span>d=r1+r2,所以兩圓外切.(2)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36.故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6,兩圓的圓心距d=.因?yàn)?/span>|r1-r2|＜d＜r1+r2,所以兩圓相交. 例2  已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.活動：學(xué)生審題,思考并交流,探討解題的思路,教師及時提示引導(dǎo),因兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)同時滿足兩個圓方程,聯(lián)立方程組,消去x2項、y2項,即得兩圓的兩個交點(diǎn)所在的直線方程,利用勾股定理可求出兩圓公共弦長.解:設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組①-②,得3x-4y+6=0.因?yàn)?/span>A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程,所以3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程.易知圓C1的圓心(-1,3),半徑r=3.又點(diǎn)C1到直線的距離為d==.所以AB=2,即兩圓的公共弦長為.點(diǎn)評:處理圓有關(guān)的問題,利用圓的幾何性質(zhì)往往比較簡單,要注意體會和應(yīng)用. 思路2例1  求過點(diǎn)A(0,6)且與圓C:x2+y2+10x+10y=0切于原點(diǎn)的圓的方程.圖1活動:學(xué)生思考交流,回顧圓的方程的求法,教師引導(dǎo)學(xué)生注意題目的條件,靈活處理,如圖1.所求圓經(jīng)過原點(diǎn)和A(0,6),且圓心應(yīng)在已知圓的圓心與原點(diǎn)的連線上.根據(jù)這三個條件可確定圓的方程.解:將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,則圓心為C(-5,-5),半徑為52.所以經(jīng)過此圓心和原點(diǎn)的直線方程為x-y=0.設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由題意,知O(0,0),A(0,6)在此圓上,且圓心M(a,b)在直線x-y=0上,則有解得于是所求圓的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.點(diǎn)評:求圓的方程,一般可從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程入手,至于選擇哪一種方程形式更恰當(dāng),要根據(jù)題目的條件而定,總之要讓所選擇的方程形式使解題過程簡單. 例2  已知⊙O方程為x2+y2=4,定點(diǎn)A(4,0),求過點(diǎn)A且和⊙O相切的動圓圓心的軌跡方程.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的知識,兩圓外切,連心線長等于兩圓半徑之和,兩圓內(nèi)切,連心線長等于兩圓半徑之差,由此可得到動圓圓心在運(yùn)動中所應(yīng)滿足的幾何條件,然后將這個幾何條件坐標(biāo)化,即得到它的軌跡方程.解法一：設(shè)動圓圓心為P(x,y),因?yàn)閯訄A過定點(diǎn)A,所以|PA|即為動圓半徑.當(dāng)動圓P與⊙O外切時,|PO|=|PA|+2；當(dāng)動圓P與⊙O內(nèi)切時,|PO|=|PA|－2.綜合這兩種情況,得||PO|－|PA||=2.將此關(guān)系式坐標(biāo)化,得||=2.化簡可得(x－2)2－=1.解法二：由解法一可得動點(diǎn)P滿足幾何關(guān)系||OP|－|PA||=2,即P點(diǎn)到兩定點(diǎn)O、A的距離差的絕對值為定值2,所以P點(diǎn)軌跡是以O、A為焦點(diǎn),2為實(shí)軸長的雙曲線,中心在OA中點(diǎn)(2,0),實(shí)半軸長a=1,半焦距c=2,虛半軸長b=,所以軌跡方程為(x－2)2－=1.點(diǎn)評：解題的過程就是實(shí)現(xiàn)條件向結(jié)論轉(zhuǎn)化的過程,對于圓與圓,要綜合平面幾何知識、解析幾何、代數(shù)知識,將條件轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式,利用常規(guī)思路去解,求點(diǎn)的軌跡更要注意平面幾何的知識運(yùn)用. （四）知能訓(xùn)練課堂練習(xí)P141練習(xí)題 （五）課堂小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了圓與圓的位置關(guān)系，判斷方法：幾何方法和代數(shù)方法. （六）作業(yè)習(xí)題4.2  A組8、9、10、11.               

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修2電子課本

4.2 直線、圓的位置關(guān)系

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級： 必修2

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